Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Согласно методу Керре, на основе принципа расширения определяется НМ, представляющее собой максимум для заданного конечного множества ранжируемых НЧ {𝑍𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛}: max{𝑍1, ..., 𝑍𝑛}:
𝑛
max{𝑍1, ..., 𝑍𝑛}(𝑥) = sup
𝑚𝑎𝑥(𝑥1,...,𝑥𝑛)=𝑥
𝑍𝑖(𝑥𝑖). (2.27)
𝑖=1
Расстояние 𝐾(𝑍𝑖) до максимума от НЧ 𝑍𝑖определяется формулой
где 𝑆 =
𝐾(𝑍𝑖) =
𝑛
supp(𝑍𝑖). Правило ранжирования в методе Керре имеет
𝑖=1
|𝑍𝑖(𝑥) − max{𝑍1, . . . , 𝑍𝑛}(𝑥)| 𝑑𝑥, (2.28)
𝑆
следующий вид: 𝑍𝑖⪯𝐾𝑍𝑗, если 𝐾(𝑍𝑖) ≥ 𝐾(𝑍𝑗).
3. Методы попарного сравнения. Данный класс НМР представлен
большим количеством методов [58, 59]. Однако лишь некоторые из
них находят реальное применение в приложениях.
Ниже будет представлен один из таких НМР — метод Юаня
(Yuan’s ranking method), основанный на нечетком отношении предпочтения Юаня [71, 58, 69].
Определение 11. Нечеткое отношение предпочтения (НОП) 𝑅
является (бинарным) нечетким отношением на F × F: 𝑅 = ((𝑍𝑖, 𝑍𝑗),
µ𝑅(𝑍𝑖, 𝑍𝑗)), в котором функция принадлежности µ𝑅(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) ∈ [0, 1]
представляет собой степень предпочтения 𝑍𝑖над 𝑍𝑗.
Важным свойством нечетких отношений является обратимость
(reciprocity) [51, 71], часто используемая в методах ранжирования
[25, 57, 58].
Определение 12. Нечеткое отношение предпочтения 𝑅 на F×F
является обратимым, если для любых 𝑍𝑖, 𝑍𝑗∈ F,
µ𝑅(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) = 1 − µ𝑅(𝑍𝑗, 𝑍𝑖). (2.29)
Отметим, что для обратимого НОП 𝑅 и любого 𝑍 ∈ F, µ𝑅(𝑍, 𝑍) = 0.5.
Определение 13. Для обратимого НОП 𝑅 на F × F сравнение
(ранжирование) нечетких чисел 𝑍𝑖, 𝑍𝑗∈ F определяется следующи-
ми соотношениями:
𝑍𝑖⪰ 𝑍𝑗, если µ𝑅(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) ≥ 0.5,
𝑍𝑖≻ 𝑍𝑗, если µ𝑅(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) > 0.5,
(2.30)
𝑍𝑖∼ 𝑍𝑗, если µ𝑅(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) = 0.5.
— 61 —
Следующие обозначения также часто используются в рамках
НОП:
µ𝑖𝑗= µ𝑅(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) = µ𝑅(𝑍𝑖≥ 𝑍𝑗) = µ𝑅(𝑍𝑗≤ 𝑍𝑖). (2.31)
Необходимо отметить, что символы ≤, ≥ используются здесь только в целях обозначения и не заменяют собой символы ⪯, ⪰, которые
ассоциируются с ранжированием НЧ.
НОП Юаня может быть представлено следующим образом. Рас-
𝑖
смотрим два НЧ 𝑍𝑖= {[𝐴
ность 𝑍𝑖𝑗= 𝑍𝑖− 𝑍𝑗= {[𝐴α, 𝐵α]}. В рамках НОП Юаня 𝑅𝑌[58, 71]
площадь 𝑆
+
рассматривается как «расстояние» положительной части
𝑌
𝑖
, 𝐵
α
α
]}, 𝑍𝑗= {[𝐴
𝑗
𝑗
, 𝐵
]} ∈ F и их раз-
α
α
𝑍𝑖𝑗= {[𝐴α, 𝐵α]} до оси 𝑂𝑌 (или О,α), и оцениваемое в размерности
площади [69]:
+
𝑆
𝑌
(𝑍𝑖𝑗) =
1
(𝐵αθ(𝐵α) + 𝐴αθ(𝐴α))𝑑α, (2.32)
0
здесь θ(𝑥) — функция Хевисайда:
θ(𝑥) =
1, 𝑥 ≥ 0
0, 𝑥 < 0.
(2.33)
Общая скорректированная площадь под НЧ 𝑍𝑖𝑗оценивается как [69]
1
(|𝐵α| + |𝐴α|)𝑑α. (2.34)
0
𝑆𝑌(𝑍𝑖𝑗) = 𝑆
+
(𝑍𝑖𝑗) + 𝑆
𝑌
+
(𝑍𝑗𝑖) =
𝑌
Определение 14. Для нечетких чисел 𝑍𝑖, 𝑍𝑗∈ F положим
𝑍𝑖𝑗= 𝑍𝑖− 𝑍𝑗. Нечеткое отношение предпочтения Юаня, 𝑅𝑌=
((𝑍𝑖, 𝑍𝑗), µ𝑌(𝑍𝑖, 𝑍𝑗)), в котором µ𝑖𝑗= µ𝑌(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) представляет собой
степень предпочтения 𝑍𝑖над 𝑍𝑗, определяется следующим образом:
µ𝑌(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) = 𝑆
+
(𝑍𝑖𝑗)/𝑆𝑌(𝑍𝑖𝑗), если 𝑆𝑌(𝑍𝑖𝑗) > 0, (2.35)
𝑌
и µ𝑌(𝑍𝑖, 𝑍𝑗) = 0.5, если 𝑆𝑌(𝑍𝑖𝑗) = 0 [71]. Следует подчеркнуть, что
указанное определение верно также для синглтонов.
Согласно определениям 14 и 13,
µ𝑌(𝑍1≥ 𝑍2) = µ𝑌(𝑍1− 𝑍2≥ 0) и 𝑍1⪰𝑌𝑍2,
если (𝑍1− 𝑍2) ⪰𝑌0.
(2.36)
— 62 —
НОП Юаня является обратимым [71]. Метод ранжирования, основанный на НОП Юаня, будем обозначать ниже как Y.
Согласно результатам [57, 58], метод ранжирования CI удовлетворяет аксиомам ранжирования 𝐴1− 𝐴5и не удовлетворяет аксиомам
𝐴6и 𝐴7; методы ранжирования IM и Y удовлетворяют всем аксио-
мам, кроме 𝐴7. Расширенный анализ свойств методов ранжирования
CI, IM и Y представлен в [67].
Введем следующее определение.
Определение 15. Нечеткое число 𝑍 находится в [0,1], или 𝑍 ∈
∈ F1, если 𝑍 ∈ F и supp(𝑍) ⊆ [0, 1].
Как правило, в МКАР и нечетком МКАР (НМКАР) используемые нормализованные (безразмерные) значения критериев и весовых
коэффициентов находятся в [0,1].
Ниже приведены утверждения, доказанные в [67], показывающие
степень нарушения аксиом 𝐴6и 𝐴7методами ранжирования CI, IM и
Y.
Лемма 4. Существует действительное число 𝑀 > 0, и нечет-
кие числа 𝐴, 𝐵 и 𝐶 в [0,1] такие, что 𝐶𝐼(𝐴) − 𝐶𝐼(𝐵) ≥ 𝑀 и
𝐶𝐼(𝐵 + 𝐶) − 𝐶𝐼(𝐴 + 𝐶) ≥ 𝑀.
Лемма 5. Обозначим через 𝐼(𝑍) метод 𝐶𝐼(𝑍) или 𝐼𝑀 (𝑍 ). Су-
щетвует действительное число 𝑀 > 0 и НЧ 𝐴, 𝐵 и 𝐶 в [0,1] такие,
что 𝐼(𝐴) − 𝐼(𝐵) ≥ 𝑀 и 𝐼 (𝐶 𝐵) − 𝐼(𝐶𝐴) ≥ 𝑀.
Лемма 6. Для любого действительного δ ∈ (0, 0.5) существуют
НЧ 𝐴, 𝐵 и 𝐶 в F1такие, что для НОП Юаня 𝑅𝑌: µ𝑌(𝐵, 𝐴) ≥ 1 − δ
и µ𝑌(𝐶𝐴, 𝐶𝐵) ≥ 1 − δ.
В ряде работ проведено сравнение различных методов ранжирования (независимых) НЧ. Показана эквивалентность многих НМР
[57, 58]. В [16] с использованием методов Монте-Карло проведены
сравнения 14 популярных НМР треугольных и трапециевидных НЧ.
Высказана гипотеза, что НМР IM (Yager-2) и Накамура 𝑁
0.5
являются эквивалентными. Это утверждение было доказано для НЧ общего
вида в [67].
В работе [67] было доказано следующее утверждение.
Теорема 6. При ранжировании конечного числа независимых/зависимых нечетких чисел методы IM и Y являются эквивалентными/неэквивалентными.
— 63 —
Понятие различимости (distinguishability) в теории НЧ играет важную роль, в том числе в использовании нечетких данных в приложениях. Если различимость, с точки зрения упорядоченности, действительных чисел очевидна (3<3.1, 2.2>1.9), то различить/упорядочить
НЧ интуитивно в целом ряде случаев не является возможным (см.,
например, рис. 2.6). В таких случаях необходимо прибегать к использованию НМР.
Один из вариантов (жесткой) различимости НЧ представлен в аксиоме 𝐴4для НМР. Ниже рассматривается другой (мягкий) подход
к концепции различимости НЧ [69, 67], эффективно используемый в
нечетком МКАР (раздел 4).
Определение 16. Рассмотрим два нечетких числа 𝑍𝑖=
𝑖
= {[𝐴
𝑖
, 𝐵
]} ∈ F, i=1,2. 𝑍1находится (слабо) левее 𝑍2, 𝑍1E 𝑍2, если
α
α
1
2
1
𝐴
≤ 𝐴
α
& 𝐵
α
α
2
≤ 𝐵
, ∀α ∈ [0,1]; (2.37)
α
𝑍1находится строго левее 𝑍2, если в (2.37) выполняются строгие
неравенства.
Следующее утверждение является ключевым при задании исходных нечетких величин в рамках нечеткого моделирования, в том числе в НМКАР.
Определение 17. Нечеткие числа 𝑍1и 𝑍2являются различи-
мыми, если одно из них находится (слабо) левее другого. Множество
Z = {𝑍1, ..., 𝑍𝑛} является множеством различимых нечетких чисел,
если любые два из них являются различимыми.
Лемма 7. Если 𝑍1E 𝑍2, тогда 𝑍1⪯ 𝑍2согласно нечетким ме-
тодам ранжирования 𝐶𝐼, 𝐼𝑀 и 𝑌 .
Доказательство данной леммы, как и многих других утверждений
в рамках данного курса, рассматривается в рамках семинарских занятий.
В рамках учебных курсов по нечетким системам (нечетким множествам) в качестве эффективного инструмента при изучении раздела «Ранжирование нечетких чисел» может быть использована оригинальная нечеткая система F-Ranking [1] (рис. 2.7), в которую вклю-
чены основные методы ранжирования; кроме того, данная нечеткая
система связана с системой F-Calc, что позволяет оперативно ранжировать результаты функций от нечетких чисел.
— 64 —
Рис. 2.7: Общий вид системы ранжирования нечетких чисел F-Ranking
Задачи к разделу 2.4
1. Задание: изучите руководство пользователя нечеткой системы
F-Ranking, включая задание различных типов нечетких чисел
для их ранжирования, в том числе использование для ранжирования нечетких чисел, заданных/вычисленных в системе F-
Calc; изучите используемые в системе методы ранжирования и
их активацию, задание количества α-срезов, графическое представление входных и выходных нечетких чисел.
2. Без использования системы F-Ranking ответьте на вопрос: какое
из указанных чисел, на ваш взгляд, больше (имея в виду один
из методов ранжирования): 𝐴 = (3, 6, 8), 𝐵 = (2, 5, 9), 𝐶 =
= (1, 4, 10)?
3. Проверьте свою интуицию, проранжировав указанные в предыдущей задаче нечеткие числа с использованием методов ранжирования в системе F-Ranking.
4. Проранжируйте множество нечетких чисел 𝐴, 𝐴2, 𝐴
— 65 —
1/2
, 𝐵, 𝐵3,
𝐴𝐵, 𝐴2𝐵2, 𝐴 = (0.1, 0.5, 2), 𝐵 = (0.05, 0.4, 3).
5. Используя систему F-Calc, проранжируйте указанные в предыдущей задаче нечеткие числа методом ранжирования Y с учетом
их зависимости. Проанализируйте полученные результаты.
6. Докажите, что при выполнении операций в классе ТрНЧ аксиома 𝐴6для метода ранжирования CI не нарушается.
7. Приведите пример нарушения аксиомы 𝐴6методом ранжирования CI в классе ТпНЧ.
8. Докажите, что аксиома 𝐴6не нарушается методом ранжирования IM и Y.
9. Приведите пример нарушения аксиомы 𝐴7методом ранжирования IM.
10. Докажите, что методы IM и Y эквивалентны при ранжировании
независимых нечетких чисел.
11. Докажите, что методы IM и Y не являются эквивалентным при
ранжировании зависимых нечетких чисел.
12. Докажите, что если 𝑍1E 𝑍2, то 𝑍1⪯𝐼𝑀𝑍2.
— 66 —
Лекция 3. Лингвистические переменные
и вычисления со словами
Концепция лингвистических переменных играет важную роль во
всей теории нечетких множеств и современного подхода к искусственному интеллекту в том числе.
Лингвистические переменные (ЛП) представляют собой один из
самых востребованных подходов к реализации концепции гранулированности информации в теории и практике применения НМ.
В существующих книгах по НМ ЛП могут присутствовать в разных разделах, в том числе при описании методов задания НМ, в рамках нечеткой логики и др. В данном курсе ЛП вводятся вслед за разделом «Нечеткие числа». Это связано также с тем, что при формировании/задании значений (термов) ЛП часто используются НЧ. Кроме
того, при использовании моделей/функций с ЛП часто применяется
(в соответствующих моделях обработки значений ЛП) их представление в виде НЧ.
В рамках нечеткого моделирования ЛП могут быть как входными,
так и выходными величинами.
3.1. Определение и использование лингвистических
переменных
Лингвистические переменные (переменные, которые описываются словами) могут принимать различные значения, выражающие качественные оценки. Рассмотрим, как пример, лингвистические переменные «скорость» [легковой машины] и «температура» [в рабочем
кабинете]. Эти лингвистические переменные могут принимать конкретные значения, также выражаемые в словесной форме. Например, значениями ЛП «скорость» могут быть следующие качественные значения/описания скорости: низкая, средняя, высокая, очень
высокая, чрезвычайно высокая. ЛП всегда рассматриваются совместно с множеством своих возможных значений; например, ЛП ско-
рость={низкая, средняя, высокая, очень высокая}. В рамках решения конкретных задач используются инструменты/алгоритмы реали-
— 67 —
зации новых значений лингвистической переменной. Например, на базе значения «низкая» ЛП «скорость» может быть сгенерировано новое значение — «очень низкая» скорость, расширив тем самым множество возможных значений ЛП «скорость».
Один из подходов к общему определению ЛП состоит в формировании комплекса объектов, а также механизмов их генерации и использования.
Определение 18. Под нечеткой лингвистической переменной
𝐿𝑉 будем понимать комплекс из пяти составляющих: 𝐿𝑉 =
= (𝑉, 𝑇 (𝑉 ), 𝑋, 𝐺, 𝑀), где 𝑉 — название переменной, 𝑇(𝑉 ) — множе-
ство заданных значений переменной 𝑉 , называемых термами, каждый из которых представляет собой нечеткое множество на универсальном множестве 𝑋, 𝐺 — набор синтаксических правил для
генерации новых термов, 𝑀 — набор семантических правил для превращения каждого терма в нечеткое множество (т.е. задания соответствующей терму функции принадлежности).
В качестве примера рассмотрим ЛП LV=Скорость легкового автомобиля:
𝑉 — скорость;
𝑇 (𝑉 )= {медленная скорость, средняя скорость, быстрая ско-
рость};
𝑋 — [0, 220];
𝐺 — {очень, вполне, чрезвычайно,... };
𝑀 — набор семантических правил.
Примеры функций принадлежности термов показаны на рис. 3.1,
3.2.
Рис. 3.1: Лингвистическая переменная качества продукции, семь термов
— 68 —
Рис. 3.2: Гранулирование информации на примере скорости автомобиля,
пять термов
Подходы к реализации семантических правил задания функций
принадлежности генерируемых термов обсуждаются ниже.
Для реализации 𝐺 − 𝑀 компонент ЛП, т.е. генерации новых термов 𝑇𝑖и присваивания им соответствующих функций принадлежности 𝐴𝑖(𝑥), часто применяются так называемые лингвистические мо-
дификаторы (fuzzy linguistic modifiers) [47, 54].
В качестве лингвистических модификаторов часто выступают такие синтаксические формы (активно используемые в нечеткой логике), как нечеткие квантификаторы/кванторы (очень мало, мало, достаточно, много, очень много) и нечеткие классификаторы (вполне,
более-менее, в основном, очень) с привязкой соответствующих правил
преобразования функции принадлежности исходных термов. Примеры лингвистических модификаторов с указанием синтаксической
формы (называемой также хэджами/hedges) и правила преобразова-
ния функции принадлежности показаны на рис. 3.3.
Имеющиеся модификаторы (называемые также операторами)
можно разделить на три основные группы с точки зрения преобразования функции принадлежности [54]:
∙ операторы концентрирования,
∙ операторы растяжения,
∙ операторы повышения/понижения контрастности.
— 69 —
Рис. 3.3: Примеры лингвистических модификаторов
Примером операторов концентрирования 𝐶 может служить преобразование лингвистического терма 𝑉 с соответствующим ему нечетким множеством 𝐴𝑉на 𝑋 в терм 𝐶(𝑉 )={очень V} c функцией принадлежности 𝐴
:
𝐶(𝑉 )
𝐴
(𝑥) = 𝐶(𝐴𝑉(𝑥)) = 𝐴
𝐶(𝑉 )
2
(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋. (3.1)
𝑉
Реализация оператора концентрирования показан на рис. 3.4.
В качестве примера операторов растяжение 𝑆 рассмотрим модификатор {более или менее}. Оператор растяжения преобразует терм
V в 𝑆(𝑉 ) следующим образом:
𝐴
(𝑥) = 𝑆(𝐴𝑉(𝑥)) = 𝐴
𝑆(𝑉 )
1/2
(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋. (3.2)
𝑉
Пример оператора растяжения показан на рис. 3.5.
Операторы повышения контрастности используются, в том числе, в нечетком анализе изображений, для приведения размытого/нечеткого множества к более четкому. Пример оператора повышения контрастности показан на рис. 3.6.
Для реализации данного преобразования используются операторы
𝐼 следующего вида:
2
2𝐴
(𝑥), 𝐴(𝑥) < 0.5
𝐴
𝐼(𝑉 )
(𝑥) =
𝑉
1 − 2(1 − 𝐴𝑉(𝑥))2, 𝐴(𝑥) ≥ 0.5.
(3.3)
— 70 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]