Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Рис. 2.3: Переоценка (пример использования СНА): НЧ 𝑍𝑂и 𝑍𝑇(2.18);

𝐴, 𝐵 — ТрНЧ: 𝐴 = (1, 2, 5), 𝐵 = (0.5, 4, 5)

Очевидно, для действительных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑓3(𝑎, 𝑏) ≡ 𝑓4(𝑎, 𝑏). В то же время, как и выше, supp(𝑍𝑇) ⊂ supp(𝑍𝑂) (рис. 2.3).

На самом деле, в обоих указанных примерах переоценки выполняется следующее. Если представить указанные НЧ в виде семейства α-срезов: 𝑍𝑂= {[𝐴

𝑇

α ∈ [0, 1]: 𝑍

= [𝐴

𝑇

, 𝐵

𝑂

, 𝐵

]}, 𝑍𝑇= {[𝐴

𝑇

] ⊆ 𝑍

𝑂

= [𝐴

𝑇

, 𝐵

]}, тогда для каждого

𝑂

, 𝐵

𝑂

Проблема переоценки возникает тогда, когда в рассматриваемом нечетком выражении имеются зависимые переменные [33]. В выражении (2.15), НЧ 𝑊 𝐴 и 𝑊𝐵 являются зависимыми; в формуле (2.18) для 𝑍𝑂зависимыми являются числитель 𝐴+ 𝐵 и знаменатель 𝐴. При этом необходимо подчеркнуть следующее.

Функции 𝑓1и 𝑓2(2.17) (как и 𝑓3и 𝑓4в (2.18)) являются эквивалентными, поэтому оценки выражений (2.15) и (2.16) на основе принципа расширения (истинная оценка функции от НЧ) также являются эквивалентными и в рассматриваемых случаях совпадают с 𝑍𝑇.

Добавим также, что применение метода трансформации (МТ) к выражениям 𝑍𝑂(2.15) и (2.18) приводит к истинным оценкам 𝑍 (2.16) и (2.18), которые могут быть получены с использованием также СНА (так как в них отсутствуют зависимые переменные).

Рассмотрим НЧ 𝑍1и 𝑍2:

𝑇

𝑍1= 𝑊 𝐴 + 𝑊 𝐵, 𝑍2= 𝑊 (𝐴 + 𝐵). (2.20)

Если НЧ 𝑊, 𝐴, и 𝐵 являются позитивными, тогда на основе СНА,

— 51 —

𝑍1= 𝑍2, несмотря на то, что НЧ 𝑊 встречается дважды в выражении 𝑍1= 𝑊 𝐴 +𝑊 𝐵. Однако, если некоторые из НЧ 𝐴 или 𝐵 не являются позитивными, тогда 𝑍1и 𝑍2могут различаться. Например, для ТрНЧ 𝐴 = (−0.5, −0.2, 0.4), 𝐵 = (0.3, 0.4,0.8) и 𝑊 = (0, 0.5, 0.9), supp(𝑍2) ⊂ ⊂ supp(𝑍1) (рис. 2.4).

Рис. 2.4: Переоценка (пример использования СНА): НЧ 𝑍𝑂и 𝑍𝑇(2.20)

В [33] автор не дает прямого определения зависимых переменных/НЧ, однако подчеркивает, что в случае, когда некоторое НЧ встречается в оцениваемом выражении более одного раза, для оценки выходной величины должен использоваться соответствующий МТ.

В данном курсе используется следующее определение зависимых НЧ. Пусть 𝑓𝑟(𝑋1, ..., 𝑋

), 𝑟 = 1, 2, — нечеткие расширения действи-

𝑛

𝑟

тельных непрерывных функций (не являющихся константами) функций 𝑓𝑟(𝑥1, ..., 𝑥

), 𝑥𝑖∈ R, 𝑋𝑖∈ F, 𝑖 = 1, ..., 𝑛𝑟; 𝑊𝑗, 𝑗 = 1, ..., 𝑘, и

𝑛

𝑟

𝑌𝑙, 𝑙 = 1, ..., 𝑝, также являются НЧ.

Определение 10. Нечеткие числа 𝑍1и 𝑍2рассматриваются за- висимыми (в рамках рассматриваемой модели/задачи), если они являются результатами функций 𝑓𝑟, 𝑟 = 1, 2, которые имеют один или несколько общих нечетких аргументов, т.е.

𝑍1= 𝑓1(𝑊1, ..., 𝑊𝑘, 𝑋1, ..., 𝑋𝑚) и 𝑍2= 𝑓2(𝑊1, ..., 𝑊𝑘, 𝑌1, ..., 𝑌𝑝), 𝑘 ≥ ≥ 1, 𝑚 ≥ 0, 𝑝 ≥ 0.

— 52 —

Концепция зависимости играет важную роль в теории вероятностей, в теории возможностей (possibility theory) и нечетких вероят- ностей (fuzzy probability theory) [26, 18], в интервальных вычислени- ях (interval computations) [21, 52], а также в нечетких вычислениях [32, 33]).

Случайным образом выбранные НЧ, а также НЧ, между которыми отсутствуют связи (в рамках исследуемой модели/задачи), рассматриваются независимыми.

Рассмотрим один из важных вопросов теории нечетких множеств. Пусть 𝑍 = (1, 2,3) — ТрНЧ. Чему равно 𝑍0= (1, 2, 3) − (1,2, 3)? Начнем решать данную задачу стандартным образом, т.е. на основе СНА согласно (2.11). Тогда, 𝑍0= (−2, 0, 2). Соответственно, в общем случае для НЧ 𝑍 = {[𝐴α, 𝐵α]}, 𝑍0= {[𝐴α, 𝐵α]} − {[𝐴α, 𝐵α]} = = {[𝐴α− 𝐵α, 𝐵α− 𝐴α]}. Числа такого вида называют обычно (сим- метричным) нечетким нулем.

Вспомним, что в основе определения функции от НЧ лежит принцип расширения Заде. Функция 𝑓 (𝑍 ) = 𝑍 −𝑍 является нечетким расширением исходной действительной функции 𝑓 (𝑥) = 𝑥 −𝑥. Поскольку 𝑓(𝑥) ≡ 0, то 𝑍0= 𝑍 − 𝑍 = 0 для любого НЧ 𝑍.

Зададим еще раз вопрос: чему равно 𝑍0= (1, 2, 3) − (1, 2, 3)? Ответ зависит от того, как связаны эти два НЧ. Если 𝑍 = (1, 2, 3), и мы рассматриваем 𝑍0= 𝑍 − 𝑍, тогда 𝑍0= 0. Однако, если (например, в рамках некоторой модели) одна величина описывается ТрНЧ (1,2,3), а другая, не связанная с первой, также равна ТрНЧ (1,2,3), тогда, вычисляя разность 𝑍0= (1, 2,3) − (1, 2, 3), на самом деле мы вычитаем две разные величины, значения которых совпадают, т.е. вычисляем НЧ 𝑍0= 𝑍1− 𝑍2, и при этом 𝑍1= 𝑍2= (1, 2, 3). Функция

𝑓(𝑍1, 𝑍2) = 𝑍1−𝑍2представляет собой нечеткое расширение действи-

тельной функции 𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1− 𝑥2. В этом случае 𝑍0= 𝑍1− 𝑍2= = (1, 2, 3) − (1, 2, 3) = (−2, 0, 2); соответственно, в общем случае, когда

𝑍1= 𝑍2= {[𝐴α, 𝐵α]}, 𝑍0= 𝑍1− 𝑍2= {[𝐴α− 𝐵α, 𝐵α− 𝐴α]}.

Этот пример еще раз подчеркивает важность концепции зависимости при вычислении функций от НЧ.

Для преодоления проблемы зависимости переменных при вычислении истинного (т.е. в соответствии с принципом расширения) результата функции от НЧ, предложены методы трансформации (МТ), представляющие собой один из вариантов интервальных вычислений по α-срезам. МТ детально описаны в книге [33]. Предложенное ниже описание МТ в общем случае представляется автору (с учетом мнений ряда специалистов) не только более кратким, но и более понятным в

— 53 —

сравнении с соответствующими разделами в [33].

Рассмотрим действительную непрерывную функцию 𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑛),

𝑓 : R𝑛→ R, и ее нечеткое расширение, т.е. функцию 𝑓 (𝑍1, ..., 𝑍𝑛), где 𝑍𝑖— НЧ, 𝑖 = 1, ..., 𝑛.

Метод трансформации используется для вычисления функции от НЧ на основе реализации специализированных алгоритмов, прежде всего при наличии зависимых переменных в выражении, представляющем собой рассматриваемую функцию 𝑓 (𝑍1, ..., 𝑍𝑛), с целью получения истинной оценки НЧ 𝑍 = 𝑓 (𝑍1, ..., 𝑍𝑛).

Рассмотрим три основных варианта методов трансформации и процесс их реализации.

1. Если исходная действительная функция 𝑓 (𝑥1, ..., 𝑥𝑛) является

𝑖

монотонной для каждого 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, ...,𝑛, в сегменте 𝑈𝑖= [𝐴

𝑖

, 𝐵

т.е. для дифференцируемых функций 𝜕𝑓/𝜕𝑥𝑖не меняет свой знак в сегменте 𝑈𝑖(для фиксированных значений остальных переменных в соответствующих сегментах 𝑈𝑗, 𝑗 = 𝑖), применяется редуцированный метод трансформации (РТМ; Reduced Transformation Method, RTM): для каждого α ∈ [0, 1], рассмат-

𝑖

риваются сегменты 𝑍

= [𝐴

𝑖

, 𝐵

], и вычисляются значения 𝑌 =

= 𝑓(𝑋1, ..., 𝑋𝑛) для всех комбинаций {𝑋1, ..., 𝑋𝑛}, где 𝑋𝑖— одна из граничных точек сегмента 𝑍

𝑖

, т.е. 𝑋𝑖∈ {𝐴

𝑖

, 𝐵

}, с последу-

ющей оценкой минимального и максимального значения 𝑌 для формирования α-среза 𝑍α= [𝐴α, 𝐵α] оцениваемого НЧ 𝑍 = = 𝑓(𝑍1, ..., 𝑍𝑛).

2. Если функция 𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑛) не является монотонной для каждого 𝑥𝑖в сегменте 𝑈𝑖, применяется общий метод трансформации (ОМТ; General TM): для каждого α-среза значения 𝑌 = = 𝑓 (𝑋1, ..., 𝑋𝑛) вычисляются для всех комбинаций {𝑋1, ..., 𝑋𝑛},

𝑖

где 𝑋𝑖является одной из 𝑁αточек в сегменте [𝐴

𝑖

го сегмент [𝐴

𝑖

, 𝐵

] разбивается на 𝑁α− 1 интервалов (соглас-

но специальному алгоритму) точками 𝐶1, ..., 𝐶

∈ {𝐴

𝑖

, 𝐶1, ..., 𝐶

𝑁α−2

𝑖

, 𝐵

}; затем берется минимум и максимум

, 𝐵

𝑁α−2

𝑖

]; для это-

, т.е. 𝑋𝑖∈

вычисленных значений 𝑌 для формирования α-среза 𝑍α= = [𝐴α, 𝐵α]. Добавим, что РТМ также может быть использован в данном случае в качестве упрощенного подхода, при этом необходимо увеличение количества используемых α-срезов.

3. В общем случае функция 𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑛) может быть монотонной по переменным 𝑥𝑖в сегментах 𝑈𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛1, и немонотонной

— 54 —

по остальным переменным в соответствующих сегментах. В этом случае, для уменьшения времени вычислений, вместо ОМТ используется расширенный МТ (Extended TM): для монотонных переменных 𝑥𝑖реализуется RTM, для оставшихся переменных применяется GTM.

Корректное применение соответствующего метода трансформации (МТ) при вычислении НЧ 𝑍 = 𝑓(𝑍1, ..., 𝑍𝑛) совместно с увеличением количества используемых α-срезов ведут к истинной оценке НЧ 𝑍.

С учетом последнего замечания, несмотря на некоторое приближение, в данном курсе будем называть выходную величину 𝑍 «истинным» значением функции от НЧ 𝑓(𝑍1, ..., 𝑍𝑛).

В общем случае, для более точного вычисления НЧ 𝑍 = = 𝑓(𝑍1, ..., 𝑍𝑛) (прежде всего для гладких действительных функций 𝑓 (𝑥1, ..., 𝑥𝑛)) можно использовать библиотеки для интервальных вычислений с целью поиска минимума и максимума функции

𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑛) на множестве

𝑛



𝑖=1

[𝐴

𝑖

, 𝐵

Рис. 2.5: Общий вид системы оценки функций от нечетких чисел F-Calc

Для научных и образовательных целей, а также для развития навыков вычисления функций от нечетких аргументов в рамках данного курса, рекомендуем использовать оригинальную нечеткую компьютерную систему F-Calc [2], в которой реализованы численные мето-

— 55 —

ды оценки широкого класса функций от НЧ, в том числе при наличии зависимых переменных, с использованием приближенных методов, СНА, а также РМТ и ОМТ с возможностью задания различного количества α-срезов (рис. 2.5).

Задачи к разделу 2.3

1. Задание: изучите руководство пользователя нечеткой системы F-Calc, включая задание различных типов входной информа-

ции — нечетких аргументов, выражений для формирования функций и всех имеющихся в системе методов вычисления функций, задание количества α-срезов, графическое представление входной и выходной функции, в том числе анализ выходных результатов.

2. Вычислите функции 𝑓 (𝑍) = 𝑍 − 𝑍 и 𝑔(𝑍 ) = 𝑍/𝑍 (𝑍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) > > 0) имеющимися методами (приближенное вычисление, применение стандартной нечеткой арифметики (СНА) и редуцированного метода трансформации (РМТ) и сделайте выводы об особенностях функционирования встроенных в систему методов вычисления касательно работы с зависимыми и независимыми нечеткими переменными.

3. Вычислите функцию 𝑓(𝑍) = 𝑍(𝑍 − 5) имеющимися методами вычислений для ТрНЧ с различным расположением носителя и сравните полученные результаты.

4. Вычислите функцию 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) для ТрНЧ 𝑍 = = (1, 2, 3) четырьмя основными методами и объясните полученные результаты.

5. Вычислите функцию от нечетких аргументов 𝑓 = 𝐴 + 𝐵𝐶 + 𝐷2, 𝐴 = (0, 1, 2), 𝐵 = 𝐶 = (1, 3, 4), 𝐷 = (2, 3, 4, 5) различными методами и сравните полученные результаты.

6. Приведите примеры, когда истинные значения функций 𝑓1= = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 и 𝑓2= 𝐴(𝐵 + 𝐶) совпадают и когда различаются, используя ТрНЧ 𝐴, 𝐵, 𝐶.

7. Используя ТпНЧ, не все из которых являются положительными, определите результат функции 𝑓 = 𝐴 + 2𝐴(𝐵 + 𝐶2) + 𝐷2𝐶3.

— 56 —

8. Вычислите значение функции 𝑓 = exp(𝑋) для 𝑋 = (1, 2, 3).

9. Определите значение функции 𝑔 = exp(𝑋/𝑌 + 𝑌/𝑋) для 𝑋 = = (1, 2, 3), 𝑌 = (2, 3,4).

10. Вычислите значение функции 𝐷 = [𝑊1(1 − 𝐴2)/(𝑊1(1 − 𝐴2)+

+𝑊2(1 − 𝐵2))]

1/2

, 𝐴 = (0.1, 0.2, 0.3), 𝐵 = (0.5, 0.6, 0.7), 𝑊1=

= (0.05, 0.1, 0.15), 𝑊2= (0.7, 0.8, 0.9).

11. Задайте два (строго) полунепрерывных сверху нечеткие числа 𝐴, 𝐵 и вычислите их сумму и произведение.

2.4. Методы ранжирования нечетких чисел

Сравнение двух действительных чисел 𝑎 и 𝑏, как и ранжирование

𝑛 действительных чисел {𝑎1, ..., 𝑎𝑛}, является естественной и инту-

итивно простой задачей (здесь речь не идет о сортировке большого массива действительных чисел): 𝑎 ≥ 𝑏, если (𝑎 − 𝑏) ≥ 0.

Нечеткие числа, в отличие от действительных, не имеют интуитивно очевидного порядка. На рис. 2.6 показаны три НЧ, и сказать на основе интуитивных соображений, какое из них можно считать большим или меньшим — невозможно.

Рис. 2.6: Пример трех нечетких чисел с интуитивно неясным

ранжированием

— 57 —

В работе [50] подчеркивается, что ранжирование нечетких чисел является одной из ключевых проблем теории нечетких множеств.

Для целей сравнения (ранжирования) НЧ можно представить некоторое бинарное отношение превосходства 𝑅: пусть 𝐴 и 𝐵 — два НЧ из множества рассматриваемых НЧ F; скажем, что (𝐴, 𝐵) ∈ 𝑅, если 𝐴 превосходит или не уступает 𝐵, 𝐴 ⪰𝑅𝐵, согласно отношению 𝑅. Задача как раз и состоит в том, чтобы построить указанные правила превосходства 𝑅, которые будем называть методами ранжирования.

К настоящему времени разработано более 40 различных методов ранжирования НЧ [57, 58, 40, 69]; далее будем использовать также термин «нечеткие методы ранжирования» (НМР). Очевидно, что среди предложенных методов ранжирования нет явного лидера по всем возможным критериям его оценки. Для оценки возможностей и свойств НМР предложен список (разумных и желательных) требований к НМР, по традиции называемых аксиомами. Общепринятый список аксиом НМР был предложен в [57, 58]. Ниже указанные аксиомы представлены в стиле, приспособленном к данному курсу.

Следующие обозначения обычно используются в рамках НМР: 𝐴 ≻ 𝐵 , 𝐴 ∼ 𝐵, и 𝐴 ⪰ 𝐵, что означает, соответственно, 𝐴 превосхо- дит 𝐵 (имеет более высокий ранг), тот же ранг (или эквивалентны по рангу), что и 𝐵, и не уступает 𝐵 по рангу (т.е. превосходит или имеет тот же ранг). Предполагается также, что:

1. Рассматриваемые НЧ удовлетворяют условиям применения метода ранжирования 𝐼;

2. Выполняется требование полноты: когда НМР 𝐼 применяется на множестве НЧ S, выполняется одно из указанных условий для каждой пары НЧ: 𝐴, 𝐵 ∈ S : 𝐴 ≻ 𝐵, 𝐵 ≻ 𝐴 или 𝐴 ∼ 𝐵.

Следующие аксиомы для методов ранжирования НЧ являются ба-

зовыми [57] (ниже для НМР используется обозначение 𝐼):

∙ 𝐴1(рефлексивность): для любого НЧ 𝐴, 𝐴 ⪰𝐼𝐴;

∙ 𝐴2(антисимметричность): для любых НЧ 𝐴 и 𝐵, из 𝐴 ⪰𝐼𝐵 и

𝐵 ⪰𝐼𝐴, следует 𝐴 ∼𝐼𝐵;

∙ 𝐴3(транзитивность): для НЧ 𝐴, 𝐵 и 𝐶, из 𝐴 ⪰𝐼𝐵 и 𝐵 ⪰𝐼𝐶,

следует 𝐴 ⪰𝐼𝐶;

∙ 𝐴4(различимость): если НЧ 𝐴 и 𝐵 выполняется условие

inf supp(𝐴) > sup supp(𝐵), тогда 𝐴 ⪰𝐼𝐵;

— 58 —

∙ 𝐴5(отсутствие обращения рангов): пусть S и S′— два произ-

вольных конечных множества НЧ; если НЧ 𝐴 и 𝐵 находятся в

SS′, тогда: 𝐴 ≻𝐼𝐵 в S′тогда и только тогда, когда 𝐴 ≻𝐼𝐵 в S;

∙ 𝐴6: для НЧ 𝐴, 𝐵 и произвольного НЧ 𝐶, если 𝐴 ⪰𝐼𝐵, тогда

𝐴 + 𝐶 ⪰𝐼𝐵 + 𝐶;

∙ 𝐴7: для НЧ 𝐴, 𝐵 и 𝐶 ≥ 0, если 𝐴 ⪰𝐼𝐵, тогда 𝐴𝐶 ⪰𝐼𝐵𝐶.

Следует подчеркнуть, что в аксиомах 𝐴6и 𝐴7НЧ 𝐴, 𝐵, 𝐶, а также 𝐴 + 𝐶 и 𝐵 + 𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 рассматриваются как независимые.

Среди НМР можно выделить три основных класса: методы дефаззификации (defuzziﬁcation based ranking methods), методы сравне- ния с референтным (эталонным) нечетким множеством (comparison

with the reference fuzzy set) и методы попарного сравнения (pairwise comparison ranking methods) [40, 57, 58].

Конечно, рассматривать все имеющиеся на данный момент методы ранжирования является неподъемной и ненужной задачей, поскольку в научно-практических исследованиях и приложениях активно используются лишь несколько из НМР. Основные из них рассматриваются ниже.

1. Методы дефаззификации. Каждое участвующее в процессе ран- жирования НЧ представляется соответствующим действительным числом с последующим их ранжированием [10, 22, 57, 61, 60].

В рамках курса рассматриваются два наиболее востребованных НМР из данного класса: центроид индекс (Centroid Index), далее — CI (используется также термин центр тяжести, center of gravity ), а также интеграл средних (Integral of Means), далее — IM.

Согласно CI методу (который называют также методом Ягера-1 (Yager-1), если supp(𝑍) ⊆ [0, 1]), дефаззификация НЧ 𝑍 основана на следующей формуле: [57, 61, 60]:



𝑥𝑍(𝑥)𝑑𝑥

𝐶𝐼(𝑍) =



𝑍(𝑥)𝑑𝑥

, (2.21)

здесь 𝑍(𝑥) = µ𝑍(𝑥).

Согласно методу ранжирования CI, 𝑍𝑖⪰𝐼𝑍𝑗если 𝐶𝐼(𝑍𝑖) ≥ ≥ 𝐶𝐼(𝑍𝑗).

Метод CI имеет очевидную ассоциацию с математическим ожиданием случайной величины ξ с плотностью распределения φξ(𝑥) = = 𝑍(𝑥)/𝑆, где 𝑆 = 𝑆(𝑍) =𝑍(𝑥)𝑑𝑥 — площадь под кривой 𝑍 (𝑥).

— 59 —

В терминах α-срезов CI для НЧ 𝑍 = {[𝐴α, 𝐵α]} определяется сле- дующим выражением:



𝐶𝐼(𝑍) =

(𝐵α+ 𝐴α)(𝐵α− 𝐴α))/2𝑆 𝑑α, (2.22)

здесь 𝑆 = 𝑆(𝑍) — указанная выше площадь под кривой 𝑍(𝑥):

𝑆 = 𝑆(𝑍) =



𝑐

µ𝑍(𝑥)𝑑𝑥 =

𝑐



(𝐵α− 𝐴α) 𝑑α. (2.23)

Для синглтона 𝑍 = 𝑐, 𝐶𝐼 (𝑍) = 𝑐.

НМР IM (или Yager-2) базируется на оценке следующего выражения для НЧ 𝑍 = {[𝐴α, 𝐵α]} [57, 60]:



𝐼𝑀(𝑍) =

(𝐴α+ 𝐵α)/2 𝑑α. (2.24)

НЧ с большим значением 𝐼𝑀 (𝑍) имеет более высокий ранг в рамках НМР IM. НЧ 𝑍1и 𝑍2являются эквивалентными в ранках данного метода, если 𝐼𝑀 (𝑍1) = 𝐼𝑀(𝑍2).

Можно доказать следующее утверждение.

Лемма 2. Для треугольного нечеткого числа 𝑍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), 𝑎 ≥ ≥ 0:

𝐶𝐼(𝑍) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)/3. (2.25)

Имеет место также следующее соотношение.

Лемма 3. Для трапециевидного нечеткого числа 𝑍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), 𝑎 ≥ 0:

𝐶𝐼(𝑍) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − (𝑑𝑐 − 𝑎𝑏)/(𝑑 + 𝑐 − 𝑎 − 𝑏))/3. (2.26)

2. Методы ранжирования, основанные на оценке расстояния до

референтного (эталонного) нечеткого множества. Определяется ре-

ферентное/эталонное НМ 𝑍0с последующим вычислением расстояния 𝑑(𝑍𝑖, 𝑍0) от 𝑍𝑖до 𝑍0. Как правило, чем ближе расстояние, тем выше ранг НЧ. Существует несколько подходов к определению эталонного/референтного числа 𝑍0, в том числе на основе участвующих в ранжировании НЧ {𝑍𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛} [57, 59]. Рассмотрим один при- мер из методов ранжирования данного класса — метод Керре [57].

— 60 —

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]