Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели теории игр для анализа креативно-инновационной деятельности. Монография
.pdf
161
315. Yang H.-L., Wu, T. C. T. Knowledge sharing in an organization //
Technological Forecasting and Social Change. — 2008. — Vol. 75. — pp. 1128–
1156.
316. Zakharov V., Gan’kova A., Dementieva M., Neittaanmaki P. Comparing
solutions in joint implementation projects // International Game Theory Review. —
2008. — Vol. 10. — N 1. — pp. 119–128.
317. Zhang R. Game analysis on enterprise technological innovation // China-
USA Business Review. — 2007. — Vol. 6. — N 3. — pp. 63–66.
162
ПРИЛОЖЕНИЕ
Решение биматричной игры двух игроков
Биматричная игра — неантагонистическая статическая игра двух лиц с конечным числом стратегий, в которой игроки синхронно выбирают (определяют)
чистую или смешанную стратегию на основе имеющегося конечного числа чистых стратегий и после этого получают платежи согласно определенным для
каждого из них платежным матрицам. Подобная игра полностью определяется
двумя платежными матрицами.
Пусть у игрока 1 имеется m чистых стратегий, i =
1, m
, у игрока 2 имеется n
чистых стратегий, j =
1, n
. Выигрыши игроков 1 и 2 соответственно задаются
матрицами
А =
mnm
n
aa
aa
1
111
, В =
mnm
n
bb
bb
1
111
.
Будем считать смешанной стратегией игрока 1 полный набор вероятностей
применения этим игроком своих чистых стратегий x = (x1, ..., xm), и, соответственно, у = (y1, ..., yn) — смешанной стратегией игрока 2. Тогда средние выигрыши игроков 1 и 2 определяются соответственно как:
m
1
11
m
2
11
( , , )= a
( , , )= b
n
ij i j
ij
n
ij i j
ij
U A x y x y
U B x y x y
==
==
.
Следуя принципу равновесия Нэша, определим равновесную ситуацию,
отклонение от которой уменьшает платежи игрока при условии, что другие игроки придерживаются равновесной ситуации. Cитуация s
*
в игре называется
равновесием Нэша, если для любого игрока i и любой его стратегии
ii
sS
вы-
полняется неравенство
**
( ) ( , )
i i i i
U s U s s
−
. Стратегия s
*
i
является наилучшим ответом
на s
*
-i
для игрока i. При такой ситуации никому не выгодно отклоняться от нее,
если остальные ее придерживаются.
Для игроков биматричной игры условие равновесия Нэша может быть
сформулировано как
0 0 0
11
0 0 0
22
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
U A x y U A x y
U B x y U B x y
.
163
Условие равновесия для биматричной игры должно выполняться в том числе
для любых чистых стратегий игроков (xi, yj). Тогда для оптимальных стратегий
x0 и y0 игроков 1 и 2 соответственно должно выполняться следующее условие
0 0 0
11
0 0 0
22
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
i
j
U A x y U A x y
U B x y U B x y
.
Для определения ситуаций равновесия необходимо решить указанную систему неравенств относительно неизвестных
0 0 0
1
( , , )
m
x x x= K
и
0 0 0
1
( , , )
n
y y y= K
при усло-
виях
0
1
1
i
m
i
x
=
=
,
0
1
1
j
n
j
y
=
=
,
0
i
x
0 (i =
1, m
),
0
j
y
0 (j =
1, n
).
Рассмотрим биматричную игру, в которой каждый игрок имеет две чистые
стратегии. В этом случае их платежные матрицы имеют по 4 элемента:
A =
11 12
21 22
aa
aa
, B =
11 12
21 22
bb
bb
,
а смешанные стратегии соответственно: x = (x1, x2) и у = (y1, y2).
Тогда условие равновесия будет выглядеть как
0 0 0
1 1 1
0 0 0
1 2 1
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
U A x y U A x y
U A x y U A x y
и
0 0 0
2 1 2
0 0 0
2 2 2
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
U B x y U B x y
U B x y U B x y
.
Далее для упрощения записи опустим индексы и обозначим первый элемент смешанной стратегии игрока 1 как x, а игрока 2 как y. Тогда смешанные
стратегии игроков 1 и 2 имеют вид:
(x, 1– x), (y, 1– y); 0 x 1; 0 y 1;
а средние ожидаемые платежи равны:
U1(A, x, y) = (a
11 — a12 — a21
+ a22) xy + (a
12
−
a22) x + (a
21
−
a22) y + a22.
U2(B, x, y) = (b
11
−
b
12
−
b
21
+ b22) xy + (b
12
−
b22) x + (b
21
−
b22) y + b22.
Полагая х = 1 (соответствует выбору первой чистой стратегии), получим
U1(A, 1, y) = (a
11 — a12 — a21
+ a22) y + a
12
+ (a
21
−
a22) y.
В случае х = 0 (соответствует выбору второй чистой стратегии) имеем
U1(A, 0, y) = (a
21
−
a22) y + a22.
Допустим, что смешанные стратегии игроков (x, 1 — x) и (y, 1 — y) являются оптимальными. Рассмотрим разности U1(A, x, y) — U1(A, 1, y) и U1(A, x, y) —
U1(A, 0, y). В случае выполнения условия равновесия Нэша эти разности долж-
ны быть неотрицательными:
164
U1(A, x, y) — U1(A, 1, y) = (a
11 — a12 — a21
+ a22) xy + (a
12
−
a22) x — (a
11 —
– a
12 — a21
+ a22) y + a
22 — a12
≥ 0;
U1(A, x, y) — U1(A, 0, y) = (a
11 — a12 — a21
+ a22) xy + (a
12
−
a22) x ≥ 0.
Введем обозначения С = (a
11 — a12 — a21
+ a22) и F = (a
22 — a12
). С учетом та-
ких обозначений получаем:
U1(A, x, y) — U1(A, 1, y) = Cxy — Fx — Cy + F = (x — 1)(Cy — F) ≥ 0;
U1(A, x, y) — U1(A, 0, y) = Cxy — Fx = x(Cy — F) ≥ 0.
Таким образом, получаем систему неравенств:
−
0)(
0))(1(
Cy-Fx
FCyx-
.
Аналогично определим разности U2(B, x, y) — U2(B, x, 1) и
U2(B, x, y) — U2(B, x, 0). С учетом обозначений D = (b
11
−
b
12
−
b
21
+ b22) и G =
(b
22 — b21
) получим (читателю рекомендуется определить самостоятельно):
U2(B, x, y) — U2(B, х, 1) = (y − 1)(Dx — G);
U2(B, x, y — U2(B, х, 2) = y(Dx — G).
В случае ситуации равновесия эти разности неотрицательны:
( 1)( ) 0
( ) 0
y Dx G
y Dx G
− −
−
.
Итак, для нахождения ситуации равновесия необходимо решить систему
неравенств
( 1)( ) 0
( ) 0
( 1)( ) 0
( ) 0
x Cy F
x Cy F
y Dx G
y Dx G
− −
−
− −
−
,
где С = (a
11 — a12 — a21
+ a22),
D = (b
11
−
b
12
−
b
21
+ b22),
F = (a
22 — a12),
G = (b
22 — b21
).
Поскольку х[0; 1], возможны три случая: х = 1, х = 0, 0 < х < 1. Решение
подсистемы первых двух неравенств для этих трех случаев дает:
1) х = 1, y ≥ F/C;
2) х = 0, y ≤ F/C;
3) 0 < х < 1, y = F/C.
165
Аналогично для второй пары неравенств получаем
1) y = 1, x ≥ G/D;
2) y = 0, x ≤ G/D;
3) 0 < y < 1, x = G/D.
Графическим решением исходной системы неравенств является точка пересечения двух «зигзагов» с координатами x = G/D и y = F/C, что и определяет
решение данной игры в смешанных стратегиях (рис. П1).
Рис. П1. Пример графического решения биматричной игры
Отклонение любого из игроков от ситуации равновесия, если другой
придерживается своей оптимальной стратегии, уменьшает платеж отклоняющегося.
х
y
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]