Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
а б
Р и с. 3.5. Распределения температуры в процессе индукционного
нагрева цилиндрической заготовки.
,l
,l
l
Оформление результатов лабораторной работы
Результаты работы оформить в виде отчета, который должен
включать следующие разделы:
- наименование и цель работы;
- теоретическая часть – расчетные уравнения с пояснением вхо-
дящих в них величин, необходимые для выполнения расчетной части
работы;
- решения в виде графиков, реализованные средствами
MathCAD (см. Пример №3)
- выводы по применению аналитических методов математическо-
го моделирования процессов индукционного нагрева металлических
заготовок и влиянию на процесс нагрева параметров программного
управления.
Пример №3. Оформление результатов моделирования ОРП параболического типа, при различных программах управления.
На рис. 3.5 (а) приведен пример распределения температуры по
51
радиусу цилиндрической заготовки в момент времени
21
1U
4,11
05,02
1U
,
для программы управления вида
, при X=0,25 м,
и
, количество членов ряда в (3.38) N=10.
На рис. 3.5 (б) приведен пример изменения во времени температуры в трех точка по сечению цилиндрической заготовки (центр, поверхность, половина радиуса) в процессе индукционного нагрева для
программы управления вида
Контрольные вопросы
1. Опишите электромагнитные и тепловые явления в процессе индукционного нагрева металла?
2. Какими уравнениями описываются электромагнитные и тепловые явления в процессе индукционного нагрева металла?
3. Поведение каких технических систем могут описыватьcя уравнениями
параболического типа?
.
4. Каково математическое представление внутренних распределенных
управляющих (возмущающих) воздействий для ОРП параболического типа?
5. Приведите пример граничных условий II и III рода?
4. Какая базовая математическая модель описывает процесс индукционно-
го нагрева пластины?
6. Приведите пример реализации внешних (граничных) управляющих
(возмущающих) воздействий для ОРП параболического типа?
52
3.4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4.
ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ ИНДУКЦИОННОГО НА-
ГРЕВА МЕТАЛЛА
Цели работы
Основными целями работы являются:
1) получение навыков использования методов теории оптималь-
ного управления ОРП;
2) получение навыков использования точного («альтернансного»)
метода оптимизации, для отыскания параметров оптимального
управления ОРП параболического типа;
3) получение навыков реализации расчетных систем точного
(«альтернансного») метода оптимизации, для отыскания параметров
оптимального управления ОРП параболического типа в среде
MathCAD;
4) получение навыков анализа решений краевых задач оптималь-
ного управления ОРП параболического типа для описания процессов
в реальных технических системах, на примере процесса индукционного нагрева металла;
Теоретические сведения
В работе на базе альтернансного метода параметрической оптимизации изучается задача оптимального управления периодическими
процессами индукционного нагрева металла перед обработкой давлением, предусматривающая завершение полного цикла нагрева в одном индукторе, в условиях оценки конечных кондиций температур-
ного поля по точности равномерного приближения к заданному
53
распределению температур.
)()(
*
uu
*
.
00
constl
max
Uu
0u
1N
N21
...,,,
N21
...,,,
Базовая задача оптимального по быстродействию управления про-
цессом индукционного нагрева
Требуется найти такой закон
изменения мощности в
процессе нагрева, который обеспечивает за минимально возможное
время нагрев заготовки до заданной температуры
с заданной точ-
ностью , согласно (3.23), в условиях моделирования температурного
поля уравнениями (3.18)-(3.20) и выполнения ограничения (3.22). Для
простоты будем далее считать начальное температурное состояние
равномерным, принимая
Подобная задача соответствует простейшей интерпретации одной
из центральных проблем организации режимов индукционного нагрева металлических полуфабрикатов перед обработкой давлением,
обеспечивающих максимальную производительность ИНУ при заданных температурных кондициях нагреваемых изделий [2, 3].
Используя методы теории оптимального управления системами с
распределенными параметрами, в частности, принципа максимума
Понтрягина, можно математически строго доказать, что в рамках рассматриваемых моделей оптимальный по быстродействию процесс
индукционного нагрева действительно состоит из чередующихся интервалов нагрева с максимальной мощностью
щего выравнивания температур при
, число
и последую-
которых одно-
значно определяется заданной точностью нагрева и возрастает с
уменьшением , а оптимальное управление заведомо задаётся с точностью до этого числа N и длительностей
указанных
интервалов (рис. 3.4). Конкретное значение числа N и величины
изначально неизвестны и должны быть найдены в про-
цессе последующего расчёта. Тем самым задача оптимального по быстродействию управления параметризуется, т.е. сводится к поиску
54
параметров
Ni
i
...,,2,1,
)(*u
....,,2,1;;)1(1
2
)(
1
1
max
*
Nj
U
u
jj
j
j
j
iij1
0
0
max
*
)( Uu
0)(*u
N
0
]1,0[l
Ni
i
...,,2,1,
),(0 l
),( l
Ni
i
,1),(
*
u
max
U
1
2
3
4
N
Δ
0
N
3
2
1
0
, однозначно характеризующих искомое
управление
Здесь
, которое можно записать следующим образом [2-4]:
- момент окончания j-го интервала (j-ый момент пере-
ключения управления); очевидно, что
. Согласно (3.39), на любом нечётном интервале (т.е. при не-
чётном j)
, а на чётных интервалах
вии с рис. 3.4.
(3.39)
, и принимается, что
в соответст-
Рис. 3.4. Общий вид оптимального по быстродействию управления перио-
дическим процессом индукционного нагрева
При управляющем воздействии вида (3.39) температурное поле в
конце процесса нагрева при
в любой точке
заданной начальной температуре и известных тепловых потерях зависит только от величин
ется зависимостью
от переменных l и , где
55
, т.е.
в (3.34) описыва-
при
,
есть совокупность всех
i
)(u
сonstl
a
00)(
a
.,)1(),(),(
1
1
max0
0
N
m
N
mi
i
m
lUll
Nmi
i
lU ,
max
N
mi
i
max
)( Uu
0
0
;),(max)(
*
]1,0[
lФl
),( l
Ni
i
,1,
i
.min)(
1
N
i
i
I
( – вектор длительностей всех интерва-
лов постоянства управления вида рис. 3.4). Эта зависимость может быть получена в явном виде как решение уравнения теплопроводности (3.18) с краевыми условиями (3.19) – (3.20) после подстановки
в форме (3.39).
При равномерном начальном распределении температур
, совпадающим с постоянной температурой ок-
ружающей среды
, такое решение принимает следующий вид [2-4]:
(3.40)
Здесь
– температура в точке l в момент времени
при постоянной максимальной мощности нагрева, т.е. при
управлении
и
.
Таким образом, условие (3.23) достижения заданных конечных
температурных кондиций записывается в виде [2-4]:
(3.41)
где
определяется по (3.40).
Дальнейшая задача сводится к определению таких длительностей
, чередующихся интервалов нагрева и выравнивания тем-
ператур, которые обеспечивают выполнение условия (3.41) за минимально возможное время, очевидно, равное сумме всех
. Тогда в
роли критерия оптимальности выступает эта сумма:
(3.42)
В итоге, проблема с формальной точки зрения сводится к задаче
математического программирования (МП) на минимум целевой
56
функции (3.42) N переменных
i
i
]1,0[l
max
U
*
3
*
4
*
1
*
2
*
Δ
N
1
y
2
y
3
y
0
yyN
0
*
u
y
с заданным ограничением на мно-
жество допустимых значений
в форме неравенства (3.41). Усло-
вие (3.41) означает, по существу, наличие бесконечного числа ограничений вида для каждого из значений
, в чём и состоит прин-
ципиальное отличие задачи (3.41), (3.42 ) от стандартных задач МП, в
которых учитывается только конечное число таких условий.
В процессе решения задачи (3.41), (3.42) должно быть найдено в
зависимости от заданной величины в (3.23) априори неизвестное
число N искомых переменных, что дополнительно усложняет эту задачу по сравнению со стандартной.
Рис. 3.5. Оптимальное распределение мощности нагрева по длине нагре-
вателя непрерывного действия
В следующем разделе приводится описание альтернансного метода решения подобных задач, который отличается рядом преимуществ перед известными численными методами.
Альтернансный метод расчета оптимальных процессов индукцион-
ного нагрева металла
Универсальные свойства конечных температурных состояний оп-
тимальных по быстродействию процессов индукционного нагрева.
57
Согласно результатам, изложенным выше, оптимальный по бы-
)(
min
N
)(
min
N
.0......
inf
)(
min
)1(
min
)(
min
)2(
min
)1(
min
*
NNN
*)(
min
,1, Nkk
inf
0
inf
0
inf
)(
min
*
N
*
N
*
N
стродействию процесс периодического индукционного нагрева с
управлением по мощности внутреннего тепловыделения сводится для
базовой модели объекта, согласно (3.39), к совокупности N чередующихся интервалов нагрева с максимально допустимой интенсивностью и последующего выравнивания температур (рис. 3.5). При
этом число N таких интервалов заранее неизвестно и должно быть
найдено вместе с их длительностями в зависимости от требуемой
точности приближения к заданной конечной температуре, в соот-
ветствии с соотношением (3.41). Обозначим через
минимальное
из возможных значений , достижимых в классе таких управляющих
воздействий (т.е.
- максимальная точность нагрева (минимакс) в
классе этих управлений).
Детальный анализ показывает [2-4], что имеет место следующая
система неравенств:
(3.43)
Здесь
щих воздействий с k интервалами постоянства; а
- значения минимаксов в классе управляю-
- предельно дос-
тижимая точность нагрева в классе кусочно-постоянных управлений
вида (3.39) с любым числом интервалов постоянства (точная нижняя
грань достижимых значений в (3.41). Очевидно, что
, если
точное “попадание” в требуемое конечное температурное состояние,
соответствующее нулевой погрешности
, оказывается невозможным. Именно такое положение складывается в типичных задачах индукционного нагрева металла, для которых процесс нагрева оказывается неуправляемым относительно диктуемых технологическими инструкциями распределений температуры. При этом
равной минимаксу
управлений, где число
, достижимому в классе
заранее неизвестно.
58
становится
-интервальных
Можно доказать [2-4], что для рассматриваемых одномерных мо-
)(*u
;:всехдля
)1(
min
)(
min
SSSN
)2(
min
)2(
min
)1(
min
)1(
min
)2(
min
)1(
min
)1(
min
)(
min
N
00
2
0
1
...,,,
N
)...,,,(
00
2
0
1
0
N
0
),(0 l
делей процесса нагрева вида (3.18)-(3.20) число N интервалов постоянства
однозначным образом связывается с заданным значени-
ем следующим правилом:
(3.44)
устанавливающим N по месту в последовательности неравенств
(3.43).
Например, оптимальное управление имеет N=2 интервала посто-
янства тогда и только тогда, когда заданная точность нагрева либо
совпадает с предельно достижимой
управлении, либо лежит в пределах между
при двухинтервальном
и
:
.
Если же требуемое значение принимается равным предельной
точности
интервальных) управлений, т.е. если
, достижимой в классе постоянных по величине (одно-
, то по тому же правилу
(3.44) здесь N=1.
Заметим так же, что величины минимаксов в последовательности
неравенств (3.43) априори неизвестны, и следовательно, заранее установить выполнимость условий (3.44) для заданной величины
нельзя, так что величины
для различных значений N следует от-
нести к неизвестным параметрам оптимального процесса.
Оптимальное управление, являющееся решением рассматривае-
мой задачи быстродействия, отличается от всех других N-
интервальных управлений вполне определёнными длительностями
интервалов постоянства, совокупность которых
и является решением задачи математического
программирования (3.41), (3.42).
Оптимальному значению
вектора отвечает, в свою очередь,
пространственное распределение температур
в конце опти-
59
мального процесса, которое должно удовлетворять ограничению
),( l
0
),(0 l
1,0
*00
),( il
0
j
l
0
j
l
1...0
00
2
0
1
R
lll
),(0 l
.если;,1
;если;
;1...0
;1;...,,,;...,,2,1;1),(
)(
min
)1(
min
)(
min
00
2
0
1
00
2
0
1
0*00
N
NN
R
R
j
j
N
N
Rlll
Rjl
j
1
1,0
0
j
l
(3.42).
Оказывается, что это температурное состояние отличается от
всех других конечных состояний
при
рядом замеча-
тельных свойств, на которых и базируется альтернансный метод решения задачи быстродействия.
Основное свойство результирующего температурного распреде-
ления
ёму нагреваемой заготовки (т.е. на отрезке
состоит как раз в том, что число таких точек по объ-
l в рамках рас-
сматриваемых моделей процесса), в которых достигаются именно
предельные допустимые абсолютные отклонения конечной температуры от требуемой, равные , всегда оказывается не меньшим
числа искомых параметров оптимального процесса [2-4].
Математический анализ позволяет установить, что максимально
допустимые отклонения
конечной температуры от тре-
буемой в (3.41) достигаются с разными знаками для каждой пары
подряд расположенных точек
знакочередующимися в точках
, т.е. эти отклонения оказываются
, где
.
С учётом этого утверждения свойство результирующего темпера-
турного распределения
можно записать следующим образом:
(3.45)
Здесь множитель
как раз и обеспечивает знакочередование
отклонений температуры в последовательно расположенных на отрезке
точках с координатами
. Коэффициент , равный +1
или –1, учитывает два возможных варианта по знаку этих отклонений
в каждой из таких точек.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]