Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Лекция 2. Нечеткие числа
2.1. Определение нечетких чисел
Нечеткое множество на R часто называют нечеткой величиной.
Особую роль среди нечетких величин играют нечеткие числа (НЧ),
которые представляют собой один из ключевых разделов теории
нечетких множеств (НМ) c самым широким спектром приложений.
В то же время, существуют несколько вариантов определения НЧ.
Имеют место два основных подхода к определению НЧ. Первый
основан на использовании концепции α-срезов; в рамках другого подхода конкретизируются требования к функции принадлежности НЧ.
В рамках курса будут рассмотрены оба подхода, в том числе проанализированы их различия и концептуальная связь.
Напомним следующие определения и обозначения, которые будут
использоваться ниже.
НМ 𝑍 на 𝑋 является нормальным, если ker(𝑍) = {𝑥 : 𝑍(𝑥) =
= 1} = ∅ (здесь, как и выше, 𝑍(𝑥) = µ𝑍(𝑥)); НМ 𝑍 на R является огра-
ниченным, если его носитель является ограниченным множеством, т.е.
supp(𝑍) = {𝑥 : 𝑍(𝑥) > 0} ⊆ [𝑎, 𝑏], где [𝑎, 𝑏] является отрезком (сегментом), 𝑎 и 𝑏 – действительные числа, 𝑎 ≤ 𝑏.
Определение 6. Нечеткое число 𝑍 — это нормальное ограничен-
ное нечеткое множество на R со следующим свойством: для любого
α ∈ (0, 1], α-срез 𝑍αявляется отрезком [45].
Всюду ниже F обозначает множество НЧ согласно определению 6.
Следует подчеркнуть, что каждый синглтон (используется также термин «синглетон») принадлежит F: для синглтона 𝑍 = 𝑐, функция
принадлежности которого описывается выражением 𝑍(𝑥) = {0, 𝑥 <
< 𝑐; 1, 𝑥 = 𝑐; 0, 𝑥 > 𝑐}, 𝑍α= [𝑐, 𝑐] = 𝑐, α ∈ (0, 1].
Определение 6, основанное на свойствах α-срезов (α-cuts
approach), может рассматриваться как наиболее популярное в (зарубежных) публикациях, например, [45, 56, 59].
Другой подход (membership function approach [33, 47, 53, 56]) подразумевает выполнение ряда свойств функции принадлежности НМ
— 41 —
на R. Например, в [33, 47] НМ рассматривается как нормальное выпуклое НМ на R с кусочно-непрерывной (сверху) функцией принадлежности.
Выпуклость НМ означает выполнение следующего свойства.
Определение 7. Нечеткое множество 𝑍 на R является вы-
пуклым, если для любых действительных чисел 𝑥1, 𝑥2и λ ∈ [0, 1],
𝑍(λ𝑥1+ (1 − λ)𝑥2) ≥ min(𝑍(𝑥1), 𝑍(𝑥2)).
Если функция принадлежности не является непрерывной, требуется выполнение так называемого свойства непрерывности сверху. Действительная функция µ(𝑥) является непрерывной сверху в точке разрыва 𝑥0, если
µ(𝑥0) = max( lim
𝑥→𝑥0−
µ(𝑥), lim
𝑥→𝑥0+
µ(𝑥)) (2.1)
(в точке разрыва кусочно-непрерывной функции имеет место разрыв первого рода, т.е. существуют указанные конечные односторонние
пределы ). Подчеркнем также, что кусочно-непрерывность функции
подразумевает наличие не более чем конечного числа точек разрыва
[4].
Рассмотрим следующий пример функции принадлежности 𝑍(𝑥)
НМ 𝑍 на R:
⎧
0 𝑥 = 0
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑍(𝑥) =
1 𝑥 = 1
⎪
1/(𝑛 + 1) 𝑥 ∈ [1/(𝑛 + 1), 1/𝑛), 𝑛 = 1, 2, ...;
⎪
⎪
⎩
0 𝑥 /∈ [0, 1]}.
(2.2)
Согласно определению 6, 𝑍 является НЧ, однако функция 𝑍(𝑥)
имеет бесконечное (счетное) число точек разрыва и не является непрерывной сверху в точке 𝑥0= 1. В то же время, 𝑍(𝑥) является функцией
полунепрерывной сверху [4].
Определение 8. Функцию µ : R → R называют полунепрерыв-
ной сверху в точке 𝑥0, если
µ(𝑥0) ≥ lim sup
𝑥→𝑥
0
— 42 —
µ(𝑥) ≡ lim
𝑥→𝑥
µ(𝑥). (2.3)
0
Рис. 2.1: Синглтон — функция принадлежности
Функция является полунепрерывной, если она полунепрерывна в
каждой точке 𝑥 ∈ R [4, 15].
Подчеркнем, что функция принадлежности сингелтона 𝑍 = 𝑐 является полунепрерывной сверху в точке 𝑥0= 𝑐 (рис. 2.1).
Наиболее общее определение НЧ в рамках подхода на основе
свойств функции принадлежности формулируется следующим образом.
Определение 9. Нечеткое число 𝑍 — это нормальное ограни-
ченное выпуклое нечеткое множество на R с полунепрерывной сверху функцией принадлежности 𝑍(𝑥) [53, 56].
Связующим звеном между полунепрерывной сверху функцией (см.
определение 9) и концепцией α-срезов в виде отрезков (см. определение 6) является теорема Бэра (Baire’s theorem, 1905) [15, 4].
Теорема 3. Действительная функция 𝑓(𝑥), 𝑓 : R → R, являет-
ся полунепрерывной сверху тогда и только тогда, когда множество
𝑓𝑎= {𝑥 : 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑎}, 𝑎 ∈ R, является замкнутым.
Подчеркнем, что здесь пустое множество и множество действительных чисел R рассматриваются как замкнутые множества.
Эквивалентность определений 6 и 9 следует также из теоремы Бэра, при этом условия нормальности и выпуклости обеспечивают то,
— 43 —
что 𝑓𝑎(α-срез функции 𝑓 (𝑥) при α = 𝑎), является отрезком. Эквивалентность указанных определений доказывается в [45, 59] без прямой
привязки к теореме Бэра.
Имеет место также следующее утверждение (так называемое L-R
представление НЧ) [45, 59].
Теорема 4. Нечеткое множество 𝑍 на R является нечетким
числом тогда и только тогда, когда существуют действительные
числа 𝑎 и 𝑏, 𝑎 ≤ 𝑏, принимающие значения в [0,1] неубывающая непрерывная справа функция 𝐿(𝑥) в (−∞, 𝑎], 𝐿(𝑥) = 0 при 𝑥 < 𝑐1, 𝐿(𝑎) = 1,
и невозрастающая непрерывная слева функция 𝑅(𝑥) в [𝑏, ∞), 𝑅(𝑥) =
= 0 для 𝑥 > 𝑐2, 𝑅(𝑏) = 1, 𝑐1и 𝑐2∈ R, такие, что функция принад-
лежности 𝑍(𝑥) может быть представлена в виде:
⎧
⎪
1, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
⎨
𝑍(𝑥) =
𝐿(𝑥), 𝑥 ∈ (−∞, 𝑎]
⎪
⎩
𝑅(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑏, ∞).
(2.4)
Согласно определению 6, α-срез НЧ 𝑍, 𝑍α, является отрезком,
обозначим его как [𝐴α, 𝐵α]. Поскольку 𝐴αявляется монотонно невозрастающей с убыванием α, а 𝐵αявляется монотонно неубывающей с убыванием α (согласно определению α-срезов: [𝐴
⊇ [𝐴
, 𝐵
α
], 0 < < α1< α2≤ 1); функции 𝐴αи 𝐵αявляются ограни-
α
2
2
, 𝐵
α
] ⊇
α
1
1
ченными, тогда из теоремы Вейерштрасса [4] следует, что существуют
действительные 𝑐1и 𝑐2, 𝑐1≤ 𝑐2: lim
𝐴α= 𝑐1, lim
α→0+
𝐵α= 𝑐2(𝑐1= 𝑐
α→0+
для синглтона). Отрезок [𝑐1, 𝑐2] является замыканием supp(𝑍) и наименьшим отрезком, содержащим все α-срезы 𝑍α, 0 < α ≤ 1.
Принимая во внимание теорему 4, 0 ≤ 𝑍(𝑐1) = lim
если 𝑐1< 𝑎, и 𝑍(𝑐1) = 1, если 𝑐1= 𝑎, 0 ≤ 𝑍(𝑐2) = lim
𝑥→𝑐1+
𝑥→𝑐2−
𝐿(𝑥) < 1,
𝑅(𝑥) < 1,
если 𝑐2> 𝑏, и 𝑍 (𝑐2) = 1, если 𝑐2= 𝑏 (здесь предполагается, что
ker(𝑍) = [𝑎, 𝑏]).
Исходя из определений 6 и 9 и используемых обозначений, для
каждого НЧ 𝑍 существуют 𝑐1, 𝑐2∈ R, 𝑐1≤ 𝑐2, такие, что 𝑍 может
быть представлено следующим образом:
1) в случае 𝑐1< 𝑐2,
2
𝑍 = {(𝑥, µ𝑍(𝑥)) : µ𝑍(𝑥) > 0, 𝑥 ∈ (𝑐1, 𝑐2);
µ𝑍(𝑥) = 0, 𝑥 /∈ [𝑐1, 𝑐2]};
2) в случае 𝑐1= 𝑐2(= 𝑐), 𝑍 является синглтоном 𝑍 = 𝑐.
— 44 —
(2.5)
Подчеркнем также ряд особенностей, связанных с определением
НЧ.
Требование ограниченности НЧ 𝑍, указанное в определениях 6 и 9,
в ряде работ в определениях не используется [33, 47, 59]) (т.е. в этом
случае носитель НЧ может быть неограничен, что в приложениях
не используется). В некоторых работах, например [33, 53, 56], для
НЧ 𝑍 подразумевают существование только одной точки 𝑥, в которой
𝑍(𝑥) = 1; в противном случае 𝑍 называют нечетким интервалом.
Подчеркнем также следующее свойство функций принадлежности
НЧ. Так как функции 𝐿(𝑥) и 𝑅(𝑥) являются монотонными и ограниченными, они могут иметь только конечное или счетное множество
точек разрыва и являются интегрируемыми по Риману [4].
Следующие понятия широко используются в нечетком анализе решений и приложениях.
НЧ 𝑍 считается позитивным, 𝑍 > 0, если 𝑐1> 0 (см. обозначения
выше), неотрицательным, 𝑍 ≥ 0, если 𝑐1≥ 0.
В определении α-среза 𝑍α= [𝐴α, 𝐵α] (обоснованно) указывается
0 < α ≤ 1. Для α = 0 рассмотрим сегмент [𝑐1, 𝑐2] и положим: 𝐴0= 𝑐
и 𝐵0= 𝑐2. Тогда НЧ 𝑍 может быть однозначно идентифицировано со
множеством сегментов [33, 45, 59]:
𝑍 = {[𝐴α, 𝐵α], 0 ≤ α ≤ 1} (2.6)
(всюду ниже, когда используется выражение 𝑍 = {[𝐴α, 𝐵α]} и нет
дополнительных уточнений на значения α, подразумевается, что α
принимает все значения в [0, 1]).
1
Задачи к разделу 2.1
1. Приведите примеры нечетких чисел с непрерывной и кусочнонепрерывной функциями принадлежности. Укажите значения
функций принадлежности в точках разрыва.
2. Докажите, что нечеткое число с непрерывной или кусочнонепрерывной функцией принадлежности является нечетким
числом с полунепрерывной сверху функцией принадлежности.
3. Приведите примеры нечетких чисел с полунепрерывными сверху
функциями принадлежности. Обратите внимание на значение
функций принадлежности в точках разрыва.
— 45 —
4. Пусть 𝑍 — нечеткое число. Докажите следующее утверждение:
функция принадлежности 𝑍 (𝑥) может иметь не больше одной
точки, в которой она является строго полунепрерывной сверху.
5. Задайте нечеткое число 𝑍 с полунепрерывной сверху функцией
принадлежности и укажите его α-срезы.
6. Является ли непрерывной сверху функция 𝐿(𝑥) (2.4)?
7. Определите функцию принадлежности треугольного нечеткого
числа 𝑍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐),𝑎 < 𝑏 < 𝑐.
8. Определите функцию принадлежности трапециевидного
нечеткого числа 𝑍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑),𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑.
9. Изобразите графически нечеткие множества 𝑍 = (𝑎, 𝑎, 𝑐) и 𝑍 =
= (𝑎, 𝑏,𝑏). Может ли каждое из этих множеств быть треугольным нечетким числом? Определите α-срезы соответствующих
нечетких чисел.
10. Может ли у нечеткого числа 𝑍 = {[𝐴α, 𝐵α]} 𝐴0и/или 𝐵0быть
положительными? Рассмотрите соответствующие α-срезы.
2.2. Функции от нечетких чисел
Функции от нечетких чисел (НЧ) играют огромную роль в теории
нечетких множеств (НМ) и соответствующих приложениях. Существует несколько понятий функций от НЧ [47]. Здесь будут рассматриваться функции, являющиеся расширением функций вещественных
(действительных) переменных.
Пусть 𝑋 и 𝑌 — универсальные множества и 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 представляет собой четкое отображение 𝑋 в 𝑌 . Как определить 𝑓(𝐴) для
НМ 𝐴 на универсальном множестве 𝑋, т.е., как описать функцию
принадлежности НМ 𝐵 = 𝑓 (𝐴) на универсальном множестве 𝑌 ? Методология расширения функций действительных переменных на соответствующие функции от НЧ предложена Л. Заде [73].
Всюду ниже будут использоваться следующие обозначения, активно применяемые в теории НЧ (используемые в логике, в том числе в
нечеткой логике). Пусть 𝑥𝑖𝑖 = 1, ...,𝑛, — действительные числа; символы ∧ (И), ∨ (ИЛИ) используются в следующем смысле:
— 46 —
𝑥1∧ 𝑥2∧ ... ∧ 𝑥𝑛= min(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛); 𝑥1∨ ... ∨ 𝑥𝑛= max(𝑥1, ..., 𝑥𝑛);
𝑓(𝑥) = max
𝑥∈𝐴
𝑓(𝑥) или
𝑥∈𝐴
𝑥∈𝐴
𝑓(𝑥) = sup
𝑓(𝑥), если
𝑥∈𝐴
max 𝑓(𝑥) на 𝐴 не достигается.
Расширение функций действительных переменных до функций от
нечетких чисел основано на принципе расширения Заде (в отечественной литературе используется также термин «принцип обобщения»)
[73, 45, 47, 59].
1. Принцип расширения для функций одной переменной. Рассмот-
рим действительную функцию 𝑓 (𝑥), 𝑓 : 𝐺 → R; 𝐺 ⊆ R. Для НЧ 𝑍
нечеткая величина 𝐵 = 𝑓 (𝑍) определяется следующим образом:
𝐵(𝑦) =
𝑥:𝑓(𝑥)=𝑦
𝑍(𝑥). (2.7)
2. Принцип расширения для функций 𝑛 переменных. Рассмотрим
действительную функцию 𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑛), 𝑓 : 𝐺 → R, 𝐺 ⊆ R𝑛, 𝑍𝑖, 𝑖 =
= 1, ...,𝑛 — НЧ. НМ 𝐵 = 𝑓(𝑍1, ..., 𝑍𝑛) определяется следующим образом:
𝐵(𝑦) =
𝑦=𝑓 (𝑥1,...,𝑥𝑛)
(
𝑖=1,...,𝑛
𝑍𝑖(𝑥𝑖)). (2.8)
Отметим, что принцип расширения применяется в общем случае также для отображений 𝑓 : (𝑋1× ... × 𝑋𝑛) → 𝑌 , где 𝑋𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, и
𝑌 — произвольные универсальные множества, с использованием тех
же выражений (2.7), (2.8).
Несмотря на потенциальную возможность, применение принципа
расширения Заде на практике сопряжено с большими трудностями
или невозможностью его реализации для сложных нелинейных функций. Для эффективной оценки функций от нечетких аргументов разработаны специальные методы, базирующиеся на использовании αсрезов.
Нечеткая арифметика на основе α-срезов представляет собой фактически методологию интервальных вычислений [52, 3], расширенную до их применения на α-срезах.
Фундаментом применения α-срезов при вычислении функций от
НЧ является следующая теорема [59].
Теорема 5. Для непрерывной в области определения функции
𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑛), 𝑓 : 𝐺 → R, 𝐺 ⊆ R𝑛, и нечетких чисел 𝑍𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, для
𝐵 = 𝑓 (𝑍1, ..., 𝑍𝑛) его α-срез представим следующим выражением:
𝐵α= 𝑓(𝑍
1
α
𝑛
, ..., 𝑍
), (2.9)
α
— 47 —
𝑖
где 𝑍
— α-срез 𝑍𝑖, 𝑖 = 1,..., 𝑛.
α
В результате, для оценки функций от НЧ используются следующие основные подходы:
∘ реализация принципа расширения;
∘ использование стандартной нечеткой арифметики (СНА);
∘ реализация приближенных вычислений на основе базовых НЧ
(т.е. треугольных и трапециевидных НЧ, соответственно, ТрНЧ
и ТпНЧ);
∘ применение методов трансформации (МТ);
∘ реализация специализированных методов интервальных вычис-
лений.
В данном курсе рассматриваются четыре первых подхода.
В рамках СНА [24, 45, 33, 59], на основе теоремы 5, разработаны
процедуры реализации основных арифметических операций. Приведем здесь несколько примеров.
Рассмотрим НЧ 𝑍𝑖= {[𝐴
𝑖
α
𝑍𝑖+ 𝑍𝑗= {[𝐴
𝑍𝑖− 𝑍𝑗= {[𝐴
𝑖
, 𝐵
]}, 𝑍𝑗= {[𝐴
α
𝑖
+ 𝐴
α
𝑖
− 𝐵
α
𝑗
, 𝐵
α
𝑗
, 𝐵
α
𝑖
α
𝑖
α
𝑗
𝑗
, 𝐵
]} ∈ F, тогда
α
α
𝑗
+ 𝐵
]}, (2.10)
α
𝑗
− 𝐴
]}, (2.11)
α
𝑖
𝑗
𝑖
𝑍𝑖𝑍𝑗= {[𝐴
𝐴
α
α
, 𝐵
𝑗
𝐵
]}, 𝑍𝑖≥ 0, 𝑍𝑗≥ 0. (2.12)
α
α
В общем случае при умножении двух НЧ используется следующее
выражение:
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑖
𝑍𝑖𝑍𝑗= {[min(𝐴
𝑖
max(𝐴
𝑗
𝐴
α
α
α
, 𝐴
𝐴
, 𝐴
𝐵
, 𝐵
α
α
𝑖
𝑗
𝐵
, 𝐵
α
α
𝐴
α
α
𝑖
𝐴
α
α
𝑗
𝑖
, 𝐵
𝐵
α
α
, 𝐵
𝑗
α
α
)]}.
𝑗
𝐵
]),
α
(2.13)
Имеет место также следующая формула:
𝑖
𝑗
𝑖
𝑍𝑖/𝑍𝑗= {[𝐴
/𝐵
, 𝐵
α
α
𝑗
/𝐴
]}, 𝑍𝑖≥ 0, 𝑍𝑗> 0. (2.14)
α
α
Необходимо подчеркнуть, что во всех указанных выше операциях рассматриваемые НЧ являются несвязанными/независимыми, что
более детально обсуждается в следующем разделе.
— 48 —
Задачи к разделу 2.2
1. Для треугольных НЧ 𝐴 = (1, 2,3) и 𝐵 = (2,4, 10) вычислить
𝐴 + 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐴𝐵, 𝐴/𝐵. Укажите, какие из оценок являются
точными, а какие — приближенными.
2. Для базовых НЧ 𝐴 = (2, 4, 6), 𝐵 = (3, 5, 8, 12) вычислить 𝐴−
−𝐵, 𝐴𝐵, 𝐴/𝐵. Укажите, какие из оценок являются точными, а
какие — приближенными.
3. Для базовых НЧ 𝐴 = (−5, −1, 2), 𝐵 = (−2, −1, 4, 10) вычислить
𝐴 + 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐴𝐵. Укажите, какие из оценок являются точными, а какие — приближенными. Что можно сказать об операции
𝐴/𝐵?
4. Для указанных выше НЧ 𝐴, 𝐵 определите НЧ 2𝐴+3𝐵, 4𝐴−5𝐵.
5. Пусть 𝑓 (𝑥) — функция, график которой представляет собой прямую, соединяющую в плоскости (𝑥, 𝑦) точки (2, 0), (5, 1), при
этом 𝑓(𝑥) = 0, 𝑥 ≤ 2; 𝑓 (𝑥) = 1, 𝑥 ≥ 5. Используя принцип
расширения, найдите (нарисуйте) НЧ 𝑓(𝑍), 𝑍 = (2.5, 4, 4.5).
6. Для указанной выше функции 𝑓 (𝑥) и 𝑍 = (1, 4, 6) найдите 𝑓 (𝑍).
7. Найдите 𝑓(𝑍) для указанной выше функции 𝑓(𝑥) и 𝑍 = (1, 6, 7).
8. Для каждой из указанных выше задач проведите оценку 𝑓(𝑍) с
использованием α-срезов.
9. Исходя из принципа расширения, для заданного НЧ 𝑍 определите НЧ 𝑍1= 𝑍 − 𝑍.
10. Рассмотрим НЧ 𝑍1, 𝑍2, 𝑍, представленные своими α-срезами,
такие, что 𝑍1= 𝑍 и 𝑍2= 𝑍. Вычислите НЧ 𝐴 = 𝑍1− 𝑍2.
2.3. Функции от зависимых нечетких чисел
Обсуждаемые в данном разделе вопросы недостаточно или, в большинстве случаев, практически не рассматриваются в книгах по НМ (в
том числе отечественных). В то же время, вопросы операций с зависимыми нечеткими величинами являются очень важными, прежде всего
в задачах нечеткого моделирования и нечеткого анализа решений.
— 49 —
Рассмотрим три неотрицательных НЧ: 𝑊, 𝐴, 𝐵, и следующие
функции от НЧ:
𝑍𝑂= 𝑊 𝐴 − 𝑊 𝐵, (2.15)
𝑍𝑇= 𝑊 (𝐴 − 𝐵). (2.16)
Выражения (2.15) и (2.16) являются нечетким расширением действительных функций 𝑓1и 𝑓2(2.17):
𝑓1(𝑤, 𝑎, 𝑏) = 𝑤𝑎 − 𝑤𝑏; 𝑓2(𝑤, 𝑎, 𝑏) = 𝑤(𝑎 − 𝑏), (2.17)
которые являются идентичными в классе действительных чисел. Однако реализация СНА для вычисления 𝑍𝑂(2.15) (т.е. последовательные оценки 𝑍1= 𝑊 𝐴, 𝑍2= 𝑊 𝐵, затем 𝑍𝑂= 𝑍1− 𝑍2) и (2.16)
(𝑍 = 𝐴 − 𝐵, 𝑍𝑇= 𝑊 𝑍) приводит к различным НЧ: supp(𝑍𝑇) ⊂
⊂ supp(𝑍𝑂). Последний результат отражает так называемую пробле-
му переоценки (overestimation problem), возникающую при использо-
вании СНА для вычисления функции от НЧ [32, 33] (рис. 2.2) (в обозначениях 𝑍𝑂и 𝑍𝑇𝑂 и 𝑇 обозначают, соответственно, Overestimation
и Transformation).
Рис. 2.2: Переоценка (пример использования СНА): НЧ 𝑍𝑂(2.15) и 𝑍
(2.16); 𝑊, 𝐴, 𝐵 — ТрНЧ: 𝑊 = (0.5, 1, 1.5), 𝐴 = (3, 4, 5), 𝐵 = (1, 2, 3)
Рассмотрим другой пример функции от НЧ 𝐴, 𝐵, 𝐴 > 0:
𝑍𝑂= (𝐴 + 𝐵)/𝐴, 𝑍𝑇= 1 + 𝐵/𝐴, (2.18)
являющихся нечеткими расширениями действительных функций
𝑓3(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)/𝑎, 𝑓4(𝑎, 𝑏) = 1 + 𝑏/𝑎. (2.19)
— 50 —
𝑇
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]