Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
А.А. АФИНОГЕНТОВ
Ю.Э. ПЛЕШИВЦЕВА
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ С
РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Самара
Самарский государственный технический университет
2017
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
К аф едра «Управление и системный анализ в теплоэнергетических
и социотехнических комплексах»
А.А. АФИНОГЕНТОВ
Ю.Э. ПЛЕШИВЦЕВА
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ С РАСПРЕ-
ДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Учебное пособие
Самара
Самарский государственный технический университет
2017
2
Печатается по решению ученого совета СамГТУ (протокол №3 от
31.03.2017)
УДК 681.5
Афиногентов А. А., Плешивцева Ю. Э.
Моделирование и оптимальное управление объектами с распреде-
ленными параметрами: учебное пособие / Ю.Э. Плешивцева, А.А. Афино-
гентов. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2017 г. 99 стр. с. ил.
Пособие посвящено проблемам моделирования и оптимального управления объектами с распределенными параметрами параболического и гиперболического типов.
Приведены примеры, демонстрирующие возможности применения предлагаемых методов для решения конкретных инженерных задач моделирования управляемых процессов в различных технических системах.
Предназначено для магистрантов, обучающихся по направлениям подготовки 13.04.01 «Теплоэнергетика и теплотехника» и 21.04.01 «Нефтегазовое дело», программа «Трубопроводный транспорт», а также для бакалавров,
обучающихся по направлению 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника»,
профилю подготовки «Автоматизация технологических процессов и производств в теплоэнергетике и теплотехнике».
Р ец ензент докт. техн. наук Э.Я. Рапопорт
© А.А. Афиногентов, Ю.Э. Плешивцева, 2017
© Самарский государственный
технический университет, 2017
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Г л а в а 1. Краевая задача математического моделирования объектов
с распределенными параметрами. . . . . . . . . . . . . . . 7
Г л а в а 2. Моделирование типовых ОРП с сосредоточенными
управляющими воздействиями . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Передаточные функции типовых ОРП с сосредоточенными
управляющими воздействиями. . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Лабораторная работа №1. Моделирование типовых ОРП первого
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Лабораторная работа №2. Моделирование типовых ОРП второго
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Г л а в а 3. Моделирование и оптимальное управление периодиче-
ским процессом индукционного нагрева . . . . . . 32
3.1. Физические основы процесса индукционного нагрева. . . . 32
3.2. Основные уравнения, описывающие процесс индукционного на-
грева металла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Лабораторная работа №3. Математическое моделирование темпе-
ратурного поля металлической заготовки в процессе индукционного
нагрева металла . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4. Лабораторная работа №4.Оптимальное по быстродействию
управление периодическим процессом индукционного нагрева . . 53
Г л а в а 4. Моделирование процесса транспорта нефти по магист-
ральным трубопроводам (МТП). . . . . . . . . . . . 72
4.1. Физические основы процесса транспорта нефти по МТП . . 72
4.2. Краевая задача моделирования процесса транспорта нефти по
МТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3. Лабораторная работа №5. Применение метода Фурье для реше-
ния краевой задачи моделирования процесса транспорта нефти по
МТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4. Лабораторная работа №6. Применение функций Грина для решения краевой задачи моделирования процесса транспорта нефти по
МТП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4
ВВЕДЕНИЕ
Методы классической теории автоматического управления, ши-
роко представленные в научной и учебной литературе, получены
применительно к объектам с сосредоточенными параметрами (ОСП),
поведение которых однозначно характеризуется изменением во времени управляемых величин и описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.
В то же время практически все технические объекты управления
характеризуются пространственной протяженностью, т.е. зависимостью управляемых величин от времени и пространственных координат, изменяющихся в пределах области, занимаемой объектом. Таким
образом, большинство реальных объектов относятся к классу объектов с распределенными параметрами (ОРП), для которых изменение
управляемых величин описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегродифференциальными уравнениями или системами уравнений самой различной природы.
Задачи моделирования и управления ОРП принципиально отличаются от соответствующих задач применительно к ОСП и оказываются существенно более сложными. Теория моделирования и управления ОРП, характеризующаяся использованием сложного и отличного от классической ТАУ математического аппарата, недостаточно
полно представлена в типовых учебных пособиях для студентов, обучающихся в технических вузах.
В данном пособии на примере типовых технологических объектов, описываемых уравнениями параболического и гиперболического
типов, продемонстрированы практические подходы к моделированию
и оптимальному управлению системами с распределенными параметрами (СРП).
В первой главе кратко рассматриваются основные постановки
краевых задач моделирования ОРП.
Вторая глава посвящена изучению математических моделей ти-
повых ОРП с сосредоточенными управляющими воздействиями, которые приводятся к уравнениям в частных производных первого и
второго порядков, представляющих собой различные модификации
основных уравнений математической физики. Вводится понятие передаточной функции ОРП в форме изображения по Лапласу по аналогии с понятием передаточной функции ОСП. Теоретический мате-
5
риал дополняется заданиями для лабораторных работ студентов, посвященных изучению техники применения прикладного пакета
MathCAD для моделирования типовых ОРП первого и второго порядков.
В третьей главе рассматриваются задачи моделирования и
управления процессами периодического индукционного нагрева, нашедшими широкое применение на практике. Описаны физические
основы процессов индукционного нагрева и представлены их базовые
математические модели.
Четвертая глава посвящена методам математического модели-
рования процессов транспорта нефти по магистральным трубопроводам. Описаны физические основы процессов транспорта нефти и
представлены их базовые математические модели. Теоретический материал дополняется заданиями для лабораторных работ студентов,
посвященных изучению техники применения прикладного пакета
MathCAD для моделирования процессов транспорта нефти по магистральным трубопроводам.
При изучении пособия не требуется специальная подготовка за
пределами типовых вузовских курсов высшей математики и теории
автоматического управления для магистрантов, обучающихся по
направлениям подготовки 13.04.01 «Теплоэнергетика и теплотехника» и 21.04.01 «Нефтегазовое дело», программа «Трубопроводный
транспорт», а также для бакалавров, обучающихся по направлению
13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника», профилю подготовки
«Автоматизация технологических процессов и производств в теплоэнергетике и теплотехнике».
6
ГЛАВА 1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОГО
Dx
txQ ,
0,,,, tDxtxftxQL
tx,
txf ,
0, txf
0, txf
txQ ,
txQtxQ
i
,,
ni ,1
txQi,
0t
xQxQ
i00
0,,,
0
tDxxQtxQN
МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Многие технологические объекты ввиду своей значительной про-
странственной протяженности (трубопроводные системы транспорта
нефти и газа, массивные металлические заготовки в процессах термической и механической обработки, теплообменные аппараты и т.п.),
следует рассматривать как объекты с распределенными параметрами
(ОРП), для которых в качестве функции состояния выступают пространственные распределения физических параметров (давление и
скорость потока в трубопроводе, температура и напряжения по объему нагреваемой заготовки и т.д.)
В этих случаях поведение ОРП в любой точке
области D в произвольный момент времени t может быть описано
функцией состояния
нию общего вида [1]:
где D - открытая часть области D, L - оператор линейной комбинации функции Q и ее частных производных по
описывающая внешнее управляющее (возмущающее) воздействие на
систему, приложенное во внутренней точке ОРП. При
уравнение (1) является неоднородным, при
В общем случае
,
, удовлетворяющей следующему уравне-
, (1.1)
,
- однородным.
является векторной функцией состояния
, а векторное уравнение (1.1) эквивалентно
замкнутой
- функция,
системе, состоящей из n уравнений относительно
Состояние ОРП в начальный момент времени
векторной функцией
.
описывается
[1], такой что:
. (1.2)
7
Поведение функции
txQ ,
DxDx
0t
0,,,, tDxDxtxgtxQ
txg ,
txf ,
,N
txQ ,
),( txQ
xxx ],[
10
,),(),(),(),(
),(),(2),(),(
2
22
2
2
txfQtxc
x
Q
txb
t
Q
txa
x
Q
txC
tx
Q
txB
t
Q
txAtxQL
cbaCBA ,,,,,
2
BAC
на границе области D, т.е. в точках
, в любой момент времени
описывается как:
, (1.3)
где
торое наряду с
ляющей величины (управление по граничным условиям),
- внешнее воздействие, приложенное на границе ОРП, ко-
также можно рассматривать в качестве управ-
- ли-
нейные дифференциальные операторы.
Основное уравнение (1.1) с начальными условиями (1.2) и гра-
ничными условиями (1.3), составляют краевую задачу, решение которой однозначно определяет поведение ОРП на всей области определения функции состояния
.
Для простейшего случая пространственной распределенности
по одной координате х, изменяющейся на отрезке
(одномерный ОРП), линейное дифференциальное уравнение (1.1)
второго порядка достаточно общего вида записывается следующим
образом [1]:
где
заданные достаточно гладкие функции от х и t, ко-
(1.4)
торые, в частности, могут принимать постоянные значения. В последнем случае получаем уравнение (1.4) с постоянными коэффициентами.
В различных частных вариантах из уравнения (1.4) получается
уравнение, соответствующее типовым уравнениям математической
физики [1].
В зависимости от значения дискриминанта этого уравнения:
различают уравнения (1.4) гиперболического ( < 0), параболического
8
( = 0), эллиптического ( > 0) и смешанного типов (если меняет
),,(
2
2
txF
t
Q
a
x
Q
C
Q
).,(
2
2
txF
x
Q
),,(
2
2
2
2
txF
x
Q
C
t
Q
A
знак в области допустимых изменений х и t).
Все коэффициенты здесь в простейшем случае являются задан-
ными числами, а в более сложном случае - заданными функциями переменных x и t.
1) Если b = c = 0, A = B = 0, получим:
(1.5)
то есть уравнение теплопроводности, описывающее температурное
поле тела в процессе нестационарной теплопроводности [1, 2, 3]. Тогда
, F(x,t) - мощность внутреннего источника тепла. Это урав-
нение параболического типа.
2) Если дополнительно еще и a = 0, то вместо (1.4) имеем уравнение стационарной теплопроводности, когда Q не меняется во времени:
(1.6)
Это уравнение эллиптического типа. Если F(X,t)0, то (1.6) явля-
ется уравнением Пуассона.
3) Если a = b = c= 0, B =0, то получим:
(1.7)
то есть уравнение (1.4) сводится к волновому уравнению. Это уравнение эллиптического типа, описывающее процессы распространения
волн в механике. (Например, процессы пульсации в длинных трубопроводах.)
водные от функции состояния и мы получаем частный наиболее простой случай ОРП первого порядка. Это уравнение гиперболического
типа, и как мы видим, подобный объект является простейшей моделью процесса непрерывного нагрева движущегося тела.
4) Если A=B=C=0, тогда объект содержит только первые произ-
Замечания:
9
1) Для полного описания ОРП в любом случае уравнение (1.4)
),( txg
надо дополнить соответствующими условиями. По сути уравнение
(1.4) есть лишь частный случай представления оператора L в уравнении (1.1).
2) Управляющие воздействия могут быть включены в модель в
зависимости от их конкретного смысла: либо в уравнение (1.4) в составе функции F(x,t), либо в граничные условия (1.3) в функцию
.
3) В соответствии с приведенными ранее примерами надо иметь в
виду, что реальные ОРП могут быть описаны системой уравнений
вида (1.4) с соответствующими краевыми условиями.
Как и для объектов с сосредоточенными параметрами (ОСП), для
ОРП используются различные виды представления модели в зависимости от характера задачи.
Подобным образом возможно эквивалентное представление тре-
мя способами:
a) непосредственно в виде операторного уравнения, то есть в ви-
де уравнения (1.4);
б) описание в комплексной области, то есть в терминах частот-
ных функций и передаточных характеристик (если подобные представления обычными методами оказываются возможными);
3) описание в пространстве состояний, в роли которого чаще всего для ОРП выступает бесконечномерное пространство коэффициентов Фурье [1], разложение функций состояния в бесконечные сходящиеся ряды по некоторой системе ортогональных функций.
Конкретные возможности по описанию типовых ОРП, особенно с
помощью аппарата частотных функций и передаточных характеристик в полной мере определяется характером управляющих воздействий.
В самом общем случае пространственно-временного управления
обычный аппарат частотного анализа и передаточных функций использовать не удается. Понятие передаточной функции приходится
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]