Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Можно показать, что 𝑇𝐷≤ 𝑇𝐿≤ 𝑇𝑃≤ 𝑇𝑀. Кроме того, доказано,
что для любой 𝑡-нормы 𝑇 : 𝑇𝐷≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝑀.
Таким образом, 𝑡-норму 𝑇 можно представить как обобщение операции пересечения (произведения) НМ: для НМ 𝐴 и 𝐵 на X значение
функции принадлежности 𝐶(𝑥) НМ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 определяется через
значения 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) как 𝐶(𝑥) = 𝑇 (𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥)).
Определение 4. Треугольной конормой (𝑡-конормой или 𝑠нормой) называется отображение 𝑇 : [0,1]2→ [0, 1] удовлетворя-
ющее следующим условиям: для любых 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥1, 𝑦1из [0,1] выполняются условия S1-S3, совпадающие соответственно с условиями
T1-T3 определения 𝑡-нормы 3, а также условие
S4. 𝑇 (𝑥, 0) = 𝑥, 𝑇 (𝑥, 1) = 1.
Если 𝑡-норма является обобщением операции пересечения, то 𝑠норма — обобщение операции объединения. Можно выделить следующие наиболее известные примеры 𝑠-норм:
𝑆𝑀(𝑥, 𝑦) = max{𝑥, 𝑦} (логическая сумма);
𝑆𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 (алгебраическая сумма);
𝑆𝐿(𝑥, 𝑦) = min{𝑥 + 𝑦, 1} (𝑠-норма Лукасевича);
𝑆𝐷(𝑥, 𝑦) = {𝑥, 𝑦 = 0; 𝑦, 𝑥 = 0; 1, (𝑥,𝑦) ∈ (0, 1]2} (драстическая
сумма).
Связь между 𝑡- и 𝑠-нормами представлена в следующем утверждении.
Теорема 2. 𝑆 : [0, 1]2→ [0, 1] является 𝑠-нормой тогда и только
тогда, когда найдется 𝑡-нома 𝑇 такая, что 𝑆(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑇 (1 − 𝑥,
1 − 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1]2.
В теории НМ разработаны различные подходы к обобщению указанных норм, исследованию норм с дополнительными требованиями к
непрерывности, строгой монотонности (см. свойство Т3), а также целый ряд других методологических подходов, связанных с концепцией
𝑡 − 𝑠-норм [45, 47, 59, 54].
— 21 —
Задачи к разделу 1.3
1. Задайте конечные нечеткие множества 𝐴 и 𝐵 и определите их
алгебраическую сумму.
2. Задайте непрерывные нечеткие множества 𝐴 и 𝐵 и определите
их алгебраическое произведение.
3. Для нечетких множеств 𝐴 = {(0, 0), (1, 0.1), (2, 0.2), (4, 0.4),
(5, 0.5)} и 𝐵 = {(0, 0.1), (1, 0.9), (3, 0.5), (4,0.6), (5, 1), (6, 0.6)}
определите результат 𝑡-нормы Лукасевича 𝑇𝐿(𝐴, 𝐵).
4. Для указанных выше нечетких множеств 𝐴 и 𝐵 определите результат 𝑠-нормы Лукасевича 𝑆𝐿(𝐴, 𝐵).
5. Для указанных выше нечетких множеств определите различие
между их логической и алгебраической суммами.
1.4. Метрика на нечетких множествах, мера нечеткости
и энтропия
Изложение современной теории НМ — неподъемная задача для
полугодового курса (как и для годового). Поэтому ниже кратко перечислим ряд других фундаментальных разделов НМ, имеющих свои
приложения в различных научно-практических областях.
1. Метрика на НМ. Рассмотрим множество всех НМ, 𝐹(X), на
универсальном множестве X. Существуют различные подходы к формированию метрик на 𝐹(X), в том числе к определению расстояния
между НМ.
Отображение 𝑑 : 𝐹2(X) → R представляет собой метрику рассто-
яния на 𝐹 (X), если выполняются следующие аксиомы для всех НМ
𝐴, 𝐵, 𝐶 в 𝐹 (X):
1) 𝑑(𝐴, 𝐵) ≥ 0 (неотрицательная определенность);
2) 𝑑(𝐴, 𝐴) = 0 (рефлексивность);
3) 𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑑(𝐵, 𝐴) (симметричность);
4) 𝑑(𝐴, 𝐵) ≤ 𝑑(𝐴, 𝐶) + 𝑑(𝐶, 𝐵) (неравенство треугольника).
— 22 —
Одним из востребованных подходов к определению расстояния
𝑑(𝐴, 𝐵) между НМ 𝐴 и 𝐵 является использование обобщенного расстояния Минковского в R𝑛. Например, для конечного или счетного
универсального множества X = {𝑥1, ...𝑥𝑛...} и НМ 𝐴, 𝐵 на X:
𝑑𝑝(𝐴, 𝐵) = (
|𝐴(𝑥𝑖) − 𝐵(𝑥𝑖)|𝑝)
𝑖
1/𝑝
, 1 ≤ 𝑝 < ∞;
(1.3)
𝑑∞(𝐴, 𝐵) = sup𝑖|𝐴(𝑥𝑖) − 𝐵(𝑥𝑖)|
(при условии сходимости указанного ряда для счетного универсального множества X). При 𝑝 = 1 уравнение (1.3) называют манхэттенским
расстоянием, для 𝑝 = 2 — евклидовым расстоянием, для 𝑝 = ∞ —
расстоянием Чебышева.
Для континуальных универсальных множеств X (с заданной мерой) вместо суммы в (1.3) используется соответствующее интегральное представление расстояния. Например, для 𝑝 = 2 расстояние между НМ 𝐴, 𝐵 на R2может оцениваться формулой
𝑑2(𝐴, 𝐵) = (
(𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥))2𝑑𝑥)
2
R
1/2
. (1.4)
В приложениях используется также относительное расстояние
Минковского:
δ𝑝(𝐴, 𝐵) = 𝑑𝑝(𝐴, 𝐵)/(µ(X))
1/𝑝
, (1.5)
где µ(X) — конечная мера (если существует) универсального множества X (например, для универсального конечного множества из 𝑛 элементов, µ(X) = 𝑛; если X — шар/эллипсоид или другая замкнутая
связная область в R2, при вычислении 𝑑2, µ(X) представляет собой
объем области).
Расстояния (1.3), (1.4) используются в различных областях нечеткой математики, в том числе в задачах нечеткой кластеризации данных и объектов [44, 59, 54].
2. Мера нечеткости НМ. Указанные выше метрические характеристики используются также для оценки так называемой меры нечет-
кости (или размытости) НМ [45, 44, 59, 47].
Рассмотрим элементы 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, ...4 нечеткого множества 𝐴 на X,
при этом: 𝐴(𝑥1) = 0.1, 𝐴(𝑥2) = 0.5, 𝐴(𝑥3) = 0.9, 𝐴(𝑥4) = 1. Что
можно сказать о степени неопределенности или меры нечеткости при
рассмотрении вопроса о принадлежности элемента 𝑥𝑖множеству 𝐴?
— 23 —
Интуитивно понятно, что 𝑥1практически не принадлежит 𝐴 (уверенность, что 𝑥1принадлежит 𝐴, очень мала). В то же время, элемент 𝑥
практически принадлежит (мера уверенности равна 0.9), а 𝑥4точно
принадлежит 𝐴. А вот элемент 𝑥2с мерой принадлежности 0.5 одинаково принадлежит и не принадлежит 𝐴. Как и в теории вероятностей
вероятность события 𝑃 (𝑥), так и в НМ мера принадлежности 𝐴(𝑥),
равные 0.5, считаются максимально неопределенными/нечеткими.
Рассматривается максимально нечеткое множество 𝑀 на X со следующей функцией принадлежности 𝑀 (𝑥): 𝑀 (𝑥) = 0.5 для всех 𝑥 ∈ X.
На таком подходе, а также на учете расстояния до НМ 𝐴 (дополнения к НМ 𝐴) основан ряд функций оценки меры нечеткости НМ 𝐴.
Например,
3
𝑓𝑝(𝐴) = 1 − 2δ𝑝(𝐴, 𝑀); 𝑓
здесь δ𝑝— относительное расстояние (1.4), 𝑓
(𝐴) = 1 − δ𝑝(𝐴, 𝐴), (1.6)
𝑌,𝑝
(𝐴) — мера нечеткости
𝑌,𝑝
Ягера (чем больше значение 𝑓𝑝(𝐴), тем больше мера/степень размытия НМ 𝐴).
3. Аксиоматический подход к мере нечеткости и нечеткая эн-
тропия. В рамках данного подхода представлена система условий/аксиом, которым удовлетворяют функции оценки меры нечеткости 𝑓 (fuzziness), 𝑓 : 𝐹2(X) → R, называемые также функционалами
нечеткой энтропии [45, 47]. Одна из систем таких аксиом представлена
ниже.
1) A1. 𝑓(𝐴) = 0, если 𝐴 является четким множеством, т.е. 𝐴(𝑥) ∈
∈ {0, 1}, 𝑥 ∈ X ;
2) A2. 𝑓(𝐴) максимально, если 𝐴 является максимально НМ, т.е.
𝐴(𝑥) = 0.5, 𝑥 ∈ X;
3) A3. 𝑓(𝐴) ≤ 𝑓(𝐵), если 𝐴 является заострением 𝐵, под которым
понимается следующее: ∀𝑥 ∈ X выполняется условие 𝐴(𝑥) ≤
≤ 𝐵(𝑥) < 0.5 или 𝐴(𝑥) ≥ 𝐵(𝑥) > 0.5 или 𝐵(𝑥) = 0.5;
4) A4. 𝑓 (𝐴) = 𝑓 (𝐴);
в ряде систем аксиом добавляется также следующая аксиома:
5) A5. 𝑓 (𝐴 ∪ 𝐵) + 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑓 (𝐴) + 𝑓(𝐵).
— 24 —
Доказано, что функционал 𝑓(𝐴) удовлетворяет аксиомам А1-А5,
если (на примере конечного универсального множества X из 𝑛 элементов) 𝑓 (𝐴) можно представить в следующем виде:
𝑛
𝑓(𝐴) =
𝑔𝑖(𝐴(𝑥𝑖)), (1.7)
𝑖=1
и функции 𝑔𝑖: [0, 1] → R удовлетворяют следующим условиям: 𝑔𝑖(0) =
= 0, 𝑔𝑖(𝑦) = 𝑔𝑖(1 − 𝑦) и функция 𝑔𝑖(𝑦) является строго возрастающей
в [0,0.5].
Соответствующие обобщения имеют место также для континуальных универсальных множеств (с мерой).
Приведем несколько примеров функционалов нечеткой энтропии,
удовлетворяющих аксиомам A1-A5:
1. Энтропия (мера нечеткости) Ягера 𝑓
(𝐴) (1.6);
𝑌,1
2. Энтропия Кауфмана:
𝑛
𝑓
𝐾,1
(𝐴) = 2/𝑛
min{𝐴(𝑥𝑖), 1 − 𝐴(𝑥𝑖)}. (1.8)
𝑖=1
Широко используемый подход оценки нечеткой энтропии основан на используемой в информатике энтропии Шеннона, которая в
вероятностной трактовке может быть представлена следующим образом: для событий 𝑆𝑖, имеющих вероятность 𝑝𝑖, энтропия системы
𝑆𝑖, 𝑝 = (𝑝1, ..., 𝑝𝑛), 𝑖 = 1, ..., 𝑛, определяется выражением
𝑛
𝐻(𝑝) = −𝑘
𝑖=1
𝑝𝑖log2𝑝
𝑖
(1.9)
(здесь 𝑘 — некоторая константа нормировки).
Энтропия Шеннона обладает рядом интересных свойств, в том
числе достигает максимума на равновероятных событиях: 𝑝𝑖= 1/𝑛,
𝑖 = 1, ..., 𝑛, 𝐻(𝑝) = 𝑘 log2𝑛; и достигает минимума, 𝐻(𝑝) = 0, на детерминированных событиях вида 𝑝 = (0, ..0, 1, 0, ..., 0).
Нечеткая энтропия Шеннона для конечного НМ представляется
выражением
𝑛
𝑓𝐻(𝐴) = −𝑘
𝑔(𝐴(𝑥𝑖)), 𝑔(𝑦) = 𝑦 log2(𝑦) + (1 − 𝑦) log2(1 − 𝑦). (1.10)
𝑖=1
— 25 —
Нечеткая энтропия Шеннона удовлетворяет аксиомам А1-А5. Предложено также обобщение нечеткой энтропии Шеннона для континуальных метрических универсальных множеств (с мерой) [44]. В случае,
когда универсальное множество X = R, уравнение (1.10) может быть
представлено следующим образом:
𝑓𝐻(𝐴) = −𝑘
𝑔(𝐴(𝑥))𝑑𝑥. (1.11)
R
Меры нечеткости/размытости НМ находят широкое применение в
различных прикладных областях, в том числе в задачах обработки
изображений, распознавания образов и поддержки принятия решений.
Задачи к разделу 1.4
1. Для нечетких множеств 𝐴 = {(0, 0), (1, 0.1), (2, 0.2), (4, 0.4),
(5, 0.5)} и 𝐵 = {(0, 0.1), (1, 0.9), (3, 0.5), (4,0.6), (5, 1), (6, 0.6)}
найдите манхэттенское расстояние между ними.
2. Для указанных выше нечетких множеств найдите расстояние
между ними в метрике Чебышева.
3. Выберите два непрерывных нечетких множества 𝐴 и 𝐵 и найдите расстояние между ними в метрике Минковского для 𝑝 = 2.
4. Выберите два непрерывных нечетких множества 𝐴 и 𝐵 и найдите расстояние между ними в метрике Минковского для 𝑝 = 1
и 𝑝 = ∞.
5. Вычислите энтропию Шеннона для нечеткого множества
𝐴 = {(0, 0), (1, 0.5), (2, 0.25),(4, 0.125), (5, 0)}.
1.5. Нечеткие отношения
Рассмотрим множества 𝑋1, ..., 𝑋𝑛. Произведением указанных мно-
жеств, 𝑋1×...×𝑋𝑛, является множество 𝑋 = {(𝑥1, ..., 𝑥𝑛) : 𝑥𝑖∈ 𝑋𝑖, 𝑖 =
= 1, ..., 𝑛}. Подмножество 𝑅 ⊆ 𝑋 называют отношением 𝑅 на
𝑋; как правило, подразумевается, что между элементами 𝑥𝑖в от-
ношении 𝑅 имеются определенные связи, которые рассматриваются/используются в рамках конкретного исследования. Теория отношений является важной частью теории обычных/четких множеств.
— 26 —
Ниже будут рассматриваться бинарные отношения, т.е. случай
𝑛 = 2.
Нечеткие отношения представляют собой расширение четких от-
ношений.
Определение 5. Бинарное нечеткое отношение 𝑅 на универ-
сальном множестве (𝑋 ×𝑌 ) — это набор 𝑅 = {((𝑥, 𝑦), µ𝑅(𝑥, 𝑦)) : 𝑥 ∈
∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 }.
Нечеткие (как и четкие) отношения могут быть эффективно пред-
ставлены в виде соответствующих таблиц, графов или поверхностей.
Очевидно, нечеткое отношение (НО) 𝑅 фактически представля-
ет собой НМ 𝐴 с элементами 𝑎 = (𝑥, 𝑦), функцией принадлежности
µ𝐴= 𝐴 : 𝑋 × 𝑌 → R и степенью принадлежности (элемента 𝑎 нечет-
кому множеству 𝐴) 𝐴(𝑎) = µ𝑅(𝑥, 𝑦). Поэтому все операции над НМ,
описанные в пп. 1.2–1.4, переносятся и на НО.
Операции композиции для НО вводятся по аналогии с четкими отношениями, при этом добавляются правила оценки результирующей
функции принадлежности.
Пусть 𝑅 и 𝑆 — НО на 𝑋 ×𝑌 и 𝑌 ×𝑍 с функциями принадлежности
𝑅(𝑥, 𝑦) и 𝑆(𝑦, 𝑧) соответственно. Введем композицию отношений 𝑅 и
𝑆, 𝑄 = 𝑅 ∘ 𝑆, в 𝑋 × 𝑍:
µ𝑄(𝑥, 𝑧) = 𝑄(𝑥, 𝑧) = sup𝑦𝑇 (𝑅(𝑥, 𝑦), 𝑆(𝑦, 𝑧)), (1.12)
где 𝑇 − 𝑡-норма (см. п. 1.3, определение 3). В приложениях чаще всего
используются такие 𝑡-нормы, как логическое (𝑇𝑀(𝑢, 𝑣) = min(𝑢, 𝑣))
или алгебраическое (𝑇𝑃(𝑢, 𝑣) = 𝑢𝑣)) произведения. Композиция НО
обладает такими свойствами, как
ассоциативность, 𝑅 ∘ (𝑄 ∘ 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑄) ∘ 𝑆;
монотонность, 𝑅 ∘ 𝑄 ⊆ 𝑅 ∘ 𝑆 если 𝑄 ⊆ 𝑆;
дистрибутивность (для 𝑇𝑀нормы), 𝑅 ∘ (𝑄 ∪ 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑄) ∪ (𝑅 ∘ 𝑆);
𝑅𝑛= 𝑅 ∘ 𝑅
𝑛−1
(следует из ассоциативности).
В теории и практике НО особую роль играют бинарные отношения на декартовом квадрате, т.е. НО 𝑅 на 𝑋 × 𝑋. Такие НО часто
изображают на графах, в том числе на ориентированных (ориентированное ребро на графе из вершины 𝑥 в в вершину 𝑦, если 𝑅(𝑥, 𝑦) > 0,
с указанием веса 𝑅(𝑥, 𝑦) данного ребра).
Наиболее популярными в научно-практических исследованиях являются НО 𝑅 на декартовом квадрате, обладающие одним или
несколькими из следующих свойств:
— 27 —
1) рефлексивностью, 𝑅(𝑥, 𝑥) = 1 ∀𝑥 ∈ 𝑋;
2) антирефлексивностью, 𝑅(𝑥, 𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ 𝑋;
3) симметричностью, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅(𝑦, 𝑥) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑋;
4) антисимметричностью: для каждой пары (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑋, из
𝑥 = 𝑦 следует 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅(𝑦, 𝑥) или 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅(𝑦, 𝑥) = 0;
5) совершенной антисимметричностью, для каждой пары (𝑥, 𝑦) ∈
∈ 𝑋 × 𝑋, из 𝑥 = 𝑦 и 𝑅(𝑥, 𝑦) > 0 следует 𝑅(𝑦 , 𝑥) = 0;
6) (sup-min) транзитивностью (или просто транзитивностью),
𝑅(𝑥, 𝑧) ≥ sup𝑦min(𝑅(𝑥, 𝑦), 𝑅(𝑦, 𝑧)) для любых (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑋 × 𝑋;
7) (inf-max) транзитивностью, 𝑅(𝑥, 𝑧) ≤ inf𝑦max(𝑅(𝑥, 𝑦), 𝑅(𝑦, 𝑧))
для любых (𝑥, 𝑧 ) ∈ 𝑋 × 𝑋 .
Можно показать, что условие транзитивности эквивалентно включению 𝑅2⊆ 𝑅.
В приложениях часто используют так называемое транзитивное
замыкание нечеткого отношения 𝑅, представляющее собой наимень-
шее транзитивное отношениеˆ𝑅, содержащее 𝑅. Точное определение
транзитивного замыканияˆ𝑅 можно сформулировать так:
1. 𝑅 ⊆ˆ𝑅;
2.ˆ𝑅 является транзитивным НО;
3. Если существует транзитивное НО 𝑄 такое, что 𝑅 ⊆ 𝑄, тогда
ˆ
𝑅 ⊆ 𝑄.
Можно доказать, что
ˆ
𝑅 = 𝑅 ∪ 𝑅2∪ 𝑅3∪ ..... (1.13)
Для универсального множества 𝑋 из 𝑛 элементовˆ𝑅 = ∪
𝑛
𝑖=1
𝑅𝑖.
В различных приложениях используются также и другие виды
транзитивности, в частности, сильная транзитивность, которая эффективно используется в задачах распознавания образов и кластерном анализе [46].
— 28 —
Задачи к разделу 1.5
1. Для универсальных множеств 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3} и 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2}
постройте пример бинарного нечеткого отношения 𝑅 на 𝐴 × 𝐵 с
использованием матричного представления.
2. Для множества 𝐴 = {𝑎1, ..., 𝑎9} постройте пример бинарного
нечеткого отношения 𝑅 на декартовом квадрате 𝐴× 𝐴 с использованием представления на графах.
3. Постройте пример бинарных нечетких отношений 𝑅1 и 𝑅2 на
универсальном множестве 𝑋 × 𝑌 , где 𝑋 и 𝑌 — дискретные множества из четырех элементов каждый, обладающих свойствами
один ко многим и многие к одному.
4. Приведите пример нечеткого отношения на декартовом квадрате 𝑋 × 𝑋 , являющегося рефлексивным; антирефлексивным;
симметричным; антисимметричным; совершенно антисимметричным; транзитивным.
5. Задайте нечеткое отношение 𝑅 на декартовом квадрате 𝑋 × 𝑋,
где дискретное множество 𝑋 состоит из трех элементов. Вычислите композицию 𝑅2= 𝑅 ∘ 𝑅 с использованием 𝑡-нормы логиче-
ского произведения.
6. Для заданного в предыдущей задаче нечеткого отношения 𝑅 вычислите композицию 𝑅2= 𝑅 ∘ 𝑅 с использованием 𝑡-нормы ал-
гебраического произведения.
7. Докажите свойство ассоциативности для композиции нечетких
отношений с использованием 𝑡-нормы логического произведения.
8. Докажите свойство дистрибутивности для композиции нечетких
отношений с использованием 𝑡-нормы логического произведения.
1.6. Трактовка понятий нечеткого множества и функции
принадлежности
Содержание этого раздела, по крайней мере частично, может на-
ходиться во введении к лекциям, или в самом конце, когда можно
— 29 —
подытожить различные трактовки понятий нечеткости и НМ. В то же
время, как показывает опыт, к данному разделу можно (или нужно)
возвращаться после каждой лекции или каждого изучаемого раздела
теории НМ и практики ее применения.
1.6.1. Нечеткие множества
Каждая из книг специалистов по нечетким множествам, а также по проблематике неопределенности в широком или узком смысле
(что мы не будем рассматривать здесь, так как это предмет обсуждений многих монографий и диссертаций, а также многих дискуссий,
которые можно вынести за рамки лекций и обсудить в рамках соответствующих рефератов) начинается с соответствующих примеров,
трактующих или обосновывающих данное научное понятие и/или теоретическое направление.
В классической математике, физике, медицине и др. используются
точные величины:
∙ скорость машины 125 км/ч;
∙ длина прыжка спортсмена 3.5 метра;
∙ температура больного 41.7∘C;
∙ зарплата доцента 32 тыс.руб./мес.;
∙ (средняя) плотность радиоактивного загрязнения населенного
пункта 52 Ки/км2.
В то же время, для трактовки указанных величин (их использования в концептуальном описании и/или принятии соответствующих
решений), а также в обычной жизни можно выразить указанные или
другие величины, например, следующим образом:
∙ скорость машины высокая;
∙ длина прыжка весьма небольшая;
∙ температура больного очень высокая;
∙ зарплата доцента маленькая;
∙ плотность радиоактивного загрязнения населенного пункта
неприемлемо высокая.
— 30 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]