Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Пусть µ𝑗(𝑥) — итоговая функция принадлежности правила 𝑅
(6.13) (до реализации импликации). База из 𝑚 правил 𝑅𝑗, 𝑗 = 1, ...,𝑚,
является полной и совместной, если для всех входных значений 𝑥0=
0
, ..., 𝑥
1
0
) выполняется соотношение
𝑛
𝑚
= (𝑥
µ𝑗(𝑥0) = 1, (6.24)
𝑗=1
здесь µ𝑗(𝑥0) — степень выполнения правила 𝑅𝑗 для входного вектора
𝑥0.
Относительно выполнения правила (6.24) имеет место следующая
трактовка.
Еcли сумма в условии (6.24) меньше 1, то для входного состояния
𝑥0используемая база правил не является полной. Если указанная сум-
ма больше 1, то для 𝑥0база правил не является совместной.
Необходимо отметить, что модели, в которых условие (6.24) не выполняется, используются весьма часто, поскольку обеспечить выполнение данного условия в сложных прикладных задачах достаточно
сложно. Вместе с тем, при соответствующей настройке параметров
такие нечеткие модели являются вполне приемлемыми.
5. Связность базы правил. Базу правил называют связной, если
в ней нет смежных правил 𝑅𝑗, 𝑅
таких, что пересечение нечетких
𝑗+1
множеств соответствующих им заключений (в общем случае обозначаемых как 𝐵𝑗1, 𝐵𝑗2) является пустым: 𝐵𝑗1∩ 𝐵𝑗2= ∅.
По поводу связности баз правил можно сказать следующее. В
принципе, связность не является необходимым свойством баз правил.
Если поверхность отклика модели на входные значения может быть
достаточно крутой (наличие резких пиков — локальных максимумов
или минимумом), то связность модели не будет способствовать получению адекватных в таких случаях модельных откликов. Если поверхность отклика достаточно гладкая, то связность базы правил может приводить к достаточно точным оценкам с использованием такой
нечеткой модели. При увеличении количества входов возрастает и количество правил, поэтому следить за связностью имеющихся правил
становится весьма сложно. Задача разработки связной базы правил
решается в каждом конкретном случае.
6. Избыточность базы правил. При разработке больших нечетких моделей могут возникать случаи, когда в базе имеются идентичные правила (т.е., когда совпадают условия и заключения). Причиной этого могут быть ошибки при формировании правил, а также,
— 121 —
𝑗
в случае применения самоорганизующихся нечетких моделей, генерация новых правил, идентичных уже имеющимся. Последнее может
встречаться, если в процессе самоорганизации возникает возможность
усиления заключений. Усиление действительно может произойти, например, если в процессе аккумуляции активизированных заключений
используется оператор sum [54].
6.4. Рекомендации по построению базы правил
Структура базы правил должна отражать моделируемый процесс
и обеспечивать приемлемую точность создаваемой нечеткой модели.
Как обычно, в такой ситуации необходимо делать выбор между точностью модели и ее стоимостью (затратами на разработку и использование).
При выборе большого числа правил возможно достижение большей точности; уменьшение числа правил может вести (в большинстве
случаев при решении сложных задач) к потере точности модели. При
выборе количества правил учитывают следующие рекомендации:
1. Число правил увеличивается при уплотнении сетки, используе-
мой для разбиения пространства входов модели 𝑋 = 𝑋1× ... × 𝑋𝑛.
2. Плотность используемой сетки следует увеличивать в случае
более рельефной (например, в случае нелинейной, кусочно-линейной
или разрывной) поверхности отклика 𝑋 → 𝑌 модели.
3. При заданной плотности сетки (числа правил) точность модели
может быть повышена с использованием специального размещения
опорных точек поверхности, задаваемых правилами.
После задания сетки разбиения приступают к формированию правил, которые задают опорные точки поверхности отклика модели. Как
правило, выбирают один из двух базовых методов задания опорных
точек:
М1: расположение опорных точек в углах прямоугольных сегментов разбиения сетки;
М2: расположение опорных точек в центрах сегментов разбиения
области значений.
Правила содержат точную информацию о выходных состояниях
модели в опорных точках (при возможности получения отклика модели). В других точках между ними проводится нечеткая интерполяция, характер которой зависит от методов вывода и дефаззификации,
а также вида функции принадлежности.
— 122 —
Метод задания опорных точек М1 обладает следующими достоинствами и недостатками:
достоинства: более высокая точность модели, в том числе на границе пространства входных значений;
недостатки: большое количество правил; большой объем необходимой информации для определения правил.
Метод задания опорных точек М2:
достоинства: меньшее количество правил (в сравнении с М1) и
меньший объем необходимой информации для формирования правил;
недостатки: меньшая точность модели, особенно в граничных областях.
Перед началом создания и настройки моделей параметры опорных
точек 𝑎𝑖𝑗и откликов модели 𝑏𝑘могут выбираться произвольно (например, равномерно). В процессе настройки модели происходит изменение положения опорных точек, что ведет к большей точности
нечеткой модели. Увеличение числа опорных точек может привести к
большей точности модели, но при этом процесс настройки значительно усложняется.
Сложность настройки нечетких моделей (в том числе самообучающихся, например с использованием нейронных сетей) заключается,
прежде всего, в необходимости настройки большого числа параметров. С увеличением числа входов и используемых при этом входных
нечетких множеств сложность проблемы настройки резко возрастает
(из-за так называемого проклятия размерности ). Одним из подходов
к преодолению указанной проблемы является переход к нерегулярному разбиению входного пространства за счет отказа от стандартного сеточного разбиения. Для этого могут использоваться нерегулярные прямоугольные или нерегулярные сеточные разбиения; возможны также разбиения на основе триангуляционной сетки. В областях,
где отображение модельного отклика 𝑋 → 𝑌 является существенно
нелинейным и немонотонным (резкие изменения вектора градиента),
используется более плотное разбиение входного пространства. В пределах каждого разбиения используется только одно правило.
Упрощение нечеткой модели может быть достигнуто путем использования метода локальных моделей. В рамках такого подхода
пространство входов модели может быть разбито на несколько подмножеств, в которых задается свое разбиение/плотность сетки, и в
каждом из этих подмножеств создается своя локальная нечеткая модель [54].
Дальнейшие вопросы разработки различных нечетких моделей
— 123 —
(моделей Мамдани, Такаги-Сугено и др.), их настройки с использованием нейронных сетей и генетических алгоритмов, а также применение нечетких моделей и нечетких систем будут отражены в новом
расширенном издании курса лекций автора данного пособия.
Задачи к разделу 6
1. Реализовать процесс фаззификации в рамках нечеткой модели с двумя входами (𝑥1, 𝑥2), принимающих значения во входных множествах 𝐴1, 𝐴2и 𝐵1, 𝐵2соответственно; множества 𝐴
и 𝐵𝑗представляются следующими ТрНЧ: 𝐴1= (0, 0, 0.75),
𝐴2= (0.25, 1, 1), 𝐵1= (0, 0, 0.55),𝐵2= (0.45, 1, 1); входные величины: 𝑥
0
= 0.25,𝑥
1
0
= 0.9. Измените значения входных величин и
2
повторите процесс фаззификации.
2. Расширить предыдущую задачу до трех входных множеств, являющихся термами лингвистических переменных, и трех входных величин.
𝑖
3. Для нечеткой модели, указанной на рис. 6.5, на вход которой
подаются величины 𝑥
0
= 1.5, 𝑥
1
0
= 8, оцените значение выходной
2
функции для заданной импликации и метода дефаззификации.
4. Приведите пример базы правил нечеткой модели конъюнктивного типа из трех выражений и преобразуйте ее в базу правил
из двух выражений, используя оператор дизъюнкции.
5. Приведите пример нечеткой модели, на вход которой поступают
две величины, 𝑥1, 𝑥2, каждая из которых может принадлежать
двум входным термам, 𝐴1, 𝐴2и 𝐵1, 𝐵2, лингвистических переменных качества первичных продуктов 𝑃 1 и 𝑃2; база правил
модели состоит из четырех логических выражений, а выходные
значения принадлежат трем выходным термам, 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, значения качества производимой продукции 𝑃 .
6. Для предыдущей задачи определите степень выполнения каждого из условий (правил), используя один из вариантов 𝑡-нормы.
7. Для предыдущей задачи определите активизированные функции принадлежности заключений каждого из правил, используя
импликацию Мамдани.
— 124 —
8. В предыдущей задаче вместо импликации Мамдани используйте
импликацию Ларсена.
9. Определите результирующую функцию принадлежности µ
𝑟𝑒𝑠
(𝑦)
для каждой из двух рассмотренных выше нечетких моделей.
10. Реализуйте дефаззификацию функции принадлежности µ
𝑟𝑒𝑠
(𝑦)
в предыдущей задаче с использованием метода среднего максимума.
11. Проведите дефаззификацию результирующей функции принадлежности в предыдущей задаче с использованием метода центра
тяжести.
12. Придумайте свою нечеткую модель (например, описывающую
процесс подготовки и сдачи экзамена), включающую три входных и три выходных нечетких множества, базы правил из трех
выражений, импликации Мамдани и дефаззификации на основе
метода центра тяжести.
— 125 —
Список литературы
[1] Радаев А.В., Коробов А.В., Яцало Б.И. F-Ranking: компьютер-
ная система для ранжирования нечетких чисел // Программные
продукты и системы, 2018. Т. 33, № 2. С. 605–613.
[2] Радаев А.В., Коробов А.В., Яцало Б.И. F-Calc: компьютерная си-
стема для вычисления функций от нечетких аргументов // Искусственный Интеллект и Принятие Решений, 2019. Т. 4, № 2.
С. 71–83.
[3] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисле-
ния. M.: Мир, 1987.
[4] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. M.: Физматлит, 2004.
[5] Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. M.: Радио
и Связь, 1993.
[6] Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений.
M.: Синтег, 1998.
[7] Вентцель Е.С. Исследование операций. M.: Сов. радио, 2006.
[8] Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. M.: Физма-
ткнига, 2006.
[9] Подиновский В.В. Идеи и методы важности критериев. M.: Нау-
ка, 2019.
[10] Adamo J. Fuzzy decision trees // Fuzzy Sets and Systems, 1980.
Vol. 4, № 3. Pp. 207–219.
[11] Arfi B. Linguistic Fuzzy Logic Methods in Social Sciences. Berlin
Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. Vol. 253 of Studies in Fuzziness
and Soft Computing.
[12] Augusto L. Many-valued logics: A mathematical and computational
introduction. London: College Publications, 2017.
— 126 —
[13] A state of the art survey of TOPSIS applications / M. Behzadian,
S. Otaghsara, M. Yazdani and others // Expert Systems with Applications, 2012. Vol. 39. Pp. 13051–13069.
[14] Belton V., Stewart T. Multiple Criteria Decision Analysis: An Inte-
grated Approach. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, 2002.
[15] Bourbaki N. General topology: Chapters 5-10, Elements of Mathe-
matics. Berlin: Springer-Verlag, 1998.
[16] Brunelli M., Mezei J. How different are ranking methods for fuzzy
numbers? A numerical study // International Journal of Approximate Reasoning, 2013. Vol. 54, № 5. Pp. 627–639.
[17] Buckley J. The multiple judge, multiple criteria ranking problem: A
fuzzy set approach // Fuzzy Sets and Systems, 1984. Vol. 13, № 1.
Pp. 25–37.
[18] Buckley J. Fuzzy Probabilities. New Approach and Applications.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005.
[19] Chen C.-T. Extensions of the TOPSIS for group decision-making
under fuzzy environment // Fuzzy Sets and Systems, 2000. Vol. 114,
№ 1. Pp. 1–9.
[20] Chen S., Hwang C. Fuzzy Multiple Attribute Decision Making: Meth-
ods and Applications. Springer-Verlag, Berlin, 1992. Vol. 375.
[21] Dawood H. Theories of Interval Arithmetic: Mathematical Founda-
tions and Applications. Lambert Academic Publishing, Germany,
2011.
[22] de Campos L. M., Gonz´alez A. A subjective approach for ranking
fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems, 1989. Vol. 29, № 2.
Pp. 145–153.
[23] Delgado M., Verdegay J., Vila M. On aggregation operations of lin-
guistic labels // International Journal of Intelligent Systems, 1993.
Vol. 8, № 3. Pp. 351 – 370.
[24] Dubois D., Prade H. Operations on fuzzy numbers // International
Journal of Systems Science, 1978. Vol. 9, № 6. Pp. 613–626.
[25] Dubois D., Prade H. Ranking fuzzy numbers in the setting of possi-
bility theory // Information Sciences, 1983. Vol. 30. Pp. 183–224.
— 127 —
[26] Dubois D., Prade H. Possibility Theory. An Approach to Computer-
ized Processing of Uncertainty. Plenum Press, New York, 1988.
[27] Dubois D., Prade H. The three semantics of fuzzy sets // Fuzzy Sets
and Systems, 1997. Vol. 90. Pp. 141–150.
[28] Dyer J. MAUT - Multiattribute Utility Theory // Multiple crite-
ria decision analysis. State of the art surveys / Ed. by J. Figueira,
S. Greco, M. Ehrgott. Springer, 2005.
[29] Dymova L., Sevastjanov P., Tikhonenko A. An approach to general-
ization of fuzzy TOPSIS method // Expert Systems with Applications, 2013. Vol. 238). Pp. 149–162.
[30] Multiple Criteria Decision Analysis. State of the Art Surveys / Ed.
by J. Figueira, S. Greco, M. Ehrgott. Springer, 2005.
[31] Multiple Criteria Decision Analysis. State of the Art Surveys / Ed. by
S. Greco, M. Ehrgott, J. Figueira. International Series in Operations
Research and Management Science, 233, Springer, 2016.
[32] Hanss M. The transformation method for the simulation and analysis
of systems with uncertain parameters // Fuzzy Sets and Systems,
2002. Vol. 130, № 3. Pp. 277–289.
[33] Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. Springer-Verlag, 2005.
[34] Herrera F., Mart´inez L. A 2-tuple fuzzy linguistic representation
model for computing with words // IEEE Transactions on Fuzzy
Systems, 2000. Vol. 8, № 6. Pp. 746–752.
[35] Herrera F., Mart´inez L. An overview on the 2-tuple linguistic model
for Computing with Words in Decision Making: Extensions, applications and challenges // Information Sciences, 2012. Vol. 207, № 1.
[36] Hwang C.-L., Yoon K. Multiple Attribute Decision Making: Methods
and Applications. Berlin: Lecture notes in economics and mathematical systems, 186. Springer-Verlag, 1981.
[37] Ishizaka A., Nemery P. Multi-criteria Decision Analysis: Methods and
Software. Wiley, 2013.
[38] Kahraman C., Cevik O., Oztaysi B. Fuzzy Multicriteria Decision-
Making: A Literature Review // International Journal of Computational Intelligence Systems, 2015. Vol. 8, № 4. Pp. 637–666.
— 128 —
[39] Kahraman C., Oztaysi B., Cevik O. A Comprehensive Literature Re-
view of 50 Years of Fuzzy Set Theory // International Journal of
Computational Intelligence Systems, 2016. Vol. 9, № 1. Pp. 3–24.
[40] Kahraman C., Tolga A. An Alternative Ranking Approach and Its
Usage in Multi-Criteria Decision-Making // International Journal of
Computational Intelligence Systems, 2009. Vol. 2, № 3. Pp. 219–235.
[41] Kaya T., Colak M., Terzi F. A comprehensive review of fuzzy multi
criteria decision making methodologies for energy policy making //
Energy Strategy Reviews, 2019. Vol. 24. Pp. 207–228.
[42] Kaya T., Kahraman C. Multicriteria decision making in energy plan-
ning using a modified fuzzy TOPSIS methodology // Expert Systems
with Applications, 2011. Vol. 38, № 6. Pp. 6577–6585.
[43] Keeney R., Raiffa H. Decisions with multiple objectives: preferences
and value tradeoffs. New York: John Wiley & Sons, 1976.
[44] Klir G. Uncertainty and information: foundations of generalized in-
formation Theory. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2006.
[45] Klir G., Yuan B. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications.
Upper Saddle River: Simon & Schuster, 1995.
[46] Kreinovich V. Strongly transitive fuzzy relations: an alternative way
to describe similarity // Journal of Intelligent Systems, 1995. Vol. 10.
Pp. 1061–1076.
[47] Lee K. First Course on Fuzzy Theory and Applications. Springer-
Verlag, Berlin, 2005. Vol. Advances in Soft Computing.
[48] Mardani A., Jusoh A., Zavadskas E. Fuzzy multiple criteria decision-
making techniques and applications - Two decades review from
1994 to 2014 // Expert Systems with Applications, 2015. Vol. 42.
Pp. 4126–4148.
[49] Mart´inez L., Rodriguez R., Herrera F. The 2-tuple Linguistic Model.
Computing with Words in Decision Making. Springer, 2015.
[50] Matarazzo B., Munda G. New approaches for the comparison of LR
fuzzy numbers: a theoretical and operational analysis // Fuzzy Sets
and Systems, 2001. Vol. 118. Pp. 407–418.
— 129 —
[51] Nakamura K. Preference relations on a set of fuzzy utilities as a basis
for decision making // Fuzzy Sets and Systems, 1986. Vol. 20, № 2.
Pp. 147 – 162.
[52] Computing Statistics under Interval and Fuzzy Uncertainty /
H. Nguyen, V. Kreinovich, B. Wu and others. Springer Verlag, Berlin,
Heidelberg, 2012.
[53] Pedrycz W., Ekel P., Parreiras R. Fuzzy Multicriteria Decision-
Making: Models, Methods and Applications. Chichester: John Wiley
& Sons, 2011.
[54] Piegat A. Fuzzy Modeling and Control. Studies in Fuzziness and Soft
Computing. Springer, 2001.
[55] Rodr´iguez R., Mart´inez L. An Analysis of Symbolic Linguistic Com-
puting Models in Decision Making // International Journal of General Systems, 2013. Vol. 42, № 1.
[56] Stefanini L., Sorini L., Guerra M. Fuzzy Numbers and Fuzzy Arith-
metic // Handbook of Granular Computing / Ed. by W. Pedrycz,
A. Skowron, V. Kreinovich. John Wiley & Sons, 2008.
[57] Wang X., Kerre E. Reasonable properties for the ordering of fuzzy
quantities (I) // Fuzzy Sets and Systems, 2001. Vol. 118, № 3.
Pp. 375 – 385.
[58] Wang X., Kerre E. Reasonable properties for the ordering of fuzzy
quantities (II) // Fuzzy Sets and Systems, 2001. Vol. 118, № 3.
Pp. 387 – 405.
[59] Wang X., Ruan D., Kerre E. Mathematics of Fuzziness Basic Issues.
Springer-Verlag, 2009.
[60] Yager R. On Choosing between fuzzy subsets // Kybernetes, 1980.
Vol. 9, № 2. Pp. 151–154.
[61] Yager R. A procedure for ordering fuzzy subsets of the unit interval //
Information Sciences, 1981. Vol. 24, № 2. Pp. 143 – 161.
[62] Yager R. On ordered weighted averaging aggregation operators in
multicriteria decision making // IEEE Transactions on Systems,
Man, and Cybernetics, 1988. Vol. 18, № 1.
— 130 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]