Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
Р и с. 2.2. Изменение температуры в процессе непрерывного нагрева
движущегося тела при постоянной температуре печ и.
С
0*
1
300
С
0*
2
400
С
0*
3
500
с
мм
v 3
ct,
Ctx0,,
k
1
k
2
v
l
k
3
На рис. 2.2 приведен пример моделирования изменения темпера-
туры в процессе нагрева в печи алюминиевой заготовки с постоянной
температурой печи при:
,
,
и
.
Контрольные вопросы
1. В чем заключаются особенности систем с распределенными параметрами как объектов моделирования и управления?
2. Какие существуют методы решения краевых задач математического
моделирования ОРП?
3. Каковы преимущества и недостатки метода передаточных функций в
форме изображений по Лапласу решения краевых задач математического
моделирования ОРП ?
4. Какие технические объекты могут быть отнесены к классу типовых
ОРП первого порядка?
5. Каково математическое представление внутренних сосредоточенных
управляющих (возмущающих) воздействий?
6. Приведите пример реализации внутренних управляющих (возмущающих) воздействий.
21
2.3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2.
],0[],;0[),,(
),(),(),(
0
2
2
ttRxtxW
x
tx
x
д
x
tx
a
t
tx
ca
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ ОРП ВТОРОГО ПОРЯДКА
Цель работы
Целью работы является:
1) получение навыков применения метода разделения перемен-
ных (метода Фурье) для решения краевой задачи математического
моделирования ОРП, описываемого типовым уравнением второго порядка;
2) изучение практических подходов к решению краевых задач
математического моделирования типовых ОРП второго порядка в
среде MathCAD;
3) получение навыков анализа решений краевых задач математического моделирования типовых ОРП второго порядка для описания
процессов в реальных технических системах на примере процесса нагрева неподвижного тела.
Теоретические сведения
В качестве типового ОРП второго порядка, в данной работе бу-
дем рассматривать объект описываемый уравнением теплопроводности вида:
(2.16)
где
- температуропроводность.
Возможны различные варианты модели ОРП, описываемые этим
уравнением, в зависимости главным образом от двух факторов: вида
краевых условий (второго или третьего рода) и геометрии тела [1].
Тем не менее, эти особенности проявляются только на стадии определения постоянных интегрирования и в общем решении ДУ ОРП
относительно изображения температурного поля по Лапласу.
Рассмотрим частный случай, когда внутренние источники тепла
22
W(x,t) = 0, и Г = 0 (бесконечная пластина) [1].
],0[],;0[,
),(),(
0
2
2
ttRx
x
tx
a
t
tx
.
),(
),(
2
2
dx
pxd
apxp
.
;0
2,1
2
a
p
r
par
.),(
2121
21
x
a
p
x
a
p
xrxr
eDeDeDeDpx
1
D
2
D
1
D
2
D
.
2
;
2
zzzz
ee
zsh
ee
zch
Следовательно:
(2.17)
Преобразуем (2.16) по Лапласу относительно времени, принимая
начальные условия нулевыми:
(2.18)
Получаем ДУ 2-го порядка (3) с постоянными коэффициентами
относительно искомого изображения. Считая р некоторым параметром (коэффициентом), можно рассматривать (2.18) только относительно x.
Составим характеристическое уравнение:
Следовательно, общее решение (3) имеет вид:
(2.19)
Постоянные коэффициенты
и
не зависят от x, но от р, как
от параметра, как правило, зависят.
и
- постоянные интегрирования, которые определяются
граничными условиями задачи. В них должно входить управление по
граничным условиям ( так как W(x, t) = 0 ).
Кроме (2.19), возможно представление температурного поля в
другой полностью эквивалентной форме, с помощью гиперболических функций:
(2.20)
Выразим экспоненты в (2.19) через гиперболические функции
(2.20) и получим следующее выражение:
23
.)()(),(
43
x
a
p
chpDx
a
p
shpDpx
Выражения (2.19) и (2.21) эквивалентны.
],;0[ Rx
);0[ x
.)()(),(
43
x
a
p
chpDx
a
p
shpDpx
.)(
),(
tq
x
tR
.0
),(
;)(
),(
0x
Rx
x
tx
tq
x
tx
.0
),0(
;)(
),(
dx
pd
pq
dx
pRd
3
D
4
D
(2.21)
т.к. в (2.17)
(в отличии от ситуации
), рассматри-
ваемый объект является ОРП второго порядка конечной протяженности, уравнение (2.17) описывает процесс нагрева пластины толщиной
R.
Общее решение уравнения (2.17) в изображениях нужно принять
либо в виде (2.19), либо в виде (2.21).
Для простоты последующих вычислений, теперь рассмотрим об-
щее решение вида (2.21):
(2.22)
Опять будем рассматривать два случая ГУ-2 и ГУ-3.
При ГУ-2 (УВ - тепловой поток на поверхности) [1]:
(2.23)
Здесь q(t) взят со знаком +, так как за 0 принята середина пласти-
ны, а ранее за 0 принималась поверхность пластины.
(4)
Переходя к изображениям, запишем:
(2.25)
Здесь q(р) - управляющее воздействие.
Определим постоянные интегрирования
и
из условий
(2.25). Для этого продифференцируем по x решение (2.22):
24
.)()(),(
43
x
a
p
sh
a
p
pDx
a
p
ch
a
p
pDpx
(2.26)
.0)(0)(
),0(
33
pD
a
p
pD
dx
pd
3
D
.
)(
)(
)(
)(
),(
44
R
a
p
sh
a
p
pq
pD
pq
R
a
p
sh
a
p
pD
dx
pRd
4
D
R
a
p
sh
a
p
pqx
a
p
ch
px)(),(
R
a
p
sh
a
p
x
a
p
–h
pq
px
pxW
II
)(
),(
),(
.),(
22
2
p
a
R
shp
a
p
a
x
ch
pxW
II
.;;
0
222
T
a
T
a
R
T
a
x
Rx
.),(
0
pTshpT
pTch
pxW
R
x
II
.)),()(()( tRttq
•
.)),()(()( pRppq
•
При x=0:
Таким образом, в решении (2.22) не будет первой составляющей.
При x=R и
Подставим
=0, получим:
в (2.24) и получим :
. (2.27)
Отсюда обычным способом получаем выражение:
(2.28)
Обозначим:
(2.29)
Прейдем теперь к случаю ГУ-3, где как и прежде следует при-
нять, что тепловой поток на поверхности тела :
(2.30)
В операторной форме:
(2.31)
Теперь можно, подставляя это выражение в (2.25) и используя
25
прежнюю схему вывода, найти передаточную функцию объекта отно-
.
),(1
),(
)(
),(
),(
pxW
pxW
p
px
pxW
II
II
•
III
),( pxW
II
.1:),(
000
pTshpTpTch
pTch
pTshpT
pTch
pTshpT
pTch
pxW
RR
x
R
x
R
x
III
,),(
2
0
pTsh
pT
pTch
pTch
pxW
RR
x
III
,
1
2
0
T
T
.),(
1
pTshpTpTch
pTch
pxW
RR
x
III
сительно нового УВ.
Можно найти передаточную функцию из структурной схемы, ис-
пользуя уже полученную передаточную функцию.
Запишем:
(2.32)
Подставим в (2.32)
из (2.29) и получим:
Разделим числитель и знаменатель на и получим:
Но
(2.33)
Согласно (2.29) и (2.33), рассматриваемый объект является ко-
нечнонепредставимым, и его нельзя описать конечным набором элементарных звеньев.
Более того, если для ОРП бесконечной протяженности существу-
ет точное (замкнутое) выражение для оригиналов, то есть для переходных функций, то для ОРП конечной протяженности получить
точные выражения переходных функций из (2.29) и (2.33) уже нельзя.
Переходные функции ОРП второго порядка конечной протяженно-
сти
Как уже было сказано, точный оригинал переходной функции по
(2.29) и (2.33) получить невозможно. Поэтому здесь используется
следующий прием: из известной теории операционного исчисления
следует, что если некоторое изображение определяется отношением
двух полиномов комплексной переменной, где степень полинома
26
числителя меньше степени полинома знаменателя, причем в знамена-
;
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
©
tr
n
s
s
s
s
e
rK
rQ
ty
pK
pQ
py
s
r
1
2
1
2
23
2
2
2
cos
)1(23
),(
n
R
at
n
n
n
II
n
e
R
x
R
xR
R
atR
tx
n
.,1, nn
n
2
R
at
t
теле нет нулевых корней, то оригинал представляется суммой:
(2.34)
где
- корни полинома К(р)=0.
Эта теорема справедлива и в том случае, когда в числителе и
знаменателе фигурируют обобщенные полиномы, то есть полиномы
бесконечной степени, которые получаются после разложения в ряд
Тейлора иррациональных выражений в передаточных функциях (9) и
(2.33).
Следовательно, таким путем можно, используя теорему разложения, получить в итоге переходную функцию объекта в виде выражения, содержащего бесконечные сходящиеся ряды экспонент.
Если использовать указанный путь (см. Лыков "Теория теплопроводности", Карташов "Аналитические методы теплопроводности"), то
можно получить в такой форме соответствующие переходные функции ОРП.
Рассмотрим случай ГУ-2.
Подобным путем можно получить следующие функции [1]:
, (2.35)
где
- собственные числа;
Заменим
на - число Фурье.
.
называется критерием Фурье или числом Фурье.
Заметим, что при
, (то есть
ряд (2.35) стремится к 0,
тогда остающиеся члены дают простейшие зависимости от t и x. Следовательно, при достаточно больших t переходная функция в любой
точке меняется по закону прямой линии (то есть температура меняется в каждой точке с равной постоянной скоростью).
Данный объект является объектом без самовыравнивания, а на-
27
личие одинаковых скоростей изменения говорит о присутствии в
3.025.0
3.0
3.0
,cos
cossin
sin2
1),(
2
2
R
at
n
nnn
n
III
n
e
R
x
tx
n
,0sincos
nnn
R
...
321
.; Bi
R
n
n
n
1
3
t
структуре объекта обычного И-звена.
Расчеты показывают, что в большинстве случаев с приемлемой в
инженерных расчетах точностью можно пренебречь бесконечной
суммой в выражении (2.35) при значении
.
Режим в котором можно считать, что температура в любой точке
изменяется с равной скоростью, получил название регулярной стадии
процесса, которая имеет место при
Стадия процесса (при
), когда нельзя пренебречь суммой в
.
(2.35), называется нерегулярной. В этой стадии скорости изменения
температуры резко отличаются для различных координат x.
В регулярной стадии согласно (2.35) имеет место простая параболическая зависимость температуры от координат в любой момент
времени.
Аналогичный подход к определению ОРП второго порядка конечной протяженности приводит к следующим выражениям при ГУ-3
[1]:
(2.36)
где
- собственные числа, являющиеся корнями трансцендентного
уравнения:
(2.37)
где
.
Уравнение (2.37) имеет бесконечное число корней,
личается от , начиная с
собственные числа близки к .
резко от-
Если Bi- большая величина, то тело нельзя считать теплотехнически тонким. Из выражения (2.36) следует главная характеристика
ОРП: при
экспонента стремится к 0, ряд стремится к 0, следо-
28
вательно:
,1),(lim
tx
III
t
0
tq
x
k
x
k
R
k
0
*
См
Вт
02
200
x
k
x
k
т.е. объект без самовыравнивания.
При ГУ-3 так же можно ввести понятие регулярного режима.
При большом t обычно можно пренебречь всеми экспонентами
кроме одной и, тогда температурное поле описывается одной экспонентой для всех x. Стадия работы ОРП, где указанная ситуация имеет
место, называется регулярной.
Последовательность выполнения лабораторной работы
Задание №3.
"Холодные" заготовки загружены в печь, имея начальную температуру
вым потоком
=0 в начале процесса нагрева (t = 0) и нагреваются тепло-
до некоторой температуры
за время .
В среде MathCAD построить кривую изменения температуры нагреваемой заготовки за время нагрева и распределение температу-
ры по радиусу
по вариантам (Таблица 2.1), подобрав
таким
образом, чтобы температура на поверхности заготовки в конце процесса нагрева
попадала в диапазон температур приведенный в
столбце 7 Таблицы 2.1. Толщину заготовки L=2R выбрать в диапазоне от 250 до 500 мм.
Задание №4.
"Холодные" заготовки загружены в печь, имея начальную температуру
постоянной температурой
фициент конвективного теплообмена
=0 в начале процесса нагрева (t = 0) и нагреваются в печи с
конвективным теплообменом с коэф-
до некоторой
температуры
за время .
В среде MathCAD построить кривую изменения температуры нагреваемой заготовки за время нагрева и распределение температу-
ры по радиусу
по вариантам (Таблица 2.1), подобрав
таким
образом, чтобы температура на поверхности заготовки в конце про-
29
цесса нагрева
R
k
*
Р и с. 2.3. Изменение температуры в процессе нагрева пластины ко-
нечной толщины при постоянном тепловом потоке.
ct,
Ctx0,,
*
R 5.0
0 R
R
совпадала с температурой печи
. Толщину за-
готовки L=2R выбрать в диапазоне от 250 до 500 мм.
Оформление результатов работы и выводы
Результаты работы оформить в виде отчета, который должен
включать следующие разделы:
- наименование и цель работы;
- теоретическая часть – расчетные уравнения с пояснением вхо-
дящих в них величин, необходимые для выполнения расчетной части
работы;
- решения в виде графиков, реализованные средствами
MathCAD (см. Пример №2)
- выводы, отражающие анализ влияния параметров процесса на-
грева на динамику изменения температуры в процессе нагрева бесконечной пластины ограниченной толщины и влияние количества членов ряда N в (2.35) и (2.36) на конечное решение.
Пример №2. Оформление результатов моделирования ОРП
второго порядка.
На рис. 2.3 приведен пример моделирования изменения температуры в процессе нагрева в печи стальной заготовки толщиной
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]