Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Лекция 4. Нечеткий многокритериальный
анализ решений
Многокритериальный анализ решений (МКАР) направлен на выбор «оптимальных» или, более корректно, компромиссных вариантов
решений (альтернатив), их ранжирование или сортировку и является
эффективным инструментом поддержки принятия решений для выбора обоснованных вариантов действий [8, 9, 6].
К настоящему времени разработано большое количество методов МКАР, наиболее востребованными из которых являются методы AHP (Analytic Hierarchy Process), TOPSIS (Technique for Order
Preference by Similarity to Ideal Solution), PROMETHEE (Preference
Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation), MAVT
(Multi-Attribute Value Theory), MAUT (Multi-Attribute Utility Theory),
VIKOR (VIsekriterijumska optimizacija i KOmpromisno Resenje), а также методы семейства ELECTRE (ELimination and Choice Expressing
the REality) [14, 37, 31, 43].
В данной работе рассматриваются модели нечеткого МКАР
(НМКАР) [20, 53]. История развития НМКАР в течение последних
30 лет, разработанные модели, статистические данные о публикациях и приложениях, а также применение новых нечетких множеств в
рамках НМКАР детально изложены в [38, 41, 48].
Модели НМКАР представляют собой, как правило, нечеткое расширение классических методов МКАР. При этом основные используемые величины (значения альтернатив для рассматриваемых критериев и весовые коэффициенты критериев) рассматриваются как нечеткие числа (НЧ) или лингвистические переменные (ЛП), а для реализации соответствующих методу МКАР функций используется один
из вариантов приближенного вычисления функций от НЧ. Как классические, так и нечеткие модели МКАР применяются для решения
следующих основных классов задач многокритериального анализа решений:
∙ задача выбора (choice problem): производится поиск/выбор аль-
тернативы, имеющей самый высокий ранг (𝑟 = 1);
— 81 —
∙ задача ранжирования (ranking problem): проводится ранжиро-
вание альтернатив в убывающем порядке (от «лучшей» к «худшей» согласно выбранному методу);
∙ задача сортировки альтернатив (проводится сортировка альтер-
натив по упорядоченным группам, например: альтернативы с
высоким, средним или низким уровнями качества).
В нечетком моделировании могут быть использованы различные
методы оценки функций от нечетких величин, а также различные методы ранжирования НЧ (см. раздел 2). В связи с этим, нечеткое расширение заданного метода МКАР может быть реализовано несколькими вариантами. В данной работе под моделью НМКАР подразумевается нечеткое расширение исходного метода МКАР с выбранным
вариантом реализации функций от нечетких аргументов и конкретным методом ранжирования НЧ.
Обзор приложений моделей НМКАР для решения широкого круга
прикладных задач представлен в публикациях [38, 41, 48, 66, 70].
Общий вид (классического) метода МКАР (класса MADM, MultiAttribute Decision Making, подразумевается конечное число явно заданных альтернатив) может быть представлен следующим выражением:
𝑉 (𝑎𝑖) = 𝐹 (𝑎𝑖, 𝑤, 𝑎, 𝑝), (𝑎, 𝑤, 𝑝) ∈ 𝑈, (4.1)
здесь 𝐹 (.) — функция оценки обобщенного критерия 𝑉 (𝑎𝑖) альтернативы 𝑎𝑖заданного множества альтернатив 𝐴 = {𝑎1, ..., 𝑎𝑛}; каждая
альтернатива 𝑎𝑖характеризуется значениями 𝑐𝑖𝑗по заданным критериям 𝐶𝑗, 𝑗 = 1, ..., 𝑚; 𝑤𝑗— весовой коэффициент критерия 𝐶𝑗(или
просто критерия 𝑗); p — множество используемых параметров, и U —
множество ограничений и связей модели.
Нечеткое расширение модели (4.1), как правило, состоит в замене
всех или некоторых значений критериев и весовых коэффициентов
соответствующими нечеткими величинами, а также в коррекции формулы/модели 𝐹(.) при реализации функций от нечетких аргументов.
В данном курсе рассматриваются нечеткие расширения методов
МКАР TOPSIS (Fuzzy TOPSIS) и MAVT (Fuzzy MAVT).
4.1. Нечеткие модели МКАР: Fuzzy TOPSIS
TOPSIS является одним из самых востребованных в приложениях
методов МКАР [13, 36]. Варианты нечеткого расширения классиче-
— 82 —
ского метода TOPSIS (Fuzzy TOPSIS, FTOPSIS) представлены в целом ряде публикаций, см., например, [20, 19, 42, 29]; детальный обзор
моделей FTOPSIS, включая статистические данные об их применении
в приложениях, представлен в [38, 67].
Процесс реализации моделей FTOPSIS представляет собой модификацию соответствующих шагов реализации классического метода
TOPSIS [36].
1. Выбор множества альтернатив и критериев. Формирова-
ние дерева критериев (Value Tree) и таблицы характеристик
(Performance Table). Дерево критериев представляет собой мно-
жество критериев и альтернатив, заданных экспертами при решении конкретной задачи МКАР/НМКАР (рис. 4.1).
Таблица характеристик включает (нечеткие) значения альтернатив для заданных критериев (рис. 4.2).
Рис. 4.1: Дерево критериев задачи НМКАР
𝑖𝑗
Всюду ниже через 𝑐𝑖𝑗= {[𝐴
𝑖𝑗
, 𝐵
]} будем обозначать значение
α
α
альтернативы 𝑎𝑖по критерию 𝐶𝑗, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, 𝑗 = 1, ..., 𝑚. В
рамках общей модели FTOPSIS значения 𝑐𝑖𝑗рассматриваются
как НЧ общего вида.
2. Нормализация критериев. Как в классических, так и в нечетких
— 83 —
Рис. 4.2: Таблица характеристик задачи НМКАР
моделях МКАР значения критериев нормализуются, т.е. приводятся к безразмерным величинам, принимающим значения, как
правило, в отрезке [0,1]. Существует несколько вариантов нормализации критериев, в том числе и в нечетких моделях МКАР
[19, 42].
В рассматриваемых ниже моделях FTOPSIS используется следующий метод (линейной) нормализации [70]. Значение критерия 𝑐𝑖𝑗= {[𝐴
𝑖𝑗
𝑖𝑗
, 𝐵
]} преобразуется в безразмерную величину
α
α
𝑥𝑖𝑗, 𝑐𝑖𝑗→ 𝑥𝑖𝑗, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, 𝑗 = 1, ..., 𝑚, с использованием следу-
ющих формул.
Для позитивных критериев 𝐶𝑗:
𝑥𝑖𝑗= (𝑐𝑖𝑗− 𝐴0𝑗)/(𝐵0𝑗− 𝐴0𝑗); (4.2)
для негативных критериев 𝐶𝑗:
𝑥𝑖𝑗= (𝐵0𝑗− 𝑐𝑖𝑗)/(𝐵0𝑗− 𝐴0𝑗), (4.3)
здесь
𝐵0𝑗= max𝑖𝐵
𝑖𝑗
, 𝐴0𝑗= min𝑖𝐴
0
𝑖𝑗
. (4.4)
0
Очевидно, для НЧ 𝑥𝑖𝑗, supp(𝑥𝑖𝑗) ⊆ [0, 1], и в безразмерной 𝑥шкале все критерии являются позитивными.
— 84 —
3. Задание весовых коэффициентов. В классическом TOPSIS (как
и для большинства других методов МКАР) в случае 𝑚 критериев степень свободы для весовых коэффициентов 𝑤𝑗,𝑗 = 1, .., 𝑚,
равна 𝑚 − 1 из-за нормализации суммы на 1:
𝑚
𝑗=1
𝑤𝑗= 1.
Принимая во внимание указанное свойство, используется следующий алгоритм назначения весовых коэффициентов относи-
тельной важности (как вариант рейтинг-метода в МКАР или
swing-метода назначения коэффициентов относительной важности/шкалирования для метода MAVT/FMAVT):
наиболее важному критерию (определяемому экспертами), скажем 𝐶1, назначается весовой коэффициент 𝑤1= 1;
для критерия 𝐶𝑗, 𝑗 = 2, ..., 𝑚, определяется диапазон возможного изменения значения коэффициента 𝑤𝑗, принимая во внимание
относительную важность данного критерия в сравнении с критерием 𝐶1: 0 ≤ 𝐴
принадлежности с носителем [𝐴
𝑗
0
𝑗
≤ 𝐵
≤ 1; далее эксперты задают функцию
0
𝑗
𝑗
, 𝐵
].
0
0
4. Выбор идеальной и антиидеальной альтернатив. Следующий
подход для задания глобальных идеальной, 𝐼+, и антиидеальной, 𝐼−, альтернатив предлагается в рамках рассматриваемых
моделей FTOPSIS:
𝐼+= (1, ..., 1), 𝐼−= (0, ..., 0). (4.5)
5. Вычисление расстояний. В рамках предлагаемых моделей ис-
пользуется общая формула оценки взвешенных расстояний от
альтернативы 𝑎𝑖= (𝑥𝑖1, ..., 𝑥𝑖𝑚) (в нормализованных значениях
критериев), как точки в 𝑚-мерном евклидовом пространстве, до
идеальной и антиидеальной, 𝐷
Расстояние 𝐷
Расстояние 𝐷
+
до идеальной точки определяется выражением
𝑖
+
𝐷
= (
𝑖
−
до антиидеальной точки
𝑖
−
𝐷
𝑖
𝑚
𝑘=1
= (
+
, альтернатив.
𝑖
2
𝑤
(1 − 𝑥𝑖𝑘)2)
𝑘
𝑚
2
2
𝑤
𝑥
𝑘
𝑘=1
𝑖𝑘
1/2
. (4.6)
1/2
)
. (4.7)
— 85 —
6. Оценка обобщенного критерия. Обобщенный критерий (решаю-
щее правило, коэффициент близости) модели TOPSIS/FTOPSIS
для альтернативы 𝑎𝑖оценивается следующим выражением:
−
𝐷
𝐷𝑖= 𝐷(𝑎𝑖) =
𝐷
−
𝑖
𝑖
. (4.8)
+
+ 𝐷
𝑖
Учитывая уравнения (4.6) и (4.7), значение интегрального критерия для альтернативы 𝑎𝑖может быть представлено следующей
формулой:
𝑚
2
2
𝐷𝑖=
(
𝑚
𝑘=1
2
𝑤
𝑘
(
𝑘=1
2
1/2
𝑥
)
+ (
𝑖𝑘
𝑤
𝑘
𝑥
𝑖𝑘
𝑚
𝑘=1
1/2
)
2
𝑤
(1 − 𝑥𝑖𝑘)2)
𝑘
. (4.9)
1/2
Выражение 𝐷𝑖𝑗= 𝐷𝑖− 𝐷𝑗имеет следующий вид (данное выражение используется для вычисления 𝐷𝑖𝑗с применением методов
трансформации):
𝑚
2
2
𝑤
𝑚
𝑥
𝑥
𝑘
𝑚
𝑘=1
2
𝑗𝑘
1/2
)
𝑖𝑘
2
𝑤
(1 − 𝑥𝑖𝑘)2)
𝑘
1/2
)
2
𝑤
(1 − 𝑥𝑗𝑘)2)
𝑘
−
1/2
(4.10)
.
1/2
𝐷𝑖𝑗=
−
(
(
𝑚
𝑘=1
𝑚
𝑘=1
(
𝑘=1
2
2
1/2
𝑤
𝑥
)
𝑖𝑘
)
(
1/2
𝑚
𝑘=1
+ (
+ (
𝑤
2
𝑘
𝑘=1
𝑘
2
2
𝑤
𝑥
𝑘
𝑗𝑘
В рамках TOPSIS/FTOPSIS обобщенный критерий (4.8) может
быть представлен также трансформированным выражением
1 + 𝐷
1
. (4.11)
+
−
/𝐷
𝑖
𝑖
𝐷𝑖=
Соответственно, (4.9) в трансформированном виде представляется следующей формулой:
1
1 +
𝑚
𝑘=1
(
𝑚
𝑘=1
2
𝑤
𝑘
(1−𝑥𝑖𝑘)2)
2
2
𝑤
𝑥
𝑘
𝑖𝑘
(
. (4.12)
1/2
1/2
)
𝐷𝑖=
В рамках классического метода TOPSIS выражения (4.8)–(4.12)
являются эквивалентными (исключая вырожденный случай, когда одна из альтернатив является антиидеальной). Однако, в
— 86 —
рамках FMCDA модели (4.9) и (4.12) будут эквивалентными
только при использовании метода трансформации (МТ) для вычисления обобщенного критерия.
7. Ранжирование альтернатив. Ранжирование альтернатив осно-
вано на ранжировании НЧ с использованием одного из методов ранжирования множества НЧ 𝐷𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛. Наиболее востребованным в приложениях является метод ранжирования CI
(Centroid Index), представленный в разделе 2. В то же время, автор не видит никаких преимуществ данного метода над методом
ранжирования IM (Integral of Means).
Конкретную модель FTOPSIS формируют выбранный метод вычисления функций от НЧ и метод ранжирования альтернатив/НЧ
(см. раздел 2). Учитывая это, можно выделить следующие основные
модели FTOPSIS.
∙ Модели FTTrCI, FTTrIM; здесь: FT– сокращенное обозначение
для моделей; Tr — обозначение использования упрощенной модели вычисления функций от НЧ на основе распространения
треугольных НЧ (ТрНЧ/TrFNs) вдоль всей цепочки вычислений в рамках FTOPSIS; CI/IM — используемый в модели метод
ранжирования НЧ.
Вместо ТрНЧ могут использоваться ТпНЧ в рамках приближенных вычислений. Кроме того, лингвистические переменные с
заданными термами (реализуемыми в процессе вычислений как
ТрНЧ или ТпНЧ) также часто используются в рамках FTOPSIS
моделей. Отметим также, что приближенные вычисления с использованием метода ранжирования CI представляют собой самый востребованный подход в рамках FMCDA и FTOPSIS в
частности.
∙ Модели FTSCI, FTSIM, FTSY: S — применение СНА (Standard
Fuzzy Arithmetic), Y — метод ранжирования Юаня (Yuan’s
ranking). В рамках указанных моделей оценка 𝐷𝑖(см. (4.8)) базируется на СНА с последующим ранжированием НЧ 𝐷𝑖, 𝑖 =
= 1, ..., 𝑛, с использованием методов CI и IM; при применении
метода ранжирования Y разность 𝐷𝑖𝑗как 𝐷𝑖𝑗= 𝐷𝑖− 𝐷𝑗. Следует подчеркнуть, что реализация СНА при оценке 𝐷𝑖и 𝐷
ведет к переоценке выходного результата, поскольку НЧ 𝑤𝑘и
𝑥𝑖𝑘встречаются одновременно в числителе и знаменателе (см.
раздел 2.3).
— 87 —
𝑖𝑗
∙ Модели FTRIM, FTRCI, FTRSY: при вычислении 𝐷𝑖(4.8) ис-
пользуется RTM (Reduced Transformation Method), (см. раздел
2.3), при использовании Y — ранжирования 𝐷𝑖𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, ..., 𝑛,
оценивается непосредственно как 𝐷𝑖𝑗= 𝐷𝑖− 𝐷𝑗. В рамках моделей FTRIM и FTRCI 𝐷𝑖являются истинными оценками, в то
время как для оценк 𝐷𝑖𝑗в модели FTRSY имеет место переоценка, так как НЧ 𝐷𝑖и 𝐷𝑗являются зависимыми, поскольку
𝑤𝑘, 𝑘 = 1, ..., 𝑚, встречаются одновременно в 𝐷𝑖и 𝐷𝑗.
∙ Модели FTRY и FTEY: в рамках модели FTRY применяется
метод RTM для оценки разности 𝐷𝑖𝑗= 𝐷𝑖− 𝐷𝑗, используя выражение (4.10); в рамках модели FTRY для вычисления 𝐷𝑖𝑗применяется метод ETM: RTM применяется для НЧ {𝑥𝑖𝑘} и {𝑥𝑗𝑘},
для НЧ {𝑤𝑘}, 𝑖, 𝑗 = 1, ..., 𝑛, 𝑘 = 1, ..., 𝑚, применяется метод
GTM (см. раздел 2.3).
Исследование различий в ранжировании альтернатив различными
моделями с использованием методов Монте-Карло впервые представлены в работах [70, 65].
4.2. Нечеткие модели МКАР: Fuzzy MAVT
MAVT (Multi-Atribute Value Theory) является одним из наиболее
распространенных методов в рамках образовательных курсов и решения научно-практических задач анализа решений. MAVT представлен двумя основными моделями — аддитивной и мультипликативной
[14, 43]. В рамках данного курса рассматривается аддитивная модель
MAVT (мультипликативный вариант модели практически не используется для решения практических задач) [31]. Аддитивный MAVT
представляется следующей моделью, являющейся конкретизацией общей модели МКАР (4.1):
𝑚
𝑉 (a𝑖) =
𝑤𝑗𝑉𝑗(𝑐𝑖𝑗), (4.13)
𝑗=1
𝑤𝑗> 0,𝑤𝑗= 1, (4.14)
здесь 𝑐𝑖𝑗— значение альтернативы a𝑖по критерию 𝑗, 𝑉𝑗(𝑥) и 𝑤𝑗—
частная функция ценности и весовой коэффициент для критерия 𝑗
соответственно, 𝑗 = 1, . . . , 𝑚, 𝑖 = 1, ..., 𝑛; 𝑉 (a𝑖) интерпретируется как
— 88 —
интегральная ценность альтернативы a𝑖в рамках адитивного метода
MAVT.
Необходимо подчеркнуть, что применение аддитивного MAVT при
решении задач МКАР подразумевает выполнение ряда требований
(аксиом) [43], в том числе аксиомы взаимной независимости от разности (mutual difference independence), обеспечивающей существование
аддитивной измеримой интегральной функции ценности [30, 28].
Нечеткое расширение MAVT (Fuzzy MAVT, далее — FMAVT)
включает использование нечетких входных величин (значений критериев и весовых коэффициентов), реализацию функций от нечетких
аргументов и прменение одного из методов ранжирования НЧ. Первая модель FMAVT представлена в работе [66].
FMAVT базируется на реализации следующих шагов:
1. Формирование множества альтернатив A = {𝑎1, . . . , 𝑎𝑛} и множества критериев C = {𝐶1, . . . , 𝐶𝑚} в рамках рассматриваемой
задачи МКАР (см. рис. 4.1).
2. Формирование таблицы характеристик: задание значений альтернатив 𝑐𝑖𝑗, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, 𝑗 = 1, ..., 𝑚, по рассматриваемым критериям (см. рис. 4.2); в рассматриваемых моделях FMAVT 𝑐
𝑖𝑗
могут быть НЧ общего вида: 𝑐𝑖𝑗= {[𝐴
𝑖𝑗
, 𝐵
]}.
α
α
3. Назначение весовых коэффициентов 𝑤𝑗для критериев 𝐶𝑗, 𝑗 =
= 1, ..., 𝑚, на основе метода F-Swing [66] (рис. 4.4); в качестве 𝑤
𝑗
могут быть использованы НЧ общего вида: 𝑤𝑗= {[𝐴
𝑗
, 𝐵
]}.
α
α
𝑖𝑗
𝑗
4. Задание частной функции ценности (ЧФЦ) 𝑉𝑗(𝑥) in [𝐴0𝑗, 𝐵0𝑗],
𝑗 = 1, ..., 𝑚, в соответствии с локальным подходом к выбору
ЧФЦ в MAVT [14, 43] (рис. 4.3).
5. Оценка интегральной ценности 𝑍𝑖= 𝑉 (𝑎𝑖), альтернативы 𝑎𝑖, 𝑖 =
= 1, ..., 𝑛, согласно модели (4.13); при этом, функции от НЧ ре-
ализуются в соответствии с выбранным методом (см. раздел 2).
6. Ранжирование альтернатив на основе ранжирования НЧ.
Назначение весовых коэффициентов критериев на шаге 3 может
быть реализовано несколькими способами. Обоснованным и рекомендуемым методом задания весовых коэффициентов в классическом
MAVT является метод Swing [14, 43]. Модификация данного метода
для использования в НМКАР, F-Swing, предложена в [66]. Основные
шаги F-Swing могут быть представлены следующим образом.
— 89 —
Рис. 4.3: Частная функция ценности критерия в модели FMAVT
1. Экспертами формируется условная альтернатива 𝐴0со значением каждого критерия в «худшей» точке по всем имеющимся
критериям, т.е. в точке 𝐴0𝑗для позитивного и в точке 𝐵0𝑗для
негативного критерия (4.4), 𝑗 = 1, ..., 𝑚. Для каждого критерия
𝐶𝑗по очереди, проводится свинг (изменение) значения крите-
рия от «худшего» к «лучшему» (т.е. от 𝐴0𝑗до 𝐵0𝑗(4.4) для
позитивного критерия 𝐶𝑗и наоборот для негативного); оценивается изменение/прирост интегральной ценности альтернативы.
Далее, критерии ранжируются по значимости результатов свинга. Весовой коэффициент 𝑤1=1 назначается наиболее важному
критерию, обозначим его как 𝐶1.
2. Относительная важность второго по значимости критерия, скажем 𝐶2, с учетом проведенного свинга, находится, по мнению
экспертов, в (замкнутом) интервале [𝑤
max
≤ 𝑤
≤ 1 (т.е. доля относительной важности критерия 𝐶2от
2
max
, 𝑤
2
2
], 0 < 𝑤
min
2
≤
min
наиболее важного критерия 𝐶1находится в указанном интервале).
3. Шаг 2 повторяется для оставшихся критериев.
4. Функция принадлежности µ𝑗(𝑥) весового коэффициента 𝑤𝑗(как
функция принадлежности НЧ) назначается экспертами в отрез-
— 90 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]