Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
обобщать, однако в большинстве случаев, применительно к реальным
ситуациям используется сосредоточенное управление аналогично
системам с ОСП. В таких ситуациях можно провести полные аналогии с обычной ТАУ для ОСП.
В данном пособии на примере типовых технологических объектов, описываемых уравнениями параболического и гиперболического
типов, продемонстрированы практические подходы к моделированию
и оптимальному управлению системами с распределенными параметрами (СРП).
11
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ ОРП С СОСРЕДОТОЧЕН-
,)(
),(
),(),(
0
t
du
t
tx
txФtx
),( tx
).(*),(),( pUpxppxQ
НЫМИ УПРАВЛЯЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
2.1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ТИПОВЫХ ОРП С СОСРЕ-
ДОТОЧЕННЫМИ УПРАВЛЯЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ.
Для линейных стационарных ОРП, описываемых уравнением ви-
да (1.4), функция состояния (распределенная) связывается с сосредоточенным управляющим воздействием по аналогии с ОСП известным
интегралом свертки [1, 2]:
(2.1)
где u(t) - сосредоточенное управляющее воздействие;
- пере-
ходная функция объекта (реакция объекта на единичное управляющее воздействие при нулевых начальных условиях для каждой рассматриваемой точки x); Ф(x,t)- некоторая функция, определяемая для
каждой конкретной задачи в зависимости от краевых условий.
В принципе, как правило, для типовых ОРП можно переформу-
лировать задачу так, чтобы функцию Ф(x,t) принять равной 0, за счет
соответствующего видоизменения функции F(x,t) в правой части
уравнения объекта.
Если управляющее воздействие пространственно-временное, то
вместо временного интеграла в (2.1) появляется двойной интеграл по
t и по x, и аналогия с ОСП нарушается.
Если принять Ф(x,t)0 (за счет нулевых краевых условий при линеаризации или с помощью преобразования), то из (2.1) легко получить передаточную функцию ОРП в обычном смысле, используя известную формулу Бореля для изображения по Лапласу интеграла
свертки. Действительно, переходя к изображениям (по переменной t),
получим в указанных условиях из (2.1):
(2.2)
Отсюда и получаем так же как для ОСП, что передаточная функ-
12
ция объекта для любой координаты x запиcывается в виде:
).,(
)(
),(
),( pxp
pU
pxQ
pxW
мтп
)(
),(pUpxQ
(2.3)
Таким образом, передаточную функцию ОРП можно определить
двумя способами: как отношение
переходную функцию.
или непосредственно через
13
2.2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.
).(),(
,0
,0
1
tqtxF
c
CBA
).(
),(),(
tq
x
txQ
b
t
txQ
a
avb
),(
),(),(
tq
x
tx
av
t
tx
a
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ ОРП ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Цель работы
Целью работы является:
1) получение навыков построения решений краевой задачи мате-
матического моделирования ОРП на основе методов передаточной
функции ОРП в форме изображения по Лапласу.
2) изучение практических подходов к решению краевых задач
математического моделирования типовых ОРП первого порядка в
среде MathCAD;
3) получение навыков анализа решений краевых задач математического моделирования типовых ОРП первого порядка для описания
процессов в реальных технических системах на примере процесса нагрева движущегося тела.
Теоретические сведения
Методика получения передаточных и переходных функций для
ОРП первого порядка рассматривается далее для некоторых частных
случаев уравнения (1.4).
Рассмотрим случай, когда:
(2.4)
Получим объект вида:
(2.5)
Этот объект с точностью до коэффициентов совпадает с уравне-
нием ОРП, описывающим процесс непрерывного нагрева движущегося тела.
Если
, то:
(2.6)
14
где
c
a
),( tx
0),(
0t
tx
0),(
0x
tx
t
px,
.
),(),(
k
k
k
k
dx
pxd
x
tx
L
.)(
),(
),( pq
dx
pxd
bpxap
˗ коэффициент определяемый теплофизическими характе-
ристиками нагреваемого металла ( ˗ плотность, с ˗ теплоемкость, ˗
теплопроводность);
создается тепловым потоком q(t), не ме-
няющимся по длине нагревателя.
Найдем передаточную функцию данного объекта по отношению
q(t). Для этого используем преобразование Лапласа по времени t.
Если под Q(x,t) понимать отклонение от некоторого установив-
шегося состояния, соответствующего статическому режиму работы
объекта, то можно принять краевые условия нулевыми, то есть:
- начальное распределение температур;
- температура на входе в печь в любой момент вре-
мени.
Преобразуем (2.6) по Лапласу. При нулевых начальных условиях
производные по времени
преобразуются в произведения р
.
Изображение по Лапласу для производной по пространственной
координате x есть производная по координате от изображения:
(2.7)
В итоге получим:
(2.8)
Если преобразование по Лапласу обыкновенных ДУ для ОСП
приводит к алгебраическим уравнениям относительно изображений,
то в данном случае аналогичное преобразование для уравнения в частных производных приводит к обыкновенным ДУ для изображений
относительно пространственной координаты [1].
Для уравнения (2.6) мы получаем уравнение (2.8) первого порядка относительно переменной x, имеющее общее решение известного
вида:
15
);,0(
)(
),(
0
pdy
b
pq
eepx
x
y
b
ap
x
b
ap
;0),0( p
;
)(
),(
0
dy
av
pq
eepx
x
y
v
p
x
v
p
;1
)(
),(
x
v
p
x
v
p
e
p
v
av
pq
epx
);(
1
),( pq
ap
e
px
x
v
p
.
1
)(
),(
),(
ap
e
pq
px
pxW
x
v
p
.;
00
Ta
v
x
.
1
),(
0
0
pT
e
pxW
p
0
T
0
0
T
0
;
1111
),(
2
0
1
2
0
1
2
0
2
0
1
2
0
11
000
pT
e
L
pT
L
pT
e
pT
L
pT
e
L
p
pxWL
ppp
);()(;
1
1
2
1
tXpXeLte
p
L
pt
Тогда передаточная функция имеет вид:
Обозначим
(2.9)
Постоянная времени
не зависит от x, а
зависит от x.
Таким образом, согласно (2.8), передаточная функция ОРП пер-
вого порядка представляет комбинацию передаточных функций
стандартных динамических звеньев, а именно, интегрирующего звена
с постоянной времени
и звена с запаздыванием
, пропорцио-
нальным значению x.
По передаточной функции легко находится переходная функция
звена:
16
.;
;0;
),(
0
0
0
0
0
0
0
0
t
TT
t
T
t
t
T
t
tx
(2.10)
).(
1
),( pq
ap
e
px
x
v
p
,)()(),(
2
0
1
dftftx
t
;
),(
);()(
12
t
tx
fuqf
.)(
),(
),(
0
t
du
t
tX
tx
.;0
;0;
1
),(
0
0
0
t
t
T
t
tx
)),((),( txtxq
•
).(),(
),(),(
11
ttx
x
tx
va
t
tx
a
•
Реакция объекта управления на произвольное управляющее воздействие при известной переходной функции описывается, как и для
всякого ОРП, интегралом Дюамеля, что непосредственно следует из
выражения:
Откуда по теореме Бореля следует:
где
(2.11)
Согласно (2.10):
(2.12)
Рассмотрим важный частный случай конвективной теплопередачи, когда тепловой поток пропорционален разности температуры печи и температуры тела при заданном x в правой части уравнения (2.6)
[1]:
,
здесь ˗ коэффициент конвективного теплообмена.
Подставляя это выражение в (2.6), получим:
17
(2.13)
Уравнение (2.13) соответствует случаю, когда управляющим воздей-
,
1
1
),(
1
0
pT
ke
pxW
p
v
x
0
;
11
aaT
1
0
T
ek
.;1
;0;1
),(
0
0
1
0
1
te
te
tx
T
T
t
0
tq
*
lx
vl /
ствием является температура печи.
Поступая аналогичным образом, можно получить, так же как и
при управлении по тепловому потоку, соответствующие передаточные и переходные функции объекта, которые принимают следующий
вид:
(2.14)
где
- запаздывание ;
- коэффициент, зависящий от запаздывания и постоянной
времени.
Структура данного объекта аналогична структуре предыдущего,
только здесь вместо интегрирующего звена стоит апериодическое
звено, и перед звеном запаздывания добавляется коэффициент.
Переходная функция имеет вид:
(2.15)
Последовательность выполнения лабораторной работы
Задание №1.
"Холодные" заготовки поступют в печь с температурой
де (х = 0) и нагреваются тепловым потоком
ратуры
по мере продвижения к выходу
до некоторой темпе-
за время
на вхо-
.
В среде MathCAD построить кривую изменения температуры нагреваемой заготовки за время продвижения от начала до конца печи
нагрева, по вариантам (Таблица 2.1), для трех различных скоростей
18
движения заготовки в диапазоне:
с
мм
v 11
с
мм
v 10
2
Ва-
ри-
ант
l , (м)
3,
м
кг
См
Вт
0
,
Скг
Дж
c
p
0
,
2
,
м
кВт
q
С
0*
,
Алюминий
1
1,2
2650
132
900
15
280
470
2
1,3
2680
141
905
13 3 1,4
2690
145
911
11 4 1,5
2700
161
915
10 5 1,6
2720
151
920
9
Сталь
6
1,7
7700
42
480
55
1100
1400
7
1,8
7730
43
500
53 8 1,9
7770
44
510
51
9
2,0
7800
45
520
50
10
2,1
7830
46
530
49
0
k
См
Вт
02
130
lx
vl /
с
мм
v 3
с
мм
v 1,0
*
выражение (2.10) и интеграл свертки (2.1).
до
, используя
Таблица 2.1
Задание №2.
"Холодные" заготовки поступают в печь с температурой
на
входе (х = 0) и нагреваются в печи с постоянной температурой
конвективным теплообменом с коэффициент конвективного тепло-
обмена
со скоростью
по мере продвижения к выходу
(для алюминия) и
за время
(для ста-
ли).
В среде MathCAD построить кривую изменения температуры на-
греваемой заготовки за время продвижения от начала до конца печи
нагрева, для трех различных температур печи
в диапазоне указан-
ном в Таблице 2.1, используя выражение (2.15) и интеграл свертки
(2.1).
19
Оформление результатов работы и выводы
Р и с. 2.1. Изменение температуры в процессе процессе непрерывного
нагрева постоянным тепловым потоком движущегося тела.
2
10
м
кВт
с
мм
v 91
с
мм
v 62
с
мм
v 33
ct,
Ctx0,,
k
1
k
2
k
3
1
v
l
2
v
l
3
v
l
Результаты работы оформить в виде отчета, который должен
включать следующие разделы:
- наименование и цель работы;
- теоретическую часть – расчетные уравнения с пояснением вхо-
дящих в них величин, необходимых для выполнения расчетной части
работы;
- решения в виде графиков, реализованные средствами
MathCAD (см. Пример №1)
- выводы, отражающие анализ влияния параметров процесса на-
грева на динамику изменения температуры в процессе непрерывного
нагрева движущегося тела.
Пример №1. Оформление результатов моделирования ОРП
первого порядка.
На рис. 2.1 приведен пример моделирования изменения темпера-
туры в процессе нагрева в печи алюминиевой заготовки постоянным
тепловым потоком q(t) мощностью
,
.
20
, при:
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]