Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
обозначения функции принадлежности (т.е. для нечеткого множества
𝐴, µ𝐴(𝑥) ≡ 𝐴(𝑥)).
Нечеткое множество может быть:
∙ дискретным конечным множеством: 𝐴 = {(𝑥𝑖, µ𝐴(𝑥𝑖)), 𝑖 =
= 1, ..., 𝑛}, иногда обозначаемым как 𝐴 = {𝑥1/µ𝐴(𝑥1), ...,
𝑥𝑛/µ𝐴(𝑥𝑛))} или 𝐴 =
𝑛
𝑥𝑖/µ𝐴(𝑥𝑖);
𝑖=1
∙ дискретным бесконечным множеством, 𝐴 = {(𝑥𝑖, µ𝐴(𝑥𝑖)), 𝑖 =
= 1,..., ∞} или 𝐴 =
∞
𝑖=1
𝑥𝑖/µ𝐴(𝑥𝑖);
∙ континуальным (или непрерывным): 𝐴 =𝑥/µ𝐴(𝑥).
Подчеркнем, что указанные выше обозначения суммы и интеграла
носят символьный характер и не имеют прямого отношения к соответствующим математическим операциям.
Элементами {𝑥} универсального множества X могут быть любые
математические, физические, социально-экономические и другие объекты реального или виртуального мира. В то же время, в большинстве
случаев в качестве универсального множества используются 𝑛-мерное
пространство R𝑛и, прежде всего, множество действительных чисел
R и его подмножества.
Нечеткие множества часто классифицируются по виду их функций принадлежности. На рис. 1.1 представлен пример функции принадлежности дискретного (конечного) множества 𝐴 на универсальном
множестве неотрицательных целых чисел N0.
Рис. 1.1: Дискретное (конечное) нечеткое множество
— 11 —
Примеры нескольких типов функций принадлежности на универсальном множестве R приведены на рис. 1.2 - 1.6. Функция принадлежности 𝐴(𝑥) нечеткого множества 𝐴 задается часто некоторым параметрическим уравнением, что показано на рис. 1.4, 1.5, 1.6. Следующие функции принадлежности нечетких множеств относят к базовым
ввиду их широкого использования как в теоретических исследованиях, так и в научно-практических приложениях.
Рис. 1.2: Треугольная функция принадлежности (1,3,5)
Треугольные функции принадлежности. Нечеткое множество 𝐴 с
треугольной функцией принадлежности 𝐴(𝑥) обозначается как 𝐴 =
= (𝑎, 𝑏, 𝑐), где действительные числа 𝑎, 𝑏 и 𝑐, 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐, имеют следующий смысл: строится треугольник (на плоскости (𝑥, α)) с основанием
в точках (𝑎, 0), (𝑏,0) и вершиной в точке (𝑐, 1) (см. рис. 1.2).
Трапециевидные функции принадлежности. Нечеткое множество
𝐴 с трапециевидной функцией принадлежности 𝐴(𝑥) обозначается
как 𝐴 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), где 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑, и трапеция строится по точкам (𝑎, 0), (𝑏, 1), (𝑐, 1), (𝑑, 0) (см. рис. 1.3).
Синглтоны. Нечеткое множество из одного элемента, 𝐴 = {𝑐},
имеет функцию принадлежности типа синглтон (используется также
термин «синглетон »): 𝐴(𝑥) = {1, 𝑥 = 𝑐; 0, 𝑥 = 𝑐, 𝑥 ∈ X}. В теории
нечетких чисел синглтоны играют важную роль и представляют собой
нечеткое расширение действительных (четких/crisp) чисел.
Для задания колоколообразной функции принадлежности могут
быть использованы различные математические выражения, в том числе следующая функция:
𝑓(𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) = 1/(1 + ((𝑥 − 𝑐)/𝑎)2𝑏).
— 12 —
Рис. 1.3: Трапециевидная функция принадлежности (1,2,3,4)
Рис. 1.4: Функция принадлежности гауссовой формы
Наряду с тригонометрическими выражениями, сигмовидные
функции принадлежности могут быть представлены также экспоненциальными функциями:
𝑓(𝑥; 𝑎, 𝑐) = 1/(1 + exp(−𝑎(𝑥 − 𝑐))).
Следующие понятия применяются во всех разделах теории НМ
[47].
∙ Носителем (support) нечеткого множества 𝐴 на универсаль-
ном множестве X, supp(𝐴), является множество всех элементов
— 13 —
Рис. 1.5: Колоколообразная функция принадлежности
Рис. 1.6: Сигмовидная функция принадлежности
с ненулевым значением функции принадлежности: supp(𝐴) =
= {𝑥 ∈ X : 𝐴(𝑥) > 0}.
∙ Нечеткое множество 𝐴 в X называют пустым, если supp(𝐴) = ∅.
∙ Высотой (height) нечеткого множества 𝐴 в X называют значение
ℎ(𝐴) = sup
𝑥∈X
𝐴(𝑥).
∙ Нечеткое множество 𝐴 является нормальным, если ℎ(𝐴) = 1.
∙ Ядром (kernel/core) нечеткого множества 𝐴 в X, ker(𝐴), назы-
вают множество всех элементов в X, в которых функция принадлежности 𝐴(𝑥) равна 1: ker(𝐴) = {𝑥 ∈ X : 𝐴(𝑥) = 1}. Та-
— 14 —
ким образом, нечеткое множество 𝐴 является нормальным, если
ker(𝐴) = ∅.
∙ Элементами (точками) пересечения [уровня α = 0.5] (crossover
points) называют такие 𝑥 ∈ X, в которых 𝐴(𝑥) = 0.5 (использу-
ются в рамках анализа степени нечеткости/неопределенности).
Следующее понятие является ключевым в теории НМ, поэтому
вынесем его в отдельное определение.
Определение 2. Пусть 𝐴 — нечеткое множество на X с функ-
цией принадлежности µ𝐴(𝑥) и α ∈ (0, 1]; α-срез (α − 𝑐𝑢𝑡) нечеткого
множества 𝐴, 𝐴α, определяется как
𝐴α= {𝑥 ∈ X : µ𝐴(𝑥) ≥ α}.
Необходимо подчеркнуть, что в определении 2 указан полузакрытый
интервал (0,1], а не отрезок [0,1], что является важным и обсуждается
детально в лекции по нечетким числам (раздел 2).
На рис. 1.7 показаны приведенные выше характеристики/понятия
нечеткого множества.
Рис. 1.7: Основные характеристики нечеткого множества
Для α-срезов 𝐴αнечеткого множества 𝐴 выполняется следующее
свойство.
Лемма 1. Для всякого нечеткого множества 𝐴 и любых α1и
α2, таких, что α2> α1, 𝐴
⊆ 𝐴
α
2
.
α
1
— 15 —
Множество α-срезов 𝐴αоднозначно определяет нечеткое множество 𝐴.
Следующая теорема (о декомпозиции) играет важную роль в самых различных областях теории НМ [45, 47, 59].
Теорема 1. Для любого нечеткого множества 𝐴 имеет место
следующее равенство:
µ𝐴(𝑥) = sup{α : 𝑥 ∈ 𝐴α} = supααχ
(𝑥). (1.2)
𝐴
α
Задачи к разделу 1.1
1. Приведите примеры использования концепции нечеткости в вашей жизни, работе, учебе и т.д.
2. Попробуйте объяснить ключевые отличия концепции нечетко-
сти от концепции вероятности.
3. Приведите свой пример нечеткого множества.
4. Представьте соответствующим выражением пример нечеткого
множества, состоящего из целых чисел в отрезке [-5, 4].
5. Приведите пример и представьте соответствующим выражением
нечеткое множество на универсальном множестве 𝑋 = [1, 10].
6. Приведите пример нечеткого множества, состоящего из рациональных точек в интервале (0, 1).
7. Напишите уравнение функции принадлежности треугольной
формы нечеткого множества 𝐴 = (1, 2, 10).
8. Напишите уравнение функции принадлежности треугольной
формы нечеткого множества 𝐴 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), 𝑎 < 𝑏 < 𝑐.
9. Напишите уравнение функции принадлежности трапециевидной
формы нечеткого множества 𝐴 = (1, 2, 5, 10).
10. Напишите уравнение функции принадлежности трапециевидной
формы нечеткого множества 𝐴 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑.
11. Представьте графически нечеткое множество 𝐴 с носителем
supp(𝐴) = [−3, 3] и функцией принадлежности µ𝐴(𝑥) =
1+𝑥
1
.
2
— 16 —
12. Определите высоту и ядро нечеткого множества 𝐴 из предыдущего примера.
13. Определите α-срезы нечеткого множества 𝐴 из предыдущего
примера для α = 0.5, 0.2, 0.1, 0.05, 0.01.
14. Для нечеткого множества 𝐴 = {(0, 0), (1, 0.1), (2,0.2), (3, 0.3),
(4, 0.4), (5, 0.5), (10, 0)} определите его высоту и α-срезы для α =
= 0.4, 0.35, 0.2, 0.1, 0.01.
15. Докажите лемму 1 данного раздела.
1.2. Базовые операции над нечеткими множествами
Теоретико-множественные операции над классическими (четкими)
множествами хорошо известны. Пересечение, объединение, разность,
дополнение и др. могут быть наглядно продемонстрированы соответствующим графическим представлением. Все указанные, а также
множество других операций, в том числе с различными вариантами
их реализации, разработаны и в рамках теории НМ [72], см. также
[47, 54].
Рассмотрим свойства (определения), касающиеся сравнения НМ,
и основные операции над ними согласно [72].
Всюду ниже 𝐴, 𝐵 и 𝐶 представляют собой НМ; здесь и далее выражение 𝑥 ∈ X после определенного утверждения понимается как
∀𝑥 ∈ X, если не оговорены дополнительные условия.
1. НМ 𝐴 и 𝐵 считаются равными, 𝐴 = 𝐵, если их функции принадлежности равны:
𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥), 𝑥 ∈ X;
2. НМ 𝐴 является подмножеством НМ 𝐵 (или включается в 𝐵),
𝐴 ⊆ 𝐵, если 𝐴(𝑥) ≤ 𝐵(𝑥), 𝑥 ∈ X;
3. НМ 𝐶 является объединением НМ 𝐴 и 𝐵, 𝐶 = 𝐴∪𝐵, если 𝐶(𝑥) =
= max(𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥)), 𝑥 ∈ X;
4. НМ 𝐶 является пересечением НМ 𝐴 и 𝐵, 𝐶 = 𝐴∩𝐵, если 𝐶 (𝑥) =
= min(𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥)), 𝑥 ∈ X;
5. НМ 𝐶 является дополнением НМ 𝐴, 𝐶 = 𝐴 (часто используется
также обозначение 𝐶 =q𝐴), если 𝐶 (𝑥) = 1 − 𝐴(𝑥), 𝑥 ∈ X.
— 17 —
Можно доказать, что все указанные выше определения операций
c НМ следуют из следующих соотношений для α-срезов:
1. 𝐴 = 𝐵, если 𝐴α= 𝐵α, α ∈ (0, 1];
2. 𝐴 ⊆ 𝐵, если 𝐴α⊆ 𝐵α, α ∈ (0, 1];
3. 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵, если 𝐶α= 𝐴α∪ 𝐵α, α ∈ (0, 1];
4. 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵, если 𝐶α= 𝐴α∩ 𝐵α, α ∈ (0, 1];
5. 𝐶 = 𝐴, если 𝐶α= 𝐴
, α ∈ (0, 1].
1−α
Ряд свойств операций над НМ являются аналогичными соответ-
ствующим свойствам для четких множеств.
1. Коммутативность: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴;
2. Ассоциативность: 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶, 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) =
= (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶;
3. Дистрибутивность: 𝐴∩ (𝐵∪𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵)∪(𝐴 ∩ 𝐶), 𝐴 ∪(𝐵 ∩𝐶) =
= (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶 );
4. Идемпотентность: 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴;
5. Свойства поглощения (имеют место и другие названия указанных ниже свойств):
𝐴 ∪ X = X, 𝐴 ∩ X = 𝐴; 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴, 𝐴 ∩ ∅ = ∅ (по определению,
µX(𝑥) = 1, 𝑥 ∈ X).
Не все свойства четких множеств переносятся на НМ. В четких
множествах хорошо известен закон исключенного третьего: 𝐵∪𝐵 = X,
а также закон противоречия: 𝐵 ∩ 𝐵 = ∅. Однако для НМ указанные
законы не выполняются.
В то же время, законы инволюции и правила де-Моргана имеют
место и для НМ:
∙ 𝐴 = 𝐴;
∙ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵;
∙ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵.
— 18 —
Задачи к разделу 1.2
1. Для нечетких множеств 𝐴 = {(0, 0), (1, 0.1), (2, 0.2), (4, 0.4),
(5, 0.5)} и 𝐵 = {(0, 0.1), (1, 0.9), (3, 0.5), (4,0.6), (5, 1), (6, 0.6)}
найдите нечеткое множество 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵.
2. Для указанных в задаче 1 множеств 𝐴 и 𝐵 найдите нечеткое
множество 𝐷 = 𝐴 ∪ 𝐵.
3. Для указанных в задаче 1 множеств 𝐴 и 𝐵 определите множества 𝐴 и 𝐵.
4. Для указанных в задаче 1 множеств 𝐴 и 𝐵 определите множества 𝐴 ∩ 𝐵 и 𝐴 ∪ 𝐵.
5. Докажите, что из 𝐴 ⊆ 𝐵 следует 𝐴α⊆ 𝐵α, α ∈ (0, 1].
6. Докажите, что из 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 следует 𝐶α= 𝐴α∪ 𝐵α, α ∈ (0, 1].
7. Докажите правила ассоциативности: 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶,
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶.
8. Докажите правило дистрибутивности: 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵)∪
∪(𝐴 ∩ 𝐶 ).
9. Приведите пример конечного нечеткого множества 𝐴 и покажите, что закон исключенного третьего для нечетких множеств не
выполняется.
10. Приведите пример непрерывного нечеткого множества и покажите, что закон противоречия для нечетких множеств не выполняется.
11. Докажите правило де-Моргана: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵.
1.3. Другие операции над нечеткими множествами
Важной особенностью теории НМ является то, что указанные п.1.2
операции пересечения и объединения НМ могут быть дополнены иными подходами к описанию/определению комбинаций из НМ. В основополагающей работе Л. Заде [72] предлагает также такие понятия
(близкие к соответствующим понятиям в теории вероятностей и используемые в различных направлениях нечеткой логики), как алгебраическая сумма и алгебраическое произведение НМ.
— 19 —
∙ Алгебраической суммой НМ 𝐴 и 𝐵 является такое НМ 𝐶, 𝐶 =
= 𝐴 + 𝐵, для которого 𝐶(𝑥) = 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) − 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥), 𝑥 ∈ X;
∙ Алгебраическое произведение НМ 𝐴 и 𝐵, 𝐶 = 𝐴𝐵, определяется
следующим образом: 𝐶(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥).
Нетрудно показать, что для алгебраической суммы и алгебраического
произведения свойства дистрибутивности и идемпотентности, указанные для НМ в п. 1.2, не выполняются. Добавим также, что в рамках
теории НМ и нечеткой логики (НЛ) имеется целый ряд других операций объединения/суммы и пересечения/произведения, см., например,
[47, 54].
Одним из общих подходов к обобщению операций пересечения
и объединения четких множеств (и применяемых в рамках НМ)
является концепция треугольных норм и конорм (triangular norm
and conorm), предложенная К. Менгером в 1942 г. (см., например,
[45, 47, 59, 54]).
Определение 3. Треугольной нормой (𝑡-нормой) называется
отображение 𝑇 : [0, 1]2→ [0, 1], удовлетворяющее следующим усло-
виям: для любых 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥1, 𝑦1∈ [0, 1]:
T1. T(x,y)=T(y,x) (коммутативность);
T2. T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z) (ассоциативность);
T3. 𝑇 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑇 (𝑥1, 𝑦1), если 𝑥 ≤ 𝑥1, 𝑦 ≤ 𝑦1(нестрогая монотонность);
T4. 𝑇 (𝑥, 0) = 0, 𝑇(𝑥, 1) = 𝑥 (граничное условие).
Выделим следующие базовые примеры 𝑡-норм:
𝑇𝑀(𝑥, 𝑦) = min{𝑥, 𝑦} (логическое произведение);
𝑇𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 (алгебраическое произведение);
𝑇𝐿(𝑥, 𝑦) = max{𝑥 + 𝑦 − 1, 0} (𝑡-норма Лукасевича);
𝑇𝐷(𝑥, 𝑦) = {𝑥, 𝑦 = 1; 𝑦, 𝑥 = 1; 0, (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1)2} (драстическое
произведение).
— 20 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]