Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и оптимальное управление объектами с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
однородными начальными условиями. Найдем теперь решение задачи
;0
,
,
0
0
t
tх
tх
.,0;0
0
Lxt
LT 2
;cos
2
1
0
n
n
x
L
n
a
a
xf
.0,
2
;...2,1,cos
2
0
0
0
ndxxf
L
a
ndx
L
xn
xf
L
a
L
L
n
txu
p
,
0,L
;cos
2
,
1
0
n
n
p
x
L
n
tf
tf
xtf
txu
tf
n
....2,1;cos
2
cos
2
;0;
22
1
0
1
0
11
0
n
L
xn
dt
tdu
L
dx
L
xn
xx
dt
tdu
L
tf
n
dt
tdu
L
dxxx
dt
tdu
L
tf
K
k
pk
L
K
k
n
L
K
k
K
k
pk
pk
pk
pk
pk
pk
(4.7)-(4.8) при однородных граничных условиях (4.9) и однородных
начальных условиях вида:
(4.31)
Согласно теореме о разложимости функций в ряд Фурье, периодическая функция, с периодом
, может быть представлена
(для четных функций) в виде [6]:
(4.32)
где коэффициенты разложения будут иметь вид [6]:
(4.33)
Представим функцию
, описываемую уравнением (4.8) как
периодическую четную функцию, для чего симметрично относительно начала координат отразим ее на отрицательную полуось на участке
, а затем получим ее описание в виде (4.32), т.е. разложим в
ряд Фурье по косинусам, тогда:
где коэффициенты разложения
(4.33) и известных свойств - функции в виде:
81
(4.34)
будут определяться согласно
(4.35)
Далее, разделяя переменные и, переходя к задаче о собственных
;2
2
2
2
tftT
dt
tdT
dt
tTd
nnn
nn
.0
0
0
t
dT
T
n
n
;,, tхTtхTtT
nnn
tT
n
tT
n
;,0;
max
tconstu
dt
tdu
pk
pk
max
pk
u
k
x
tT
n
....2,1,
,0,
00
nСtT
ntСtT
nn
функциях в (4.7), (4.8), (4.9), (4.31), получим аналогично (4.22):
(4.36)
с однородными начальными условиями:
(4.37)
Решение задачи будем искать в виде:
(4.38)
где
- общее решение однородной задачи для (4.36), (4.37),
- частное решение неоднородной задачи (4.36), (4.37), определяемое
методом подбора.
Далее положим в (4.8):
(4.39)
< 0 эквивалентно росту с постоянной скоростью потери напора
(давления) в некоторой точке
трубопровода. С технологической
точки зрения, такая ситуация, может быть вызвана закрывающейся
задвижкой с линейно-зависимой от угла поворота степенью дросселирования потока.
Общее решение задачи для произвольных начальных условий получено нами выше в виде (4.26), частное решение
в виде:
Подставляя (4.40) в (4.28) получим:
будем искать
(4.40)
82
....2,1,cos
2
,0,
2
1
2
2
1
2
2
1
0
0
0
n
L
xn
t
tu
L
С
tfC
n
t
tu
L
C
tf
C
pk
K
k
n
n
nnn
K
k
pk
pk
(4.41)
.2020
,2
;2000
:0
001001
'
0
0
2
01
'
0
00102002010
002
2
010
CCCCT
CeCtT
CCCCCCT
tCCeCtT
n
t
t
.
2
00
;
2
1
00
;
;
:0
87
87
'
8
87
87
'
87
n
nn
n
n
nn
nnnnn
n
nn
n
n
nn
nnnn
t
nn
t
nnn
n
t
n
t
nn
C
CC
CCT
C
CC
CCCT
eCeCtT
CeCeCtT
Nn
nn
nn
тогда подставляя (4.26) и (4.40) в (4.38), а затем в (4.37) получим:
(4.42)
(4.43)
83
.00
;00
;cossin
sincos
;sincos
:
9
10109
'
99
109
109
'
109
n
n
n
n
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnn
t
n
nnnnn
t
n
CC
CCCT
CCCCT
tCtC
tCtCetT
CtCtCetT
Nn
Подставляя (4.42) и (4.44) в (4.12) и, суммируя все частные реше-
1
1
2
0
.cos1sincos
cos1
22
2
1
,
Nn
n
n
t
n
t
n
N
n
t
n
n
t
n
n
n
t
x
L
n
t
e
teC
x
L
n
eeC
t
e
Ctxw
nn
1
1
2
00
.cos1sincos
cos1
22
2
1
,
Nn
n
n
t
n
t
n
N
n
t
n
n
t
n
n
n
t
x
L
n
t
e
teC
x
L
n
eeC
t
e
Ctx
nn
txP ,
.sin
dx
xdz
x
ния по n, получим:
(4.44)
(4.45)
Окончательно, подставляя (4.29) и (4.45) в (4.11), получим:
(4.46)
Замечание 4.2. Для отыскания функции пространственновременного распределения давления транспортируемой жидкости в
трубопроводе
(4.46) в первое уравнение системы (4.1) при этом учесть, что:
необходимо подставить полученное решение
(4.47)
84
Замечание 4.3. Необходимо учесть, что для применения описан-
;,0;cos
max
ttu
dt
tdu
kkpk
pk
k
max
pk
u
tf
pk
.,,
;,0,
min
max
pkpk
pkpk
tconstu
tconstu
dt
tdu
pk
tu
pk
pk
t
txw ,
pk
x
3
870 мкг
см
26
1025
ПаE
11
102
м01,0
ной выше методики аналитического представления объекта управления необходимо наличие гладкой, как минимум дважды дифференцируемой функции, в правой части уравнения (4.36). Такой функцией,
кроме уже описанной выше (4.39), может быть, к примеру, периодическая функция вида:
где
,
- частота и амплитуда возмущения
(4.48)
соответветст-
венно.
Далее положим в (4.8):
(4.49)
т.е.
- кусочно-непрерывная функция, принимающая свои мак-
симальные либо минимальные (ограниченные) значения. Функция
(4.49) не является гладкой, а ее производная в точке
неограни-
ченно возрастает. В такой ситуации, для интегрирования уравнений
(4.36) необходимо применение аппарата обобщенных функций.
Последовательность выполнения лабораторной работы
Задание №9. В среде MathCAD реализовать аналитическое ре-
шение (4.46), описывающее распределение скорости потока
по
пространственной координате x в произвольный момент времени t>0,
нефтепровода общей протяженностью L и диаметром D в произвольный момент времени t>0, с нанесением возмущений в точках
вариантам (Таблица 4.1), для параметров нефти
матической вязкостью
ла (стали) нефтепровода
85
и модуля упругости материа-
с толщиной стенки
и кине-
по
,
скорость потока в начальный момент времени t=0
с
м
x 10,
0
pk
x
кПаuuuu
pppp
100
max
4
max
3
max
2
max
1
Вариант
L (км)
D (м)
1p
x
, км
2p
x
, км
3p
x
, км
4p
x
, км
1
300
1
100
150
200
250
2
330
0,8
110
160
210
260
3
360
1,2
90
160
220
280
4
400
1
120
170
220
270
5
430
0,8
110
180
250
310
6
460
1,2
95
160
220
330
7
500
1
100
180
300
380
8
530
0,8
120
190
310
360
9
560
1,2
140
210
320
420
10
600
1
130
250
400
500
txw ,
pk
x
pk
x
скПаuuuu
pppp
10
max
4
max
3
max
2
max
1
с
pppp
1
1.0
max
4
max
3
max
21
pk
x
tC
0
tC
n
В качестве программы изменения во времени возмущений в точ-
.
ках
, принять зависимость (4.39), при
.
Таблица 4.1
Задание №10. В среде MathCAD реализовать аналитическое ре-
шение (4.46), описывающее распределение скорости потока
по
пространственной координате x в произвольный момент времени t>0,
нефтепровода общей протяженностью L и диаметром D в произвольный момент времени t>0, с нанесением возмущений в точках
по
вариантам (Таблица 4.1), для параметров задачи задания №1.
В качестве программы изменения во времени возмущений в точках
, принять зависимость (4.48), при
,
.
Замечание 4.4. Зависимость изменения во времени возмущения в
точках
, учитывается через коэффициенты
и
, опреде-
ляемые согласно (4.41).
86
Оформление результатов лабораторной работы
а
б
Р и с. 4.2. Распределение скорости потока по длине трубопро-
вода в различные моменты времени, при:
(а)
скПаu
p
10
max
1
; (б)
скПаuu
pp
10
max
2
max
1
.
max
pk
u
pk
x
0 90 180 270 360 450
км,L
L,x
p201
L,x
p602
ct 500
ct 200
ct 50
0t
с
м
,t,x
51,
01,
50,
0 90 180 270 360 450
с
м
,t,x
км,L
L,x
p
3501
ct 500
ct 200
ct 50
0t
51,
01,
50,
Результаты работы оформить в виде отчета, который должен
включать следующие разделы:
- наименование и цель работы;
- теоретическая часть – расчетные уравнения с пояснением вхо-
дящих в них величин, необходимые для выполнения расчетной части
работы;
- решения в виде графиков, реализованные средствами
MathCAD (см. Пример №5)
- выводы по применению метода Фурье для решения краевой за-
дачи математического моделирования объектов с распределенными
параметрами.
Пример №5. Оформление результатов моделирования ОРП гиперболического типа.
На рис. 4.2 приведен пример расчета распределения скорости потока нефти в трубопроводе протяженностью L=450 км и диаметром
D=1200 мм, при наличии прироста и снижения с постоянной скоро-
стью
давления в точках
. Для расчетов учитывались первые
87
сто членов ряда в (4.42), при N*=4.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается сущность объектов с распределенными параметрами
ОРП?
2. Какие существуют методы решения краевых задач математического
моделирования ОРП?
3. Каковы преимущества и недостатки метода разделения переменных
(метода Фурье) решения краевых задач математического моделирования
ОРП?
4. Поведение каких технических систем могут описывать ОРП гиперболического типа?
5. Каково математическое представление внутренних сосредоточенных
управляющих (возмущающих) воздействий для ОРП гиперболического
типа?
6. Приведите пример реализации внутренних управляющих (возмущающих) воздействий для ОРП гиперболического типа?
88
4.4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6.
;,0;,
maxmin
tthuutg
dt
tdu
pkpkpkpkpk
pk
pk
th
pk
t
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ГРИНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВА-
НИЯ ПРОЦЕССА ТРАНСПОРТА НЕФТИ ПО МТП
Цели работы
Основными целями работы являются:
1) получение навыков применения метода функций Грина для
решения краевой задачи математического моделирования ОРП гиперболического типа;
2) получение навыков реализации аналитических решений крае-
вых задач математического моделирования ОРП гиперболического
типа в среде MathCAD;
3) получение навыков анализа решений краевых задач математического моделирования ОРП гиперболического типа для описания
процессов в реальных технических системах, на примере процесса
трубопроводного транспорта нефти;
Теоретические сведения
В работе рассмотрена возможность решения поставленной выше
краевой задачи математического моделирования ОРП гиперболического типа с возмущением вида (4.49) приводящим к разрывным правым частям в (4.36). Для получения аналитического интеграла в (4.36)
с правой частью (4.49) используется метод функций Грина [1, 7].
Запишем (4.49) в следующем виде:
где
точке
- функция Хевисайда, имеющая единичный скачок в
(функция Хевисайда является обобщенной функцией).
(4.50)
89
Ограничимся в (4.35) случаем
1K
.;cos
2
;2
max
0
max
max
min
2
2
2
L
u
U
L
xn
L
u
U
th
u
u
UtT
dt
tdT
dt
tTd
pk
pk
pkpk
pk
n
pk
pk
pk
pk
nnn
nn
,tG
n
;,
,
2
,
2
2
2
ttG
dt
tdG
dt
tGd
nn
nn
0
;0,0
G
,tG
n
,tG
n
tttttRt ,,,|,
2
;,,
00
nn
GG
,tG
n
tt,
,t
1
2
, t
,tG
n
tt,
dt
tdG
n
,
tt,
0t
.1
,,
00
dt
G
dt
G
nn
,tG
n
, тогда (4.36) примет вид:
(4.51)
Введем функцию
такую, что:
(4.52)
для краевой задачи с постоянными коэффициентами в (4.52) всегда
можно положить
.
Начальные условия для (4.52) примут вид:
(4.53)
- функция Грина краевой задачи (4.51)-(4.53), удовлетворяю-
щая следующим требованиям:
непрерывна в квадрате
:
(4.54)
и
при любом фиксированном
удовлетворяет однородному уравнению для (4.52);
удовлетворяет граничным условиям при любом фик-
сированном
производная
имеет разрыв первого рода в точке
дельных значений, равной 1:
Функция
в промежутках
;
при любом фиксированном
с величиной скачка пре-
является фундаментальным решением неодно-
90
(4.55)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]