Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
По терминологии, принятой в математической теории приближе-
0
j
l
),(0 l
),(0 l
max
M
.числнечётноеесли,1
;числочётноеесли,
max
оNN
NN
M
5R
1
0
5
l
0
*0
θ)Δ,θ( l
0
4
l
0
2
l
0
3
l
0
1
l
l
0
1
0
5
l
*0
θ)Δ,θ( l
0
4
l
0
2
l
0
3
l
0
1
l
l
a
б
ния функций, точки
, в которых выполняются равенства (3.45), со-
ставляют так называемый чебышевский альтернанс [2-4]. В таком
случае можно сказать, что само правило (3.9) представляет собой
фундаментальное альтернансное свойство результирующего температурного поля оптимального по быстродействию процесса индукционного нагрева. Сказанное объясняет, в частности, почему рассматриваемый метод расчёта оптимальных процессов получил название
“альтернансный”.
Это свойство, тем не менее, ещё не позволяет окончательно уста-
новить форму кривой
без дополнительной информации о
числе её точек экстремума на рассматриваемом отрезке изменения
пространственной координаты (рис. 3.6).
Можно показать, исходя из физических свойств температурных
полей при индукционном нагреве металла, что максимально возможное число М
точек экстремума кривой
max
определяется для
рассматриваемой модели процесса нагрева с равномерным начальным температурным состоянием следующими простыми соотношениями, связывающими
с N [2-4]:
(3.46)
Рис. 3.6. Варианты (а, б) формы кривой результирующего распределения
температуры с различным числом точек экстремума (
61
).
Правило (3.46) в совокупности с альтернансным свойством (3.45)
),(0 l
.
)2(
min
)1(
min
),(0 l
)1(
min
inf
)1(
min
.21;21;1
max
NMNRN
э1
ll
0
1
2
0
2 э
ll
θ)Δ,θ(
0
1
l
1
min
1
min
0
1
l
max
U
*
u
0
1
0
)(
*
u
),(
0
1
l
)1(
min
),(
0
1
l
)1(
min
0
1
Эll
)1,0(2Эll
U
max
уже позволяют установить форму кривой
либо однозначным
образом, либо в виде вполне определённого набора вариантов. Это
обеспечивает в итоге возможность перевода базовой системы соотношений (3.45) в расчётную систему уравнений.
Свойства конечного пространственного распределения темпе-
ратуры и системы уравнений для расчёта параметров оптимально-
го управления для
Рассмотрим задачу определения формы кривой
для раз-
личных значений в (3.41), последовательно убывающих, начиная от
, к
Согласно (3.44)-(3.46) будем иметь в случае
в (3.43).
:
(3.47)
а б
Рис. 3.7. Оптимальное управление
результирующего распределения температуры при максимальной точности нагрева
в классе одноинтервальных управляющих воздейст-
вий
- б и форма кривой
- a
Это приводит к единственному варианту формы кривой
при
вида рис. 3.7 с двумя точками
62
и
предельно допустимого отклонения конечной температуры от тре-
1Э
l
2Э
l
*0
1
),(
l
1
*
inf
)1(
min
;),(
;),0(
)1(
min
*0
2
)1(
min
*0
1
1
Э
l
0
1
)1(
min
2Э
l
*0
),(
1
l
буемой (в обычных условиях достаточно малого уровня тепловых потерь, при котором температура поверхности заведомо не выходит за
допустимые пределы). При этом в точках
ветственно, минимум и максимум разности
ется с правилом знакочередования (3.45) при
и
достигаются, соот-
, что согласу-
.
Этот результат означает, что конечному температурному состоянию оптимального по быстродействию процесса при предельно возможной точности нагрева в классе одноинтервальных управлений отвечает распределение температур с минимально допустимой температурой в центре заготовки и максимальным перегревом в некоторой
её внутренней точке относительно заданной величины
всегда
.
. При этом
Из рис. 3.7 непосредственно следует, что система соотношений
(3.45) превращается в следующую систему двух уравнений [2-4]:
(3.48)
с двумя неизвестными параметрами оптимального процесса – длительностью
единственного интервала управления и минимаксом
. Однако, эта система содержит в качестве дополнительной неизвестной координату
кривой
единственной внутренней точки максимума
. Дополнительным соотношением для её опреде-
ления может служить само условие существования экстремума в этой
точке – равенство нулю температурного градиента. В результате получаем вместо (3.48) систему трёх уравнений:
63
.0
),(
;),(
;),0(
0
12
)1(
min
*0
12
)1(
min
*0
1
l
l
l
Э
Э
(3.49)
0
1
)1(
min
2Э
l
),(
0
1
l
)1(
min
)1(
min
)2(
min
.2
max
M
),,(
0
2
0
1
l
0
j
l
)1(
min
.0
),,(
;),,(
;),,0(
0
2
0
12
*0
2
0
12
*0
2
0
1
l
l
l
Э
Э
с тремя неизвестными
подстановки сюда
задачи быстродействия для
,
и
. Решение этой системы после
для N=1 исчерпывает решение исходной
.
Пусть далее заданное значение удовлетворяет неравенству:
(3.50)
в последовательности неравенств (3.43).
Тогда, опять согласно (3.44)-(3.46), будем иметь:
N=2; R=N=2;
(3.51)
Таким образом, оптимальным для этих значений является двухинтервальное управление, для которого форма кривой температурного состояния
подобна температурному распределению
при одноинтервальном воздействии (рис. 3.8).
В таком случае, единственный вариант по выбору точек
ряет их комбинацию в случае
(рис. 3.8). В результате вместо
повто-
(3.49) мы имеем опять систему трёх уравнений [2-4]:
(3.52)
64
)Δ,θ(
1
0
l
1
min
0
1
l
max
U
*
u
0
1
0
0
2
1
0
1 э
ll
2
0
2 э
ll
)1(
min
а б
)(*u
),(
0
1
l
),,(
0
2
0
1
l
)1(
min
)1(
min
0
1
0
2
2
0
2 Э
ll
),,(
0
2
0
1
l
),(1 l
),,(
21
l
21
и
),,(
0
2
0
1
l
)2(
min
)1(
min
)2(
min
.2
max
M
3,2,1,0jl
j
0
0
1
l
2
0
2 Э
ll
1
0
3
l
0
1
l
0
2
l
)2(
min
)2(
min
Рис. 3.8. Оптимальное управление
рующего распределения температур
венно при точности нагрева
личающихся от
и для меньших значений , мало от-
- б и форма кривой результи-
и
- a соответст-
При заданном значении эту систему следует теперь решать от-
носительно других трех неизвестных – оптимальных длительностей
и
единственной внутренней точки максимума
использовать по сравнению с
двухинтервального управления (N=2) и координаты
. Здесь следует
другие зависимости для
теперь уже от двух параметров
.
Решение системы (3.52) с учётом выражений при подстановке
при N=2 опять содержит решение исходной задачи быст-
родействия для рассматриваемых значений
При
в силу (3.44)-(3.46) должны выполняться равенства:
N=2; R=3;
Согласно эти соотношениям, в число R=3 требуемых точек
, может входить, кроме двух экстремальных точек
, только точка на поверхности тела
наряду с
и
, при переходе от
65
.
(3.53)
,
, которая появляется,
к
.
В результате получаем единственно возможный вариант темпера-
1
)2(
min
*
2
0
2 Э
ll
0
0
1
0
0
2
)2(
min
ε
1
ε
2
1
)2(
min
ε
ε
1
0
1 э
ll
2
0
2 э
ll
0
3
l
*020
1
),,( l
max
U
)(*u
),,(
0
2
0
1
l
)1(
min
)2(
min
)2(
min
турной кривой, показанный на рис. 3.9. При этом соблюдается, как
это видно из рис. 3.9, правило (3.45) знакочередования температурных отклонений при
Полученный результат для
.
означает, что конечному тем-
пературному состоянию оптимального по быстродействию процесса
при предельно возможной точности нагрева в классе двухинтервальных управлений отвечает температурное распределение с одинаковыми минимально допустимыми температурами центра и поверхности заготовки и максимальным перегревом относительно заданной
величины
в некоторой внутренней точке
.
а б
Рис. 3.9. Оптимальное управление
рующего распределения температуры
цессе с двухинтервальным управлением при
(2)
- б и форма кривой результи-
- а в оптимальном про-
(1) и
Форма кривой рис. 3.9 сразу приводит к конкретной системе те-
перь уже четырёх уравнений [2-4]:
66
.0
),,(
;),,1(
;),,(
;),,0(
0
2
0
12
)2(
min
*0
2
0
1
)2(
min
*0
2
0
12
)2(
min
*0
2
0
1
l
l
l
Э
Э
(3.54)
0
2
0
1
,
)2(
min
2Э
l
)1(
min
)2(
min
),(0 l
),(0 l
0
)1(
min
)2(
min
с четырьмя неизвестными
Итак, для всех :
ны формы кривой
и соответствующие расчётные системы
,
и
.
однозначным образом установле-
уравнений. Эти системы могут быть решены относительно всех искомых параметров известными численными методами с требуемой
точностью после подстановки
чаемые в результате оптимальные значения
для заданного числа N. Полу-
и являются решения-
ми исходной задачи быстродействия, сформулированной выше.
Отдельно подчеркнём, что возможность определения в результа-
те решения таких систем минимально достижимых ошибок минимакса
и
, рассматриваемых в качестве неизвестных параметров
оптимального процесса, представляет собой самостоятельный интерес.
Последовательность выполнения работы
Задание №7. Для температурных распределений в конце опти-
мального процесса управления индукционным нагревом (Таблица
3.3), необходимо:
определить количество интервалов знакопостоянства опти-
мальной программы управления процессом индукционного нагрева
вида (3.39), реализующей в результате ее выполнения конечное температурное распределение соответствующего вида;
(3.49), (3.52), (3.54) для определения оптимальных параметров (дли-
составить специальные расчетные системы уравнений вида
67
тельностей интервалов знакопостоянства) программы управления
)(
min
N
inf
inf
4
min
N
,...,
1
0
)(
min
1)(
min
2)(
min
3)(
min
4
l
,l
,l
,l
,l
lll
процессом индукционного нагрева;
Таблица 3.3
Задание №8. В среде MathCAD реализовать полученные в ре-
зультате выполнения задания №7 расчетные системы уравнений, с
помощью которых:
получить численные значения для максимально достижимой
точности нагрева
для нескольких по количеству интервалов зна-
копостоянства программ управления (N от 1 до 4);
получить численные значения для предельно достижимой точ-
ности
приближения результирующего температурного распреде-
ления в процессе индукционного нагрева к равномерному заданному
состоянию (как правило,
совпадает с
).
получить численные значения для параметров вектора
длительностей интервалов знакопостоянства про-
68
граммы оптимального управления;
0
0
2
min0
1
min
решить задачу параметрической оптимизации программы
управления процессом индукционного нагрева для заданной точности
, предварительно задать
тервале
.
, выбрав произвольное значение на ин-
Оформление результатов работы и выводы
Результаты работы оформить в виде отчета, который должен
включать следующие разделы:
- наименование и цель работы;
- теоретическая часть – расчетные уравнения с пояснением вхо-
дящих в них величин, необходимые для выполнения расчетной части
работы;
- решения в виде графиков, реализованные средствами
MathCAD (см. Пример №4)
- численные значения решения задач оптимизации в виде табли-
цы (Таблица 3.4);
- выводы по применению альтернансного метода параметриче-
ской оптимизации к решению задачи оптимального управления процессом периодического индукционного нагрева металлических заготовок.
Пример №4. Оформление результатов моделирования ОРП пара-
управления.
69
а б
Р и с. 3.6. Распределения температуры в процессе индукционного на-
грева цилиндрической заготовки по оптимальной программе.
21
2
min
3674,11
1083,02
2
min
N
1
, [c]
2
, [c]
3
, [c]
4
, [c]
)(
min
N
1
2 3 4
inf
0
,l
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.02
0.02
,l
l
На рис. 3.6 (а) приведен пример распределения температуры по
радиусу цилиндрической заготовки в момент времени
,
для оптимальной программы управления с двумя интервалами, обеспечивающими нагрев с точностью
, при X=0,25 м,
и
, количество членов ряда в (3.38) N=10.
На рисунке 3.6 (б) приведен пример изменения во времени тем-
пературы в трех точка по сечению цилиндрической заготовки (центр,
поверхность, половина радиуса) в процессе индукционного нагрева
для оптимальной программы управления с двумя интервалами, обес-
печивающими нагрев с точностью
.
Таблица 3.4
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]