Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие

родной задачи (4.36), (4.51), и решение неоднородной задачи (4.51) с

 



 





 





pk

th

u

t

max

min

        

.0



dtGUtGUtT

n

t

pk

nn

pk

nn

 

   















;;

,

22

11

ttya

tG

n

 

ty

2,1

0t

 





 







;1;0;sin

652

651

nnn

t

n

nnn

t

n

CCtety

 



2,1

a

               









;1

;0

'

11

'

22

1122

nnnn

yaya

 

 

 









.

1

;0

2

1

n

a

правой частью в виде обобщенной функции

будет иметь вид свертки:

(4.56)

Построим теперь функцию Грина:

 решение однородного уравнения для (4.52) имеет вид (4.26),

рассмотрим для начала решение задачи при N>N* будем искать решение в виде [1, 7]:

(4.57)

где

решение однородного уравнения для (4.52) слева и справа

от

соответственно, т.е. удовлетворяющее начальным услови-

ям (4.53), тогда:

 коэффициенты

(4.54):

(4.58)

найдем, решив систему уравнений вида

(4.59)

(4.60)

Тогда окончательно получим:

91

     

 

 

 

















.0,sin

1

;0,0

0,,

tte

t

tGtGtG

n

t

n

nnn

(4.61)

0n



 Nn0

 

 

 















;0;

2

1

;0,0

2

0

t

e

t

tG

t

 

 

 













.0;

1

;0,0

ttshe

t

tG

n

t

n

    

   

     

;1

1

|||

||

0

max

min

max

min

max

min

0

max

min

max

min

0

max

min



 





 







 





 









 





 







 





 























 





 



















pk

tFtF

u

tF

u

U

tF

u

tF

u

U

dtG

u

dtG

u

U

tGUtT

nn

pk

t

n

pk

n

t

n

pk

n

pk

n

t

n

pk

n

pk

n

pk

nn

 

  

 

  













 



 











 



 































.;

cossin

;0;

4

2

Nn

tte

Nn

tchtshe

n

e

tF

nn

nnn

t

nn

nnn

t

n

Аналогично для случаев

Тогда:

и

получим:

(4.62)

(4.63)

где:

92

(4.64)

(4.65)

С учетом (4.64), (4.65) решение для (4.36), (4.51) примет вид:

 

;0;

4

2

4

44

21

1

2

max

min

2

max

min

2max

min

00





 





 





 











 





 











 





 





 







 



 











 





 









n

e

u

e

u

t

u

UtT

pk

t

pk

t

pk

 

    

 

  

;

1

:0

2

max

min

2

max

min







 



 





















 



 





























 



 









 





 













nn

pknnpkn

t

nn

nnn

t

pk

n

pk

nn

tchtshe

u

UtT

Nn

pk

 

  

 

  

;

cossin

1

:

2

max

min

2

max

min







 



 









 



 





























 



 









 





 



















nn

pknnpkn

t

nn

nnn

t

pk

n

pk

nn

tte

u

UtT

Nn

pk

0

min



pk

u

(4.67)

(4.66)

93

Подставляя (4.66), (4.67), (4.68) в (4.12) и, суммируя все частные

решения по n, получим для характерного случая

(4.68)

:

 

  

 

  

;

cossin

1

cos

1

cos

4

2

4

21

,

2

1

2

1

2

0













 



 





















 



 







 



 























 



 





















 



 







 



 













 





 





 





 





































nn

pknnpkn

t

n

Nn

pk

n

nn

pknnpkn

t

n

N

n

pk

n

pk

t

pk

tte

x

L

n

U

tchtshe

x

L

n

U

e

t

Utxw

pk

с учетом (4.28) получим:

   

.,,

0

tхwtх 

 

txw ,

 

4

2p

t 

2p

x

2p

x

скПаu

p

10

max

2



(4.69)

(4.70)

Последовательность выполнения лабораторной работы

Задание №11. В среде MathCAD реализовать аналитическое ре-

шение (4.69), описывающее распределение скорости потока пространственной координате x нефтепровода общей протяженно-

стью L и диаметром D в произвольный момент времени на интервале

, с нанесением возмущений в точке

(Таблица 4.1), для параметров задачи задания №1.

В качестве программы изменения во времени возмущений в точ-

ке

, принять зависимость, представленную на рис. 4.3, при

.

(НПС-2) по вариантам

по

94

Рис. 4.3. Программа работы НПС-2.

95

В таком случае, при подстановке заданного возмущения в точке

2p

x

 

  

 

   

 

  

 

   

 

 

.,1,1,1,1

;

cossin

cos

2

4

,

4

1

2

4

1

11

1

2

4

1

11

1

4

1

4

1

2

1

0

1

p

nn

j

p

nn

j

p

n

t

j

Nn

p

n

nn

j

p

nn

j

p

n

t

j

N

n

p

n

j

p

j

t

p

tJ

tteJsign

x

L

n

U

tchtsheJsign

x

L

n

U

JsigneJsigne

U

tx

j

p

j

p

j

p















 



 





 



 







 



 























 



 





 



 







 



 













 





 





 



 









































       

1

2

1

3

1

4

1 pppp



 

.0

4

1





j

j

pj

Jsign



 

txw ,

   

3

2

2 pp

t 

2p

x

согласно программе, приведенной на рис. 4.3. в (4.69) и (4.70) по-

лучим распределение скорости потока по длине нефтепровода в произвольный момент времени, следующего вида:

(4.71)

Здесь стоит учесть, что при

Задание №12. В среде MathCAD реализовать аналитическое ре-

(4.72)

:

шение (4.69), описывающее распределение скорости потока пространственной координате x нефтепровода общей протяженно-

стью L и диаметром D в произвольный момент времени на интервале

, с нанесением возмущений в точке

96

(НПС-2) по вари-

по

антам (Таблица 4.1), для параметров задачи задания №11.

Р и с. 4.4. Распределение скорости потока по длине трубопро-

вода в различные моменты времени.

c90t 

c65t 

c40t 

0t

L2,0x2p

c10t 

 

 

с

м

,t,x



 

км,L

100

200

300

400

25.1

00.1

75.0

50.1

75.1

 

км,L

L2,0x2p

c750t 

c250t 

c150t 

с2000t 

 

 

с

м

,t,x



100

200

300

400

25.1

00.1

75.0

50.1

75.1

Оформление результатов лабораторной работы

Результаты работы оформить в виде отчета, который должен

включать следующие разделы:

- наименование и цель работы;

- теоретическая часть – расчетные уравнения с пояснением вхо-

дящих в них величин, необходимые для выполнения расчетной части работы;

- решения в виде графиков, реализованные средствами MathCAD (см. Пример №2)

- выводы по применению метода функций Грина для решения

краевой задачи математического моделирования объектов с распределенными параметрами.

Пример №6. Оформление результатов моделирования ОРП гиперболического типа, при наличии разрывных возмущений.

На рис. 4.4 приведен пример расчета распределения скорости по-

тока нефти в трубопроводе протяженностью L=450 км и диаметром

D=1200 мм, при включении насосного агрегата НПС-2, расположен-

97

ной в точке трубопровода с координатой

Lx

p

2,0

2



   

3

2

2 pp

t 

с

Па

u

p

5max

2

102

с10

. Программа пус-

ка представлена на рисунке 1, при ния на выходе НПС-2

сосного агрегата

. Для расчетов учитывались первые сто чле-

, длительность запуска на-

. Скорость роста давле-

нов ряда в (4.69), при N*=2.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается различие между «гладкими» и «разрывными» функциями при описании управляющих (возмущающих) воздействий на ОРП гиперболического типа?

2. Приведите пример реализации внутренних управляющих (возмущающих) воздействий на ОРП гиперболического типа, описываемых «гладкими» и «разрывными» функциями?

3. Каково математическое представление внутренних сосредоточенных управляющих (возмущающих) воздействий на ОРП гиперболического типа, описываемых «гладкими» и «разрывными» функциями?

3. Каковы преимущества и недостатки метода функций Грина решения краевых задач математического моделирования ОРП?

4. Какие основные функции состояния описывают процесс трубопроводного транспорта нефти?

5. Как влияет протяженность L трубопровода, описываемого ОРП гиперболического типа на вид аналитического решения?

6. Каковы преимущества и недостатки пакета MathCad для реализации аналитических решений краевых задач математического моделирования ОРП гиперболического типа?

98

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. – М.: Высш. шк., 2003. – 300 с.

2. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. – М.: Металлургия, 1993. – 279 с.

3. Рапопорт Э. Я., Плешивцева Ю. Э. Оптимальное управление температурными режимами индукционного нагрева. – М.: Наука, 2012. – 309 с.

4. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. – М.: Наука. 2000 – 336 с.

5. Афиногентов А.А., Плешивцева Ю.Э., Снопков А.С. Математическое моделирование управляемых гидродинамических процессов трубопроводного транспорта жидких углеводородов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Cер. Технические науки. – Самара: СамГТУ, 2010. – Вып. 7(28). – с. 137-144.

6. Афиногентов А.А., Тычинина Ю.А. Решение краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта нефти методом Фурье // Вестник Самарского государственного технического унта. Cер. Технические науки. – Самара: СамГТУ, 2013. – Вып. 2(38). – С.

188-196.

7. Афиногентов А.А., Тычинина Ю.А., Попов А.В. Решение краевой за-

дачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта нефти методом функций Грина // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Cер. Технические науки. – Самара: СамГТУ,

2014. – Вып. 2(42). – с. 164-173.

99

Учебное пособие

АФИНОГЕНТОВ Александр Александрович

ПЛЕШИВЦЕВА Юлия Эдгаровна

Моделирование и оптимальное управление объектами с

распределенными параметрами

Редактор Н.В. Беганова

Компьютерная верстка И.О. Миняева

Выпускающий редактор Ю.А. Петропольская

Подписано в печать 24.03.15.

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.

Усл. п. л. 6,04. Уч.-изд. л. 6, 01.

Тираж 50 экз. Рег. № 177/17.

____________________________________________________________

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный технический университет»

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус

Отпечатано в типографии

Самарского государственного технического университета

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8

100