Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

1. Какие существуют методы решения краевых задач оптимального управления ОРП?

2. В чем заключается базовая задача оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева?

3. Каково математическое представление требований к качеству опти-

мального по быстродействию процесса индукционного нагрева металлических заготовок?

4. В чем заключается разница между «точными» и «приближенными» методами решения задач оптимального управления ОРП?

5. На каких свойствах результирующих конечных состояний ОРП базируется альтернансный метод параметрической оптимизации программного управления в задачах оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева?

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТРАНСПОРТА НЕФТИ ПО МАГИСТРАЛЬНЫМ ТРУБОПРОВОДАМ (МТП)

4.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ТРАНСПОРТА

НЕФТИ ПО МТП.

Системы магистральных трубопроводов (МТП) имеют значительную протяженность и являются одним из дешевых и эффективных способов транспортировки нефти и нефтепродуктов на большие расстояния [5].

Основная задача систем трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов состоит в осуществлении перекачки заданного объема нефти или нефтепродукта от мест добычи (месторождений) или нефтеперерабатывающих заводов (НПЗ) к экспортным терминалам или потребителям. Расстояния, на которые необходимо осуществить перекачку, значительны и составляют сотни и даже тысячи километров.

В процессе транспортировки нефти и нефтепродуктов по трубопроводам происходит снижение напора по трассе ввиду наличия сил трения и местных сопротивлений. Величина потерь возрастает с ростом скорости движения жидкости.

Для обеспечения рационального процесса транспортировки МТП на протяжении эксплуатационного участка до резервуарного парка (РП) или конечного пункта (КП) имеет в своем составе кроме голов-

ной нефтеперекачивающей станции (ГНПС) несколько промежуточных нефтеперекачивающих станций (ПНПС) с установленными на

них насосными агрегатами (НА) для поддержания требуемого давления в трубопроводе, в соответствии с гидравлическим расчетом, а также трубопроводы путевого отбора/подкачки продукта, как показано на рис. 4.1.

ГНПС

КП(РП)

ПНПС 1 ПНПС 2

(РП)

Рис. 4.1. Схема магистрального трубопровода (МТП).

НПС нефтепроводов и нефтепродуктопроводов оборудуются, ма-

      

;,,,, txtxPtxQ





 

txP ,

 

tx,



 

txP ,

 

tx,



гистральными (МНА) и подпорными (ПНА) насосными агрегатами, состоящими, как правило, из центробежного насоса (ЦН) и электропривода (ЭП).

Важным этапом решения задач оптимального управления является выбор математической модели рассматриваемого процесса и набора управляющих воздействий. В рамках указанного подхода формулируется и решается краевая задача математического моделирования процесса трубопроводного транспорта жидких углеводородов как объекта с распределенными параметрами (ОРП).

4.2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ТРАНСПОРТА НЕФТИ ПО МТП

Магистральный трубопровод, ввиду его значительной пространственной протяженности, представляет собой объект с распределенными параметрами (ОРП), описываемый векторной функцией состояния

временные распределения давления и скорости потока перекачиваемого продукта в трубопроводе соответственно. Взаимосвязь между

темой двух пространственно-одномерных нелинейных неоднородных уравнений вида [5, 6]:

где

– пространственно-

может быть представлена в первом приближении сис-

        

   

 



 



 



 



 

















 





 





















;,sin

,,,,

txu

txP

txuxg

txtx

txP

(4.1)

   

dxxdzx sin

 

  

tx,

 

tx,

;













   

xPtxP 

 



tх

 

;,0,0

Lxt 

               

;,,,

;,0,,0

ttLPttL

ttPtt





 

Lx ,0

0t

 

txu

здесь

, где

– высота оси трубопровода над

плоскостью сравнения (уровень моря), g– ускорение свободного падения, торый определяется в зависимости от скорости

– коэффициент гидравлического сопротивления, ко-

по формулам

Стокса, Блазиуса, Альтшуля, c – скорость распространения волн в жидкости, текущей в стальной трубе с толщиной стенки d, определяется по формуле Жуковского [5]:

(4.2)

где Z – модуль объемного сжатия жидкости (для нефти Z ≈ 1500 МПа), E – модуль упругости материала трубы (для стали E ≈ 2∙105 МПа).

Система уравнений (4.1), с начальными условиями вида:

и любыми двумя граничными условиями из набора:

однозначно определяют движение жидкости плотностью ρ по трубопроводу постоянного диаметра D длиной L, в любой точке x,

по направлению движения потока и в любой момент вре-

мени t,

В правые части уравнений системы (4.1) входят функция распределения источников давления по длине трубопровода

(4.3)

(4.4)

и функ-

ция распределения источников жидкости по длине трубопровода

 

txu ,



 

 

,0

Kk ,1

 

s

 

,0



Ss ,1

   

 

1



pkpkp

xxtutxu



     







xxtutxu





 

spk

xxxx



 ;

, которые, как показано в [5], можно рассматривать в качестве

внутренних управляющих сосредоточенных воздействий

ложенных в точках расположения НПС приложенных в точках отбора нефти

, где K - чис-

, и

, при-

ло работающих НПС, а S – общее число точек отбора нефти по длине трубопровода, при этом [5]:

где

- функции Дирака.

(4.5)

4.3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5.

    

 

;,2

txtx







ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРО-

ЦЕССА ТРАНСПОРТА НЕФТИ ПО МТП.

Цели работы

Целью работы является:

1) получение навыков применения метода разделения перемен-

ных (метода Фурье) для решения краевой задачи математического моделирования ОРП гиперболического типа;

2) получение навыков реализации аналитических решений крае-

вых задач математического моделирования ОРП гиперболического типа в среде MathCAD;

3) получение навыков анализа решений краевых задач математического моделирования ОРП гиперболического типа для описания процессов в реальных технических системах, на примере процесса трубопроводного транспорта нефти;

Теоретические сведения

Для решения широкого круга задач моделирования и оптималь-

ного управления ОРП применяются различные, в том числе, численные методы. Однако аналитические методы получения решений для линейных модификаций математических моделей ОРП имеют свои преимущества, в частности для нахождения аналитических представлений оптимальных управлений, получаемых методами, основанными на принципе максимума Понтрягина.

Далее будет представлена методика линеаризации краевой задачи (4.1) и получено ее аналитическое решение методом Фурье (разделения переменных).

Первое уравнение в (4.1) линеаризуем следующим образом [6]:

(4.6)

способы выбора  описаны, в частности, в [5, 6]. Далее будем рас-

 

0, 



txu

t

   

 

;























txu

;1A

;

A

;

сС 

 

txu



 

1





p pk

tdu

txu

0x

Lx 

 

constt 

 

constt 

   













 









tх

 

;,0;0

Lxt 

     

;,,, tхwtхWtх 

 

txW ,

 

txw ,

сматривать задачу при наличии только внутренних источников давления, т.е.

. Дифференцируя в (4.1) первое уравнение по

, второе по xи приравнивая правые части получим:

(4.7)

где

определяется как [5-7]:

(4.8)

В качестве граничных условий выберем пару из (4.4), обусловливающую неизменное значение давлений в начальной и конечной точках системы с координатами

, тогда с учетом второго уравнения систе-

соответственно, при

мы (4.1) получим:

(4.9)

Начальные условия запишем в следующем виде:

(4.10)

характеризующем стационарное состояние гидродинамической системы в начальный момент времени.

Решение краевой задачи будем искать в виде:

(4.11)

где однородных) начальных условиях,

- решение однородной задачи при заданных (в общем не-

- решение неоднородной

задачи при однородных начальных условиях.

Решение задачи. Первый этап - решение однородной задачи. Пе-

рейдем на первом этапе к решению однородной краевой задачи при

 

0, 



txu

     

., tTxXtхW 

               

;:: 02

'''''2

tTxXtTxXtTxXtTxXс 



 

'''''

с 



 

,

 

сdx

xXd

nnn









   

,0,









LdX

nnnn

 

;sincos,



 





 











 





 







 x

CxX

nnn

 

;cossin



 





 















 





 















 

;0010

221













и краевых условиях (4.9)-(4.10).

Будем искать решение задачи в виде:

(4.12)

Тогда подставим (4.12) в (4.7) и разделим переменные, получим:

(4.13)

(4.14)

Далее необходимо найти те значения параметра

, при которых

задача имеет нетривиальное (отличное от нуля) решение, удовлетворяющее краевым условиям. Перейдем к задаче на собственные функ-

ции. Для левой части (4.14) собственные функции

являются

решением задачи Штурма-Лиувилля вида [6, 7]:

(4.15)

с граничными условиями, получаемыми подстановкой (4.11) в (4.10):

с учетом граничных условий (4.16) получим:

Общее решение (4.15) будет иметь вид:

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

 

;0sin







 





 















(4.20)

 

;...2,1,coscos,



 



 









 



 







 nx

Сx

СxX

nnn

nС1

11

   

 

;02

 tT

tdT

tTd

;02



;;,

;4444

222



 



 







 



 







 



 



















 



 

















;0;0;

;,0;

;0;2,0

2,1

NnD

NnDi

 

   

 

    



 



 

















.,0;sincos

;0,0;

;0;

010

NnDtCtCetT

NnDeCeCtT

nCeCtT

nnnn

 

tхW ,

(4.21)

где

– произвольное действительное число, примем

Подставляя (4.21) в (4.14) запишем для правой части:

(4.22)

характеристическое уравнение для (4.22) будет иметь вид:

(4.23)

(4.24)

иметь вид:

дачи запишем общее решение для

(4.25)

Общий вид решения уравнения (4.22) с учетом (4.24), (4.25) будет

(4.26)

Подставляя (4.26) в (4.12) и суммируя по n частные решения за-

в виде:

   

 

    

 















 



 











 



 









430

.cossincos5

cos,

nnnn

tCtCe

eCeCtWtxW

(4.27)

 

;0;

6543010020



nnnn

CCCCCconstCtW

 



tx



 Nn0



840 мкг

см

1065,7





02,001,0 

 

















 



 







 



 











.118,359,1105

;1636,0318,010

;10636,00318,010

;

36,618,3

Подставляя (4.27) в начальные условия (4.10) получим:

(4.28)

(4.29)

Физически решение (4.29) означает, что при отсутствии внутренних управлений (возмущений) и однородных ГУ второго рода, в системе бесконечно долго сохраняется начальное стационарное состояние.

Замечание 4.1. Особенностью полученного решения является учет членов ряда при значения

, возникает в задачах моделирования протяженных тру-

бопроводов. Оценим значение

. Необходимость учета в решении

в зависимости от длины L, [м], для

задачи моделирования магистрального трубопровода диаметром D=1000 мм, транспортирующего нефть плотностью

кинематической вязкостью

и скоростью распро-

, с

странения звука в системе нефть-труба с≈998 м/c. Для рациональных скоростей перекачки значение линеаризующего коэффициента в (4.6) примем

, тогда с учетом (4.25) получим:

(4.30)

Решение задачи. Второй этап - решение неоднородной задачи с

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]