Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных процессов в реагирующих средах. Монография
.pdf
2.5.Дискретныеособенностидинамикиразрушениятвердыхтел
I
K
Предположим, что макроразрушение произошло, если вышел из строя хотя бы один структурный элемент. Естественное условие разрушения одного структурного элемента — это
достижение действующей на структурный элемент силы F
критического значения F
F ≤ F
:
c
. (2.24)
c
В терминах континуального поля напряжений, с которыми
мы имеем дело в механике сплошной среды, соотношение
(2.24) можно представить в виде
x
σ dr σ d
xd
,
(2.25)
c
где d — некоторый структурный размер;
σ — главное растягивающее напряжение в вершине тре-
щины (r = 0);
σ
— предел прочности бездефектного материала.
с
В полученном критерии Новожилова пока еще неизвестны
критическое напряжение σ
и структурный размер d. Для их
с
определения применим третий базовый принцип.
Рассмотрим случай разрушения однородного бездефектного образца.
1. Пусть разрушение образца определяется классическим
критерием прочности σ ≤ σ
, тогда σс = σв.
в
2. В соответствии с классической задачей о гриффитсов-
ской трещине в окрестности трещины напряжения
K
I
σ 1, 0
Or
r
2π
.
Подставим это решение в соотношение (2.25) и, проинтегрировав по r = x – d от 0 до d с учетом того, что K
получим
2
2
c
d
.
2
(2.26)
πσ
c
≤ KIc,
I
91
2.Физико‐математическаямодель
Другими словами, в «простых» случаях критерий (2.25)
совпадает с критерием Гриффитса — Ирвина.
Здесь представлен всего лишь один вариант нахождения
пары параметров σ
и d. Относительно физической природы
с
структурного параметра d в разное время различными учеными предлагалось рассматривать межатомные расстояния для
среды с регулярной структурой, размер зерна поликристаллической структуры, так называемый параметр масштабного соответствия и т.
д.
В дальнейшем будем считать параметр d линейным размером ячейки разрушения — элементарной ячейки на данном
структурном уровне.
Размер d можно представить как параметр масштабного
соответствия, определяющий корреляцию прочностных
свойств материала на заданном масштабном уровне, σ
— как
с
хрупкую прочность бездефектного материала.
Подобно тому как реальная прочность поликристалла σ
напрямую не связана с прочностью атомной решетки отдельного монокристаллического блока, входящего в данный
поликристалл, линейный размер d также не должен однозначно характеризоваться линейной геометрической структурой материала.
Параметры σ
и d являются равноправными и самостоя-
с
тельными характеристиками процесса разрушения — эти
параметры могут быть прямо или косвенно находиться из
опытов.
Мы только что получили критерий разрушения (2.25—
2.26), удовлетворяющий одновременно (и последовательно)
механизмам хрупкого разрушения бездефектного материала
по максимальным нормальным напряжениям и хрупкого разрушения материала с трещинообразным дефектом для случая
нормального
отрыва.
По представленному алгоритму можно построить варианты критериев Новожилова для других механизмов разрушения.
с
92
2.5.Дискретныеособенностидинамикиразрушениятвердыхтел
J
2.5.1.Динамическаямеханикаразрушения
Рассмотренный подход может быть обобщен на случай
динамики.
Пусть при прежних условиях напряженное состояние среды однородно в
пространстве и изменяется
лишь во времени (рис. 5).
Пусть на временной
шкале задана структура. Соответствующий размер назовем структурным (инкубационным) временем раз-
Рис. 5. Элемент структуры
на временной шкале
рушения и обозначим τ.
Будем считать, что разрушение произойдет
импульс
t
tdt
σ ',
t
действующий в течение времени τ, достигает критического
значения
J(t) ≤ J
c.
Отсюда
t
σ ' στ.
dt
t
c
(2.27)
Для разрушения материала критическое напряжение
должно действовать некоторое время. Таким образом, τ —
минимальное время, необходимое для разрушения элемента структуры при действии критического напряжения, равного σ
.
с
τ – инкубационное
время
x
, если силовой
93
2.Физико‐математическаямодель
x
t
d
В общем случае пространственно-временной неоднородности динамического поля на-
τ
пряжений имеем комбинацию
двух предыдущих вариантов и
соответствующую пространст-
Рис. 6. Пространственно-
временная ячейка разрушения
td
11
dt t r dr
τ
t
Таким образом, параметры σ
венно-временную ячейку разрушения (рис. 6).
Ей отвечает структурновременной критерий
σ ', σ
'
d
0
, d и τ представляют систему
с
.
c
(2.28)
определяющих параметров теории разрушения.
Динамический критерий разрушения был предложен в
1990 г. Н.
Ф. Морозовым, Ю. В. Петровым [298].
2.5.2.Временнаязависимостьпрочности
хрупкихматериалов
Рассмотрим откольное разрушение в одномерной поста-
новке.
В экспериментальной динамической механике разрушения
е. в экспериментах по динамическому разрушению — на коп-
(т.
рах, баллистических установках, легкогазовых пушках и т.
коплен большой опыт наблюдения непонятных с позиций статической механики разрушения механизмов разрушения:
1. Очень короткие импульсы U = σt
амплитуды σ >> σ
, 0 < t0 << 1 не разрушают материал.
с
нагружения большой
0
2. Динамическая прочность по величине зависит от време-
ни до разрушения, называемого «временем жизни» образца.
Для построения временной зависимости прочности вос-
пользуемся соотношениями (2.27—2.28).
п.) на-
94
2.5.Дискретныеособенностидинамикиразрушениятвердыхтел
5
В случае однородного бездефектного материала естественным определением времени является τ = d/c, где с — максимальная скорость распространения волн в упругой среде.
Инкубационное время в этом случае понимается как среднее
время передачи взаимодействия между соседними элементами
структуры разрушения.
Рассмотрим отражение треугольного импульса сжимающей нагрузки от свободного конца полубесконечного стержня.
Ось
Ох направлена вдоль стержня (x > 0). Падающий импульс
записывается в виде
σ 1,
Pctxctxct
ct x
ct
0
0
где P — амплитуда импульса;
t
— продолжительность импульса;
0
Н(t) — функция Хевисайда.
Отраженный от свободного конца профиль напряжения
будет иметь вид
σ 1.
Pctxctxct
Суммарное напряжение выражается как σ = σ
ct x
ct
0
-
+ σ
0
+
Максимальное растягивающее напряжение впервые возникает в точке x
Вводя безразмерные величины T = ct/d, T
= ct0/2.
0
= ct0/d, получим
0
σ FG
xx
0
1
FHTHT
222
3
GHTHT
222
,
T
T
0
T
T
0
TT
00
TT
00
,
(2.29)
.
.
Минимальную для заданной продолжительности t
шающую нагрузку P
найдем из условия
*
разру-
0
9
2.Физико‐математическаямодель
6
Р
р
T
max
σσ
dt
tc
1
T
Из выражения (2.29) следует, что
ходиться на интервал интегрирования
/2 1
T
0
max σ , если 1;
t
max
t
dt P T
/2
T
0
/2 1
T
0
σ , если 1,
dt P T T
/2
T
0
T
·
1.
J
c
max
0
2
1
00
2
(2.30)
T
σ dt
t
T
TT
00
,1
22
0
будет при-
1
, причем
откуда с учетом условия (2.30) получаем
где T
T
*
= ct
/ d — нормированное время до разрушения, опре-
*
*
1
41 σσ
cc
σ
c
1, 2,
P
*
1, 1 2,
P
*
P
*
P
*
σ
c
деляемое как момент достижения интеграла из соотношения
(2.24) своего критического значения.
(1)
t
*
(2)
d/c
σ
с
Рис. 7. Временная зависимость
п
очности
*
На рисунке 7 показана зависимость между временем разрушения t
амплитуды нагружения P
и пороговым значением
*
— так
*
называемая временная зависимость прочности.
Эта расчетная зависимость
очень хорошо описывает многочисленные экспериментальные
данные. На рисунке 7 хорошо
видны асимптоты статической
9
2.5.Дискретныеособенностидинамикиразрушениятвердыхтел
7
[длинноволновой (1)] и динамической [коротковолновой (2)]
ветвей временной зависимости прочности. Физический смысл
горизонтальной асимптоты τ = d / c: в рамках принятых допущений эта асимптота соответствует времени передачи взаимодействия между элементами структуры.
2.5.3.Определениеуровнямгновеннойповреждаемости
Понятие параметра сплошности, характеризующего изменение площади поперечного сечения образца при его разрушении, было введено Л.
М. Качановым в 1958 году [299]. Вре-
мя до разрушения — это то, в течение которого нужно удерживать нагрузку до полного разрушения образца.
Кинетическое уравнение повреждаемости для изотропной
среды предложено Ю.
где
— параметр повреждаемости,
Н. Работновым [300] в виде
dω
dt
,,
fPω
(2.31)
P — величина постоянной приложенной нагрузки,
t — время.
Обычно полагают, что до приложения нагрузки дефекты в
материале образца отсутствуют, т.
е. начальное условие для
уравнения (2.31) записывают в виде
ω
(2.32)
00.t
В качестве критерия разрушения выбирается условие, при
котором поверхность разрушения занимает все поперечное сечение образца:
(2.33)
*1,ttω
где t* — время до разрушения.
Уравнение (2.33) обычно используется для определения
значения t*.
Основным направлением развития теории повреждаемости
является уточнение определяющего соотношения (2.31). Вид
9
2.Физико‐математическаямодель
B
функции f(P,) обычно выбирается из соображений наилучшего описания конкретных экспериментальных результатов.
Но, как показано в работе [283], кинетическое уравнение повреждаемости тесно связано с законом сохранения массы.
За параметр повреждаемости принимается безразмерный
параметр, характеризующий относительный объем накопленных в теле дефектов. В результате накопления микроповреждений происходит изменение локальной плотности материала.
Записывая
закон сохранения массы в терминах параметра по-
вреждаемости, можно получить кинетическое уравнение типа
(2.31) [283]:
dω
1,
ω div v
где
v — скорость движения частиц материала.
(2.34)
dt
Различные аппроксимации дивергенции скорости дают
различные уравнения повреждаемости. Однако для корректного описания экспериментальных данных необходимо учитывать еще одно обстоятельство. Материал, используемый в экспериментах, имеет некоторый начальный или мгновенный
уровень поврежденности. Обычно этим пренебрегают, используя в качестве начального условия выражение (2.32). Но, как
показано
А. В. Каштановым и Ю. В. Петровым [283], учет
мгновенной повреждаемости позволяет более точно описать
экспериментальные данные по длительной прочности.
Для определения уровня мгновенной поврежденности в
работе [283] используется уравнение энергетического баланса
Гриффитса для развития повреждений периодической системой трещин. Соотношение, связывающее приложенную нагрузку P с соответствующим ей уровнем повреждаемости, получено А.
В. Каштановым и Ю. В. Петровым [283] в виде
2
P
, (2.35)
ω
2
σ
— временная прочность материала.
где
В
98
2.6.Модельреакционнойячейкимакрокинетикихимическихпревращений
2.6.Модельреакционнойячейкимакрокинетики
химическихпревращений
Классическая химическая кинетика изучает протекание
химических реакций в идеализированных условиях: обычно
при постоянных — как во времени, так и в пространстве —
температуре и концентрациях вещества. Задача макроскопической химической кинетики — изучение протекания химических превращений в реальных макроскопических условиях в
природе или технике, то есть с учетом побочных физических
процессов, накладывающихся на
цесс. Конкретным содержанием макрокинетики химических
превращений является изучение роли диффузии, теплопередачи и конвекции (то есть движение газа или жидкости) в протекании химических реакций.
Под скоростью химической реакции можно подразумевать количество вещества, реагирующего в единице объема
за единицу времени [301]. Величина скорости превращений в
макрокинетике является
функцией от температуры реагирующей смеси и концентрации веществ, участвующих в реакции. Зависимость скорости реакции от концентрации веществ, задействованных в реакции, обычно представляется
степенным законом:
...
w — скорость реакции;
где
СА, С
— концентрации веществ А, В,…, участвующих в реак-
В
wkCC ,
ции,
k — константа скорости реакции, зависящая от темпера-
туры;
n — порядок реакции (по веществу А, В, …).
В свою очередь, в степенном законе зависимость констан-
ты скорости от температуры дается законом Аррениуса:
основной химический про-
nA nB
AB
99
2.Физико‐математическаямодель
где
Т — температура;
exp ,
kk ERT
0
a
R — универсальная газовая постоянная;
Е
— энергия активации (энергия, которой должна обладать
a
молекула, чтобы прореагировать);
k
— предэкспоненциальный множитель.
0
Скорость реакции можно оценить по интенсивности изменения степени химических превращения одного из компонентов. Так как легкоплавкий компонент в жидкой фазе может
перемещаться в пористом каркасе, адекватно учесть степень
его превращения сложно, поэтому будем оценивать скорость
химической реакции по степени превращения
компонента:
wzt , для которого нет необходимости от-
z тугоплавкого
слеживать процесс конвекции.
Макрокинетическое уравнение для степени превращений z
в дифференциальной форме представляется произведением
аррениусовской функции температуры на некоторую функцию
, зависящую от глубины превращений. Эта функция определяется типом реакции [3; 12; 226] и называется функцией торможения.
Таким образом, выражение для скорости химических пре-
вращений можно записать как
z
kERTφ zTz
exp( / ) ( ) Ф ,,
0
t
a
(2.36)
φ(z) — функция торможения.
где
В случае существования твердофазного каркаса реагирующей смеси, когда продукт реакции и хотя бы один из реагентов не плавятся, вид кинетической функции определяется
механизмом переноса реагентов и структурой нарастающего
слоя продуктов [302—304]:
ERT
Φ ,.
Tz ke e z
(2.37)
0
a
mz n
Наиболее распространены следующие законы скорости
химических превращений:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]