Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
Подставляя значения J и D (3.6) в уравнение вектора напряжен-
.
0
ЕЕHrot
D
. ЕHrot
;
1
0
H
Hrotrot
.
1
0
Е
Еrotrot
Н
;,,
1
0
2
xHjxН
.,
1
,
,
2
xF
c
xta
xt
;
2
1
,
2
m
ExF
;
1xH
E
ности магнитного поля (3.4), получим:
(3.7)
В металлах ток смещения
мал по сравнению с током про-
водимости, и им можно пренебречь:
(3.8)
Учитывая (3.8) и выражение для магнитной индукции (3.6), уравнение вектора напряженности электрического поля (3.1) можно представить в следующем виде:
(3.9)
или
(3.10)
Получим одномерное линейное уравнение Гельмгольца для комплексной напряженности
магнитного поля (3.11) и линейное од-
номерное неоднородное уравнение теплопроводности (3.12) для температурного поля t(x, ) (при V=0), допускающие последовательное
несвязанное решение электромагнитной и тепловой задач [2, 3]:
(3.11)
(3.12)
Здесь функция F(x, ) распределения внутренних электромагнитных источников тепла по объему тела:
где
(3.13)
41
непосредственно определяется решением уравнения (3.11);
2
);,(),,(
1
0
01
lW
X
P
PlF
;2
2sin2
2cos 2
),(
1
sh
llch
lW
);,(),,(
2
0
02
lW
X
P
PlF
.
),(
22
1
ibebeirbeber
libelrbe
lW
;
2
э
X
;
2
0
э
— опе-
ратор Лапласа; х — пространственная координата; =2; — частота питающего индуктор; а — усредненное значение температуропроводности нагреваемого материала; Em — амплитудное значение
напряженности электрического поля.
Используя классические решения уравнения (3.11) при заданной
амплитуде H0m напряженности магнитного поля на поверхности х=Х
нагреваемых тел простейшей формы и выражения для вектора Пойнтинга, связывающие поглощаемый поток активной энергии со значение H0m, нетрудно получить на основе (3.13) следующие зависимости
для F(x,) при симметричном нагреве соответственно бесконечной
пластины и цилиндра неограниченной длины:
(3.14)
(3.15)
Здесь Р0 — активная мощность, поглощаемая единицей поверхности нагреваемого тела; Х — половина толщины пластины или ра-
диус цилиндра; ber z, bei z, ber z, bei z — функции Кельвина и их
первые производные; l — относительная координата по толщине пла-
стины или по радиусу цилиндра (l=x/X); — характерный параметр,
определяемый как:
(3.16)
где э — глубина проникновения тока в металл.
Для типовой ситуации =const, соответствующей процессу нагрева на фиксированной частоте питающего тока, в качестве основного управляющего воздействия для процессов индукционного нагрева
можно суммарную удельную мощность внутреннего тепловыделения
P(τ)= P0(τ)/Х, регулируемую обычно напряжением на индукторе, свя-
42
занной с ней квадратичной зависимостью и подчиненную ограниче-
0; ;0
max
PP
нию [2, 3]:
(3.17)
где P
соответствует максимальной мощности нагрева при полном
max
напряжении на индукторе.
43
3.3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.
;0, ;1,0 );(,
,,,
0
2
2
lPlW
l
l
l
l
ll
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНО-
ГО ПОЛЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ЗАГОТОВКИ В ПРОЦЕССЕ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Цель работы
Целью работы является:
1) получение навыков построения аналитических моделей темпе-
ратурного поля металлической заготовки в процессе индукционного
нагрева;
2) получение навыков реализации аналитических решений крае-
вых задач математического моделирования ОРП параболического типа в среде MathCAD;
3) получение навыков анализа решений краевых задач математи-
ческого моделирования ОРП параболического типа для описания
процессов в реальных технических системах, на примере процесса
индукционного нагрева металла;
Теоретические сведения
Базовая математическая модель температурного поля в процессе
индукционного нагрева
Пространственно-временное распределение температуры нагреваемых в периодических ИНУ заготовок простейшей формы может
быть описано линейным одномерным неоднородным уравнением теплопроводности в относительных единицах следующего вида [2, 3]:
при краевых условиях:
(3.18)
44
;0,
q
l
lθ
;0,0
l
θ
.0,
0
ll
., lBiq
c
.
)(
)(;)(
;
)(
)(;
),(
,
maxmax
2
max
2
max
P
P
u
XP
Q
q
XP
tt
XP
txt
l
П
бc
c
б
lW ,
;1)(0 u
].,0[0
.,max
0
0
1,0
ll
(3.19)
В частном случае краевых условий третьего рода, моделирующих
теплоотдачу в окружающую среду по закону конвекции, в (3.19) следует принять:
(3.20)
Здесь относительные значения (l,), 0(l), c(), q() и u() соответственно для температурного поля t(x, ), начального распределения температур t(x,0), температуры окружающей среды t(с), потока
QП() тепловых потерь на поверхности тела и управляющего воздействия Р() вводится согласно соотношениям [2,3]:
(3.21)
В формулах (3.18)—(3.21) Г=0 или Г=1 соответственно при нагреве пластины или цилиндра;
определяется по (3.14)или
(3.15) в виде W1 или W2; =а/Х2 — число Фурье; 0 — длительность
процесса нагрева; Bi — критерий Био и tб — базовая температура.
На управляющее воздействие накладывается ограничение [2,3]:
(3.22)
Наиболее характерные требования технологии сводятся к обеспечению равномерного нагрева заготовок до температуры * с точность
0 [2-4]:
(3.23)
Применяя к уравнениям (3.18)—(3.20) конечные интегральные
преобразование Фурье (при Г=0) или Ханкеля (при Г=1) по пространственной координате l, можно получить эквивалентное представление
45
объекта бесконечной системой обыкновенных дифференциальных
);()()(
2
nnnn
n
guWz
d
dz
;)0(
0nn
z
;)(),()(
1
0
dllKllWW
n
Г
n
;)()(
1
0
00
dllKll
n
Г
n
)(
n
g
);()()(
1 ncnn
Kg
).()();()(
;sin)(;cos)(
1
1
10
1
0
1
0
n
Г
nn
Г
n
n
Г
nn
Г
n
JKlJlK
KllK
.0)()(
1
KBiK
).(
)())1((
)(2
,
1
2
1
22
2
nn
nn
n
z
KBiГBi
lKBi
l
уравнений первого порядка для коэффициентов zn() разложения
(l,) в ряд по собственным функциям K(nl) тепловой задачи. При
краевых условиях третьего рода эта система принимает вид:
n=1, 2,… (3.24)
Здесь Wn(), 0n — коэффициенты разложения в ряд по K(nl)
функций W( ,l) в (3.18) и 0(l) в (3.19):
определяется выражением:
(3.26)
и имеем следующие собственные функции:
(3.25)
(3.27)
В приведенных выражениях J0 и J1 — соответственно функции
Бесселя нулевого и первого порядка, а собственные числа n есть
корни уравнения:
(3.28)
При этом температурное поле (l,) однозначно определяется
значениями zn(), n=1,2,…, и определяется бесконечным рядом [2,3]:
(3.29)
Математическая модель ПИНМ в виде (3.24) соответствует принятой в теории оптимального управления нормальной форме записи
систем уравнений, описывающих управляемый процесс, а бесконечный порядок этой системы является здесь единственным проявлени-
46
ем принципиальной специфики объекта с распределенными парамет-
)1(0 Гz
);()()(
0
0
quW
d
dz
;)0(
000
z
)(
n
g
);()()(
qKg
nn
;0)(1K
).(
)(
)(2
)()1(),(
`1
2
0
nn
n
n
z
K
lK
zГl
рами, к числу которых относится ПИНМ. Отмеченная особенность
создает возможности для наглядных сопоставлений, сравнительного
анализа и простого перехода к приближенному описанию процесса
нагрева в рамках объектов с сосредоточенными параметрами путем
рассмотрения «усеченной» системы, получаемой из (3.24) при учете
лишь конечного числа ее первых N уравнений.
При краевых условиях (3.19) второго рада система уравнений
(3.24) дополняется уравнением для средней температуры
(3.30)
:
где W0() и 00 вычисляются по (3.25) при n=0, n=0 и вместо выра-
жений (3.26), (3.28) и (3.29) для
, n и (l,) следует принять:
n=0, 1, 2…; (3.31)
(3.32)
(3.33)
Отметим, что описание температурного поля в форме (3.33) с выделение в качестве отдельного слагаемого средней температуры в целом ряде случаев обеспечивает удовлетворительное по точности
представление объекта уже системой уравнений (3.24), (3.30) второго
порядка для z0 и z1 в пренебрежении остальными коэффициентами zn,
n2. Заметим далее, что выбирая W( ,l) в (3.18) в виде дельтафункции h(l-1), сосредоточенной в точке l=1, можно рассматривать
систему уравнений (3.24) или (3.24), (3.30) в качестве частного случая
как математическую модель процесса нагрева тела внешним тепловым потоком, описываемого однородным уравнением теплопроводности, с управляющим воздействие, включаемым в граничное условие на поверхности l=1.
47
При произвольном кусочно-непрерывном управлении u(), стес-
),(l
.)(
,
,,
0
du
l
ll
,l
,l
0)()()(
0
c
lq
1)( u
;)()(
)(
)(2
)()1(),(
1
0
)(
0
2
0
002
22
n
nn
n
n
deqKe
K
lK
dqГl
nn
;)()(
)())1((
)(2
),(
0
10
1
2
1
22
2
3
2
2
deK
KBiГBi
elKBi
l
n
n
cnnn
n
nn
n
;1
)(
)()(2
)()1(),(
1
22
02
2
n
nn
nn
n
e
K
lKW
WГl
1
222
3
;1
)())1((
)()(2
),(
2
n
nn
nn
n
e
KBiГBi
lKW
l
ненном ограничением (3.22), свертка импульсной переходной функции объекта
и управляющего воздействия позволяет по-
лучить в интегральной форме общее решение уравнений теплопроводности (3.18)—(3.20) относительно температурного поля, понимаемой в обобщенном смысле:
(3.34)
Здесь
и исходная функция
, являющаяся реакцией
объекта управления на ступенчатое единичное воздействие, т.е. решение уравнений (3.18)—(3.20) при
и
находятся после интегрирования системы (3.24), (3.30) с подстановкой результатов в формулы (3.29), (3.33), в следующем виде для гра-
ничных условий второго (2, 2) и третьего (3, 3) рода [2, 3]:
,
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
Выражения (3.34)—(3.38) позволяют вычислить температурное
48
поле при любом допустимом управлении u() в любой момент вре-
б
ttxt
0l
000cl
1 1
02
1
222
0
0
.exp11
)())1((
)()(2
),(
n
i
j
i
jm
in
j
nn
nn
KBiГBi
lKW
l
)(u
мени в каждой точке l[0,1] по объему нагреваемого тела.
Замечание 3.1. Полагая в (3.4) базовую температуру tб, равной
конечной
, т.е. принимая
;
, пу-
тем интегрирования в (3.17) при варианте краевых условий третьего
рода и управлении вида (3.39) получить решение уравнений теплопроводности, описывающее температурное распределение в конце
процесса индукционного нагрева в виде:
(3.38*)
Последовательность выполнения лабораторной работы
Задание №5. В среде MathCAD реализовать, для произвольного
управления, представленного функцией
и граничных условий
третьего рода общее решение уравнений теплопроводности относительно температурного поля вида (3.34), для параметров, приведенных на рис. 3.4 по вариантам (Таблица 3.1):
Рис. 3.4. Параметры процесса нагрева цилиндрической стальной заготовки
49
Таблица 3.1
Вариант
Значение параметра
X, [м]
Вариант
Значение параметра
X, [м]
1
0.20
6
0.25
2
0.21
7
0.26
3
0.22
8
0.27
4
0.23
9
0.28
5
0.24
10
0.29
)(u
)(u
2
21,0
U1 ( ) 1 1( )if
0 otherwise
U3 ( )
1
1( )if
1
2
1
2
otherwise
u
u
u
Задание №6. В среде MathCAD реализовать, для трех программ
изменения управления во временной области (Таблица 3.2), представленного функцией
и граничных условий третьего рода общее
решение уравнений теплопроводности относительно температурного
поля вида (3.34), для параметров, приведенных в задании №5. Функции управления
ностями 1 и
заданы на двух временных интервалах длитель-
(
).
Таблица 3.2
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]