Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных процессов в реагирующих средах. Монография
.pdf
3.6.Схемарешениякраевойзадачитеплопроводности
j
β
j
β
β
где
n
— тепловые потери на фазовые переходы; индекс j
m
конкретизирует фазовый переход (тип превращения и принадлежность к компоненту смеси).
Для учета тепловых потерь предварительно находятся доли работы, необходимые для реализации фазовых переходов в
микрослое:
где C
CQρ
mmp
— концентрация компонента, для которого возможен
m
,
0
jjj
фазовый переход;
Q
— теплота фазового перехода;
p
ρ — плотность материала.
Критерием начала фазового перехода служит условие достижения температуры микрослоя заданного критического зна-
n
чения:
TT . Считается, что стоки энергии действуют до тех
mp
пор, пока доля работы, требуемая для совершения фазового
перехода по всему микрообъему, не исчерпается энергией источников:
(1)
jn n
jn
β
m
mm
0, если
, если
qqq
qq
.
При реализации фазовых переходов учитывается, что процессы фазовых переходов первого рода характеризуются некоторым инкубационным периодом τ
ей поврежденности материала вводится функция ω
. По аналогии с функци-
p
, отра-
p
жающая степень перехода материала из твердого состояния в
жидкое:
0,
tt
0
tt
0
m
0
pm
t τ
p
,
0
p
.
151
ω ttτ
ppp
τ t
1,
3.Алгоритмисхемарасчета
β
Μ
Здесь tp0 — время начала фазового перехода. В этом случае тепловые потери на плавление вычисляются с учетом
функции ω
Эффективные теплофизические характеристики (
:
p
(1)
jn n n
jn
β
m
mpmm
ω qqq
0, если
, если
qq
.
и ) в
локальных объемах реакционной ячейки в каждый момент
времени определяются с применением модели зернистого слоя
[172]. Соответствующие выражения приведены в разделе 2
(см. формулы (2.50, 2.51)).
Все физические параметры уравнения, отвечающего твердофазному каркасу, состоящему из реагентов и продуктов реакции,
содержащихся в твердой фазе, считаются эффективными и находятся на микрослое
по правилу смеси. Пористость в двухтемпературных уравнениях теплового баланса зависит от количества
жидкой фазы и текущей пористости компакта на микрослое.
Для решения задачи о тепло- и массопереносе при движе-
нии жидкой фазы легкоплавкой компоненты к уравнению
(2.45) добавляются уравнения движения потока жидкости
(2.52), отвечающие законам фильтрации в пористой среде.
При определении
расхода жидкости используется решение
уравнения Дарси с коэффициентом проницаемости К, полученного для модельного пористого тела, состоящего из однородных твердых сферических частиц диаметром d [309]:
vPd
ж
22
180 1 .
2
Динамическая вязкость М расплава легкоплавкого компонента зависит от температуры и определяется по экспоненциальному закону [322]:
М
— значение вязкости при температуре плавления;
где
0
Е
— энергия активации в экспоненциальном законе изме-
μ
exp(Еμ /RT),
0
нения вязкости.
Считается, что движение жидкости возможно при наличии
свободной пористости (П П
min
).
152
3.6.Схемарешениякраевойзадачитеплопроводности
Градиент давления заменяется приближенным конечноразностным соотношением
nn
PP
.
mm
P
1
h
При определении скорости фильтрации вводится ограничение на шаг по времени. При этом учитывается изменение
концентраций компонентов порошковой смеси и пористости,
вызванных процессом конвективного массопереноса.
3.7.Определениесобственныхчастот
прямоугольнойпластины
В работе [315] содержатся результаты экспериментов по ударному инициированию образцов, состоящих из чередующихся слоев алюминиевой фольги и тефлоновой пленки. Многослойные образцы изготавливались из двухслойной ленты из фольги алюминия и пленки фторопласта путем накручивания ленты на тонкую стальную пластину. После снятия с пластинки образец представлял собой плоскую
Как уже отмечалось в разделе 2.11, собственные частоты колебаний определяют характерную структуру поврежденных зон
слоистых компонентов. В случае образцов, рассмотренных в статье [315], каждый слой можно изобразить в виде тонкой пластины.
Такой постановке соответствует задача об определении
собственных частот прямоугольной пластины, шарнирно опертой по двум противоположным
гие стороны (x = 0, x = a ) свободны.
В этом случае выражение для амплитудных прогибов,
удовлетворяющее граничным условиям шарнирного опирания,
можно представить в виде
,sin,
wxy f x
«книжечку» прямоугольной формы.
торцам (y = 0, y = b), две дру-
pny
b
1, 2,3,...n
[317].
153
3.Алгоритмисхемарасчета
x
Подставляя это выражение в уравнение (2.55), получим,
что функция f(x) должна удовлетворять одному из двух уравнений:
'' 0,
fx fx
222
11
22
np
2
b
или
'' 0,
fx fx
222
21
22
n
b
.
2
Решениями этих уравнений являются выражения
ch , sh , cos , sin
11 2 2
xxx
. Следовательно, общее выраже-
ние для ω(x,y) [317] принимает вид
ny
,chsh cos sinsin.
xy C x C x C x C x
11 21 3 2 4 2
(3.6)
b
Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при x = 0, x = a. В случае свободных краев имеем
22 3 3
22 3 2
xy x yx
22 3 3
22 3 2
xy x yx
0; 2 0;
00
xx
0; 2 0.
xa xa
(3.7)
Подставим соответствующие частные производные функ-
ции (3.6) в граничные условия (3.7):
222 2
ch sh cos sin
CxCxC xC x
11 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2
CxC xC xC x
2shchsincos0.
m C xC xC xC x
333 3
sh ch sin cos
11 21 1 32 2 42 2
22
n
2
b
22
n
2
b
ch sh cos sin 0.
11 21 3 2 4 2
CxC xC xC x
11 1 21 1 3 2 2 4 2 2
Путем преобразований в конечном итоге получим сле-
дующее выражение для определения величины α:
154
3.7.Определениесобственныхчастотпрямоугольнойпластины
44 22 22
nnn
422
2 1 ch cos
422
bbb
22 22 22
nn n
sh sin 0.
aa
22 2
bb b
aa
22
(3.8)
Таким образом, частоты собственных колебаний p прямоугольной пластины постоянной толщины, шарнирно закрепленной по торцам, определяются соотношением
2
2
p
Eh
12 1
,
2
где коэффициенты α определяются из решения уравнения (3.8)
[317].
3.8.Проверкаадекватностирешения
краевойзадачитеплопереноса
Достоверность результатов построенной методики, реализующей разработанный алгоритм решения нестационарных
задач теплопереноса, проверим на решении задачи теплопроводности, имеющей аналитическое решение. Такой краевой
задачей может служить одномерная задача теплопроводности
с постоянными коэффициентами.
В качестве тестовой задачи рассмотрим задачу об определении температуры алюминиевого стержня длиной L с теплоизолированной боковой
(х = 0) поддерживается при заданной фиксированной температуре U
, а на другой конец (x = L) подается извне заданный по-
0
стоянный тепловой поток q
стержня описывается функцией f(x).
UU
2
a
T
tx
поверхностью, если один его конец
[323]. Начальная температура
0
2
,
2
λ
2
aρc , 0 < x < L, 0 < t < .
T
155
3.Алгоритмисхемарасчета
x
Начальные условия: U(x, 0) = f(x); (3.6)
Граничные условия: U(0, t) = U
U
;
λsLtq
0
,
, где s —
0
площадь поперечного сечения стержня.
Аналитическое решение краевой задачи (3.6) имеет следующий вид [323]:
a
n
,;
Uxt Qx U
00
Qafz dz
0
q
λsl L L
0
n
exp sin
0
2
;sin
n
Полагая f(x) = a + bx и q
21
n πULQ
4
2
π
21 21
n π anπx
L
0
= 0, получим решение краевой
0
00
2
21
n
2
22
T
2
42
LL
21
n πz
2
t
.
задачи (3.6):
,1expsin,
Uxt a kat kx
n
0
n
4
b
2
kL
22
T
(3.7)
где k = (2n + 1) / 2L.
Условия модельной задачи, имеющей аналитическое решение, могут быть реализованы в разработанном методе решения, если положить постоянными значения теплопроводности, теплоемкости и плотности, задать исходное температурное поле в виде f(x), запретить фазовые переходы, плавление и
химические превращения. В этом случае краевая задача,
реализованная по разработанному алгоритму, будет эквивалентна
тестовой краевой задаче (3.6).
Примем значения
,
и c равными значениям теплопроводности, плотности и теплоемкости алюминия при комнатной температуре:
= 207,0 Вт/(м К);
= 2684,0 кг/м3;
c = 871,0 Дж/(кг К); L = 0,0393 м;
= 1200 K; f(x) = 1200 – 300x / Ll.
U
0
156
3.8.Проверкаадекватностирешениякраевойзадачитеплопереноса
Результаты прогноза температуры, достигаемой в стержне
к моменту времени t = 2,5 с, полученные численно при решении тестовой задачи с помощью предложенной методики при
шаге по пространству h = L / 90 и шаге по времени τ = 5 10
–4
c,
приведены в таблице 1 вместе с расчетами температуры по
формуле (3.7), выведенной аналитически.
Таблица 1
Результаты аналитического и численного решения
задачи теплопроводности
x, см
0,393
1,179
1,965
2,751
3,537
3,930
Т, K
аналитическое
1121,40
970,779
840,193
743,095
691,098
684,425
, K
T
s
численное
1121,40
970,774
840,181
743,073
691,069
684,394
Расчеты показали, что максимальная относительная погрешность приближенного решения для заданных шагов по времени и
пространству во всех узловых точках не превышает 0,005
%.
Для исследования порядка аппроксимации построенной схемы
моделирования найдем решения для различных значений шагов:
по времени:
τ = 5 10
–4
, τ = 5 10–5 и τ = 5 10
–6
с;
по пространству:
h = L / 90, h = L / 180 и h = L / 360.
Результаты расчета с различными шагами по времени при
h = L / 90 на момент времени t = 1,25 c приведены в таблице 2.
Из таблицы 2 видно, что с уменьшением шага по времени
численное решение сходится к точному как O(
).
Результаты, полученные при выполнении расчета с раз-
–4
личными шагами по пространству при τ = 5 10
c на момент
времени t = 2,5 c, представлены в таблице 3.
157
3.Алгоритмисхемарасчета
Таблица 2
Результаты анализа сеточной сходимости численного решения
задачи теплопроводности по времени
X, см
0,393
1,179
1,965
2,751
3,537
3,930
Т, K
аналитическое
1111,62
938,539
779,678
653,014
581,289
571,860
, К
T
1
(τ = 5 10
1111,63
938,545
779,677
652,993
581,249
571,817
–4
c)
T
, К
2
(τ = 5 10
1111,62
938,541
779,673
652,997
581,260
571,829
–5
c)
T
, К
3
(τ = 5 10
1111,62
938,540
779,673
652,997
581,261
571,830
–6
с)
Таблица 3
Результаты анализа сеточной сходимости
численного решения задачи теплопроводности по пространству
X, см
0,393
1,179
1,965
2,751
3,537
3,930
Т, K
аналитическое
1121,40
970,779
840,193
743,095
691,098
684,425
T
, К
1
(h = L / 90)
1121,40
970,774
840,181
743,073
691,069
684,394
T2, К
(h = L / 180)
1121,40
970,778
840,188
743,085
691,084
684,410
T3, К
(h = L / 360)
1121,40
970,779
840,190
743,088
691,088
684,413
Данные таблицы 3 свидетельствуют, что с уменьшением
шага по пространству h численное решение сходится к точному как O(h
2
).
Таким образом, из анализа результатов следует, что реализованная схема решения линейной нестационарной задачи теплопереноса имеет порядок O(h
зультатов с точностью 0,005
по времени
= 10–6 с и шаг по пространству h = L / 90. По-
2
) + O(). Для получения ре-
% достаточно использовать шаг
строенная схема и методика решения задачи теплопереноса
дают оценки температуры среды в различные моменты времени с любой точностью, сходящиеся с уменьшением шага по
пространству и по времени.
158
3.9.Оценкасходимости
μ
μ
3.9.Оценкасходимости
Сходимость построенной вычислительной схемы показана
на примере вычислительного эксперимента по моделированию
ударного синтеза в порошковой системе Ni + Al для параметров структуры b/a = 1,5; П
температурой 293 К под действием ударного импульса амплитудой 2 ГПа и длительностью 1 мкс. Рассмотрены следующие
значения числа разбиений реакционной ячейки (размера b) n и
соответствующие им шаги по времени : n = 90,
n = 180,
= 5,0·10
–12
c; n = 360, = 2,5·10
Интегральными характеристиками процесса механохимических превращений в гетерогенной порошковой смеси могут
служить параметр массового выхода продукта реакции μ на
момент времени 10 мкс, стартовая интенсивность химических
превращений
, относительный объем зон выполнения кри-
0,2
терия нестационарности N/N
представлены в таблице 4. Наблюдается сходимость данных
методики компьютерного моделирования, реализующей изложенную выше модель реагирующей порошковой смеси.
Результаты анализа сеточной сходимости
численного решения задачи ударного синтеза
Параметр
90 / 1,0 · 10
μ 0,4287 0,4419 0,453
, мкс
-1
0,06077 0,06135 0,06240
0,2
N/Ns 0,072 0,05 0,035
На рисунке 10 отражены зависимости указанных выше интегральных характеристик процесса от числа разбиений реакционной ячейки n (рис. 10, а—в) и распределения температуры смеси
по толщине реагирующего слоя к моменту времени 10 мкс.
= 0,4; dNi = dAl = 10 мкм с исходной
0
–12
c.
, результаты вычисления которых
s
= 1,0·10
Таблица 4
Число разбиений / шаг по времени
–11
180 / 5,0 · 10
–12
360 / 2,5 · 10
–11
c;
–12
159
3.Алгоритмисхемарасчета
.
.
0.06
.
t=10
MKC
0.45
0.4
0.35
0.04
0.02
0 100 200 300
.
0.3
0.25
n
0 100 200 300
t=5
MKC
n
а б
N/N
s
0.16
0.12
0.08
0.04
0
0 100 200 300
n
в г
T, K
1000
800
600
400
200
0 0.002 0.004 0.006
Линия 1 — n = 90, = 1 · 10
Линия 2 — n = 180,
Линия 3 — n = 360,
= 5 · 10
= 2,5 · 10
x,
–11
c
–12
c
–12
c
Рис. 10. Оценка сходимости вычислительной схемы
На основе полученных результатов можно сделать вывод о
сходимости вычислительной схемы моделирования процессов динамического уплотнения многокомпонентных реагирующих порошковых сред, подвергнутых воздействию ударного импульса.
1
2
3
M
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]