Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных процессов в реагирующих средах. Монография
.pdf
3.4.Оценкавозможностисверхбыстрыхпревращений
R
3.4.Оценкавозможности
сверхбыстрыхпревращений
К необходимым условиям реализации условий нестационарных физико-химических процессов синтеза, способствующих инициированию и протеканию сверхбыстрых превращений, относятся условие малости степени химических превращений, достижения требуемого уровня механической активации компонентов смеси, реализации струйного режима уплотнения в начальный момент выполнения критерия нестационарности, при выполнении которого волновое
характеризуется резким затуханием массовой скорости в направлении движения ударного импульса [202]:
DD
uu
где z
= 0,2 — значение степени превращений, характеризую-
m
zz
ΠΠ εε
1,
EE
aa
,,
m
TRT
,.
min
0
0
s
щее начальную стадию синтеза;
П
— минимальное значение пористости;
min
ε
— деформация, отвечающая сферически-симметрично-
s
му режиму уплотнения.
С момента перехода к такому режиму диссипативные процессы динамического уплотнения реализуются развитием вихревых структур. Микротурбулентные течения обеспечивают
конвективный перенос компонентов (реагентов и продукта
химических превращений в том числе) в микрообъемах реагирующей смеси, поэтому критерий нестационарности определяет одно из необходимых
условий формирования наноскопи-
ческой субструктуры продуктов ударного синтеза и саму воз-
движение среды
(3.1)
141
3.Алгоритмисхемарасчета
можность реализации химических превращений на фронте
ударного импульса. Статистические параметры, входящие в
критерий, вычисляются в переделах фиксированной полосы,
состоящей из заданного числа микрослоев n. Для получения
несмещенной оценки дисперсии при относительно малых выборках применяют [319] скорректированную формулу:
n
1
mu
где
n
i
1
222
Dum
n
— математическое ожидание.
i
1
i
nn
i
1
n
,
1
Скорость изменения скорости находится с помощью метода неопределенных коэффициентов [320]:
tt t
1, 5 2 0 , 5
uu u
u
12
.
t
Скорость изменения дисперсии оценивается аналогичным
соотношением:
tt t
1, 5 2 0 , 5
DD D
D
12
.
t
3.5.Макрокинетикахимическихпревращений
Скорость превращений определяется в каждый момент времени в каждой точке расчетной области согласно выражению
(2.36) с использованием кинетической функции Аррениусового
типа. В этом выражении предэкспоненциальный множитель —
макроскопический параметр, который, как было показано в главе 2, зависит от размеров ячейки концентрационной неоднородности. В вычислительной схеме учитывается изменение
размеров, происходящее
пор при прохождении ударного импульса. Считается, что при
в результате пластического затекания
142
3.5.Макрокинетикахимическихпревращений
пересчете размеров ячейки меняется только объем, а не форма
компакта, а отношение b(П) / a(П) полагается постоянным.
Вид функции торможения φ в выражении (2.36) находится
в зависимости от фазового и концентрационного состояния
мезообъемов. При твердофазной реакции, когда температура в
микрослое ниже температуры плавления компонентов, функция торможения применяется в следующем виде
φ(z
) = 0,5/(zi + 0,0001).
i
[3]:
Слагаемое 0,0001 используется в связи с тем, что в момент
t = 0 в реальных смесях скорость превращений конечна. При
появлении жидкой фазы (локальное значение температуры
достигает температуры плавления легкоплавкой компоненты)
вид функции торможения зависит от количества образовавшейся жидкой фазы [12]:
2
φ zz — при недостатке жидкой фазы (С
φ zz
= C
C
B I
Bst i
φ zz
— концентрация тугоплавкого компонента;
где С
А
— концентрация тугоплавкого компонента, отвечающая
C
Ast
1
ii
53
1
ii
— для стехиометрического состава (С
);
23
1
ii
— для избытка жидкой фазы (C
B I
Bi
< C
А I
> C
Bst i
= C
Bst i
);
Ast i
),
стехиометричному составу;
C
— концентрация легкоплавкого компонента;
B
C
— концентрация легкоплавкого компонента, отвечаю-
Bst
щая стехиометричному составу.
Механическая активация реакционной смеси в процессе
ударного нагружения обусловливает изменение энергии активации в зависимости от работ, совершенных на пластическое
течение и разрушение оксидных и адсорбированных слоев
частиц (2.40). Для определения изменения энергии активации
на микрослое в зависимости от уровня работы пластической
деформации частиц
нии (2.40) использован эмпирический коэффициент
реагирующих компонентов, в соотноше-
. Если
i
давление при ударном нагружении доходит до критического
значения, соответствующего появлению струйных течений на
,
143
3.Алгоритмисхемарасчета
поверхности реагирующих частиц, то надо принимать во внимание возможность удаления оксидных и адсорбированных
слоев, а также продукта реакции с поверхности реагентов. Это
учитывается через понижение энергии активации, предельное
значение которой достигает значения энергии активации для
абсолютно чистых реагентов. Коэффициент пропорциональности в выражении (2.40) подобран при моделировании экспериментальных данных синтеза
NiAl в вакууме с компонентами
без оксидных пленок [20]. Степень механической активации за
счет разрушения поверхностных слоев зависит от доли поверхности реагирующих частиц, очищенной от окисных, сорбированных и других пленок. Для того чтобы получить коэффициенты
, не зависящие от температуры, в соотношении (2.40)
i
применяются значения разрушения доли поверхностных слоев
частиц при начальной температуре порошкового компакта.
Считается, что реакция в каждом микрослое инициируется
при достижении температурой значения, отвечающего конкретному значению энергии активации (согласно условию реакционной эквивалентности Аррениуса) — T
T0E
si
/ E0, при условии
ai
завершения превращений при исчерпании в рассматриваемой
локальной области какого-либо реагирующего компонента.
Предполагается, что в реакцию вступает лишь та часть компонентов, которая соответствует стехиометрии соединения, при
этом учитывается изменение концентраций реагентов и соединения в процессе реакции. Пересчет концентрации реагентов, вступивших в реакцию, осуществляется следующим образом:
1. Определяется возможное уменьшение реагентов вслед-
ствие реакции за шаг по времени:
nn n n
CC zX Π C
im im i m m
111
,
1
int
где индекс i = 1, 2 — номер реагента;
m — координата в пространстве;
n — координата во времени;
X — стехиометрические концентрации (без учета пористо-
сти и продукта реакции);
— концентрация продукта реакции.
C
int
144
3.5.Макрокинетикахимическихпревращений
X
2. Если какого-либо реагента становится недостаточно, то
его концентрация полагается равной нулю, а изменение концентрации реагента, находящегося в избытке, записывается
как
1
n
CC X
,
11 1
mm
nn
C
1
2
m
2
где индексы 1 и 2 — реагенты, находящиеся в избытке и недостатке соответственно.
Изменение пористости из-за разности плотностей реаген-
тов и продуктов реакции вычисляется по соотношению
ρ X ρ X
C
int
11 2 2
1
ρ
int
,
где ρ — плотность компонента.
Степень превращения z зависит от численного интегриро-
вания скорости превращения
zt , определяемой соотноше-
нием (2.36), по схеме «трапеция». При нахождении степени
превращения отслеживается величина ее прироста за шаг по
времени. Она не должна превышать некоторого заданного
значения. В противном случае уменьшается величина шага по
времени.
3.6.Схемарешениякраевойзадачитеплопроводности
Применение явных разностных схем для решения исследуемых задач теплопереноса практически невозможно из-за
сильного ограничения на шаг по времени [357]. Это вызвано
существенной нелинейностью краевых задач (2.42—2.47) в
диапазоне изменения температуры реагирующей смеси, наличия фазовых переходов и возможности достижения больших
значений коэффициентов теплопроводности. Для численного
145
3.Алгоритмисхемарасчета
(n,
)
(n,m)
(n,
)
(
)
решения нелинейных краевых задач (2.42—2.47) удобны неявные схемы, которые устойчивы и монотонны при любых
шагах [321]. Практика численных расчетов показала, что при
решении сложных задач современной математической физики,
описываемых большим числом уравнений, целесообразно использовать так называемые нелинейные схемы, в которые
входит зависимость параметров от значений температуры на
новом слое.
Уравнения теплового
тырехточечном шаблоне (n
((n – 1)
, mh), представленном на рисунке 9 [321].
баланса заменим сеточными на че-
, (m – 1)h), (n, mh), (n, (m + 1)h),
m –1
m +1
Рис. 9. Шаблон разностной схемы
Для аппроксимации производных применим неявную центрально-разностную схему метода конечных разностей
mm
t τ
2
T
22
yh
nn
TT
T
Ошибка аппроксимации такой схемы — О(
смотрим применение выбранной схемы на двухтемпературных
уравнениях теплового баланса. Уравнение теплового баланса для
случая отсутствия жидкой фазы легко получить на их основе.
После замены системы уравнений теплового баланса конечно-разностными соотношениями
n–1,m
1
;
nnn
TTT
mmm
11
nn
TT
T
yh
11
mm
2
2
;
.
) + О(h2). Рас-
146
3.6.Схемарешениякраевойзадачитеплопроводности
s
1
nn
nnn n n n
1
Πρc α fT T
msmsm νmt sm cm
1
Π
Πρc α fT T
m
2
h
nn n n n n
mcmcm νmt sm cm
n nn
Π TT
nnnnnn nn
m cm cm
λ TTλ TT cG
cm cm cm cm cm cm cm cm
2
hh
TT
n
nnnnnn n
λ TTλ TT f
msmsmsmsmsm m
1/ 2 1 1/ 2 1
nn
TT
cm cm
τ
1/2 1 1/ 2 1
sm sm
τ
1
11
11
;
11
2
(3.2)
.
Значения
соответствуют середине интервалов разбие-
m + 1/2
ния (крестики на рисунке 9) и определяются как
nnn
λλytτ TT
.
mm mm
1/ 2 1/ 2 1
,,1/2
Граничные условия (2.44, 2.45) примут вид
nn
nn nn
TT TT
sM sM cM cM
TTT
00
sc
11 11
hh
22
0; 0.
;
Для решения полученной системы используется метод
последовательных приближений [321], в котором значения
теплофизических параметров берутся с предыдущей итерации:
in n
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
in inin in in in
Πρc α fT T
1
msmsm νmtsm cm
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
ininin in in in
Πρc α fT T
mcmcm νmtsm cm
(1)
Π TT
m cm cm
hh
(1)
in
Π
1
m
2
h
in in in
(1) (1) (1) (1)
i n in in i n in in i n i n
λ TTλ TT cG
cm cm cm cm cm cm cm cm
2
(1) (1) (1)
λ TTλ TT f
sm sm sm sm sm sm m
in n
TT
cm cm
1/ 2 1 1/ 2 1
TT
sm sm
i n in in i n in in i n
1/2 1 1/2 1
1
τ
1
τ
;
11
2
.
147
3.Алгоритмисхемарасчета
Для решения системы конечно-разностных уравнений
применяем метод прогонки. Для этого перепишем систему
(3.2) в виде
nni nni nni n
111 10,
aT cT bT d
msm msm msm m
11
nni nni nni n
111 10
aT cT bT d
msm msm msm m
11
(3.3)
и получим
in
1
in
f
m
m
h
m
sm
m
2
h
)1(
inmin
m
2
h
)1(
;0
)1(
)1(
incmin
2/1
2
)1(
)1(
incmin
2/1
2
h
in
smtinm
ni
2/1
T
1
sm
)1(
2/1
s
cm
TTf
1
ni
T
1
sm
)1))1(
incmin
Gc
2
h
incmin
Gc
cm
2
h
)1()1()1(
in
cm
)1(
)1(
in
)1(
in
sm
in
2/1
2/1
sm
2
h
in
c
sm
m
)1(
in
ni
T
1
cm
)1()1(
ni
T
1
cm
2/1
cm
m
)1()1(
in
m
)1()1()1(
insmin
n
sm
in
2/1
m
cm
2
h
)1()1()1(
incmincmin
c
T
insmin
sm
11)1(
c
in
cmtinm
)1()1(
in
cm
1
n
cm
.0
)1()1()1(
in
TTfT
ni
m
T
sm
_1()1()1(1
in
sm
(3.4)
)1()1()1(
inmincmin
c
ni
T
cm
Граничные условия в этом случае могут быть представле-
ны в виде
nn
(1) (1) (1)
ni ni ni
2(1 )
TTα fT T
Πλ λ
ni ni ni ni ni ni
λλ Π ρc Π
sM sM M sM sM M
ni n n i n i n i
sM sM νMtcM sM
MsM sM
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1/ 2 1/ 2
1
1/2 1/ 2
2
h
Πρc
11
2
h τ
(1) (1) (1)
ni ni ni
MsMsM
τ
TTT
00
sc
ni
T
1
sM
1(1) (1) (
;
1_ ( 1)0;ni
f
M
148
3.6.Схемарешениякраевойзадачитеплопроводности
2
M
)1(
in
2/1
cM
in
cM
M
cM
2/1
2
h
in
cM
2
h
in
in
c
cM
)1(
)1(
in
in
)1(
in
cM
ni
2/1
T
1
cM
)1()1(
in
M
cM
incMin
c
cM
n
in
M
in
sMt
)1()1()1(
in
cM
ni
T
cM
)1()1()1(1
in
M
TTfT
2/1
)1()1()1(
Система уравнений (3.4) представляет уравнения (3.3) со
следующими коэффициентами:
при m 0; m M
)1(
)1(
in
in
ni
a
1
m
1
ni
1
b
m
ni
1
c
m
1
ni
1
d
m
ni
2
a
m
ni
2
b
m
ni
c
m
ni
d
m
)1(
2/1
sm
m
2
h
)1(
in
m
2
h
)1(
in
2/1
sm
in
m
)1(
in
cm
m
2
h
)1(
in
cm
m
2
h
)1(
in
2/1
cm
in
m
;
)1(
in
2/1
m
s
;
)1()1(
in
2/1
sm
2
h
c
sm
)1(
in
2/1
)1(
in
2/1
in
cm
2
h
in
cm
in
m
)1()1()1(
insmin
in
cm
in
cm
2/1
in
c
cm
n
m
sm
)1))1(
in
Gc
cm
2
h
)1()1(
in
Gc
cm
2
h
)1()1(
in
m
)1()1()1(
n
cm
insmin
11
c
sm
in
in
cmt
;
;
in
in
c
cm
cm
in
m
)1()1()1(
in
smt
m
;
in
sm
m
in
fTTfT
)1()1()1(
in
;2
in
TTfT
cm
.0
)1(_1()1()1(1
in
;0
m
)1()1()1(1
.02
при m = 0
0000 00 0 0
ni ni ni ni ni ni ni ni
12120;121;12 ;
aa bb cc dd T
149
3.Алгоритмисхемарасчета
E
M
f
при m = M
n
M
n
b
1
M
n
M
n
aa
1
;021
M
sM
n
m
n
M
)1(
in
2/1
2
h
)1(
in
2/1
sM
n
m
n
n
b
M
n
M
m
)1(
in
2/1
cM
h
n
ddddcccc
M
)1(
in
2/1
cM
2
n
.22;11;122;11
m
;2;
Будем искать решение конечноразностных уравнений в виде
ni n n i n
TET F
mmm m
(1)
11
.
(3.5)
Прогоночные коэффициенты E и F определяются по рекуррентным формулам
nnnn
nn
mm
adbF
mmmm
;;1,2,,,
nnn nnn
cbE cbE
mmm mmm
FmM
11
1
полученным путем приведения уравнения (3.3) к форме (3.5)
после замены значения
n
T
по формуле
1
m
(1)n i ni ni ni
TETF
mmmm
Из конечно-разностной схемы для условия на правой гра-
нице после подстановки значений можно вывести соотноше-
n
ние для вычисления неизвестного
dbF
n
T
M
cbE
T :
nnn
MMM
nnn
MMM
1
1
.
Затем в процессе обратного хода метода прогонки, полагая последовательно m = M – 1, M – 2,…0, по формуле (3.5) вычисляются значения температур Т.
Источники тепла
n
f
m
Q φβ qq
0, если
n
в уравнении (3.2) определяются в виде
m
1
in
zz
mm
n
τ
qq
1
mm
njn
, если
,
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]