Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинированные задачи по физике с решениями. Задачник
.pdf
81
,maTmg
для горизонтального стержня в проекции на горизонтальную ось:
.maT
Из этих уравнений найдем ускорение движения стержней:
.
2
g
a
Поскольку стержни металлические, свободные электроны, находящиеся в
объеме стержней тоже будут двигаться с таким же ускорением. Это приведет к
тому, что в стержнях возникнут электрические поля, напряженности которых
должны удовлетворять уравнениям:
.
2
,
2
2
1
g
meEgm
g
meE
ee
e
Из этих уравнений можно найти напряженности электрических полей в
каждом стержне:
.
2
21
e
gm
EEE
e
Так как электрические поля в стержнях однородны, то
.
2
21
e
glm
ElUU
e
43. Введем обозначения: g — ускорение свободного падения; — элек-
трическая постоянная.
Согласно условию задачи на тело во время движения действуют только
консервативные силы тяжести и кулоновского взаимодействия. Тогда согласно
закону сохранения и превращения энергии полная энергия тела на вершине и в
82
конце наклонной плоскости должны быть одинаковы. На вершине наклонной
плоскости полная энергия будет равна:
,
4
1
0
1
h
qQ
mghW
а в ее конце:
.
ctg4
1
2
0
2
2
h
qQmv
W
Так как W1= W2, то:
.1
42
0
2
mghtg
h
qQmv
Отсюда искомая скорость тела в конце наклонной плоскости будет равна:
.
2
1tg
0
gh
hm
qQ
v
44. Введем обозначения:
х
0
— деформация пружины в первом состоянии
равновесия системы; А — амплитуда колебаний верхней пластины конденсатора; С1 и С2– емкости конденсатора в первом и втором равновесных состояниях;
q — заряд конденсатора; g — ускорение свободного паления; 0 — электрическая постоянная.
При отсутствии зарядов на пластинах конденсатора равновесное состояние системы определяется равенством:
mg=kx0. (1)
После зарядки конденсатора на его пластинах появится заряд:
.
0
d
SU
CUq
83
Верхняя заряженная пластина конденсатора при этом оказывается в поле
заряда нижней пластины, и на нее будет действовать со стороны этой пластины
направленная вниз сила притяжения Fк:
.
2
2
00
d
SU
d
U
d
SU
qEF
k
(2)
Под действием этой силы верхняя пластина придет в движение, растягивая пружину и уменьшая, тем самым, расстояние между обкладками конденсатора. Сила Fк, как и сила тяжести, не будет зависеть от положения пластины
(докажите это!), а сила упругости пружины Fу по модулю пропорциональна
смещению. Поэтому верхняя пластина будет совершать после зарядки гармонические колебания около нового положения равновесия системы. (Заметим,
что амплитуда колебания верхней пластины не должна превышать d/2). Это положение пластины будет определяться равенством:
Fк+mg=Fу. (3)
Подставляя выражения (1) и (2), в (3), получим:
.
00
2
2
0
Axkkx
d
SU
Решая это уравнение относительно А, получим:
2
2
0
kd
SU
A
.
Период колебаний пластины будем определять, используя закон сохранения и превращения энергии для рассматриваемой системы тел.
До начала движения верхней пластины полная энергия системы в первом
равновесном состоянии будет определяться суммой потенциальной энергии
пластины в поле силы тяжести, потенциальной энергии упруго деформированной пружины и энергии заряженного конденсатора:
.
22
22
1
2
0
1
UCkx
mgdW
84
Полная энергия системы в момент прохождения пластины конденсатора
второго равновесного состояния с максимальной скоростью будет определяться
суммой потенциальной энергии пластины в поле силы тяжести, потенциальной
энергии упруго деформированной пружины, максимальной кинетической энергии пластины и энергии заряженного конденсатора:
.
222
2
22
2
0
2
C
qmvAxk
AdmgW
В этом уравнении мы учли то, что после отключения конденсатора от источника тока заряд конденсатора останется неизменным.
Согласно закону сохранения энергии, для рассматриваемого колебательного процесса W1 = W2, следовательно:
.
22222
2
22
2
0
22
1
2
0
C
qmvAxk
Admg
UCkx
mgd
Решая это уравнение относительно скорости пластины конденсатора в
точке прохождения второго положения равновесия при колебании, получим:
.
2
2
22
1
m
UCkAUC
v
Из уравнения гармонического колебания следует, что:
.
max
Av
Тогда период колебания Т = 2/ будет равен:
.
2
2
2
22
1
2
2
0
m
UCkAUC
kd
SU
T
45. Введем обозначения: W — энергия заряженного конденсатора; х —
расстояние, на которое втянулся диэлектрик в пространство между обкладками
конденсатора; L — длина пластин конденсатора; Fэл — сила, втягивающая диэлектрик; А — работа втягивающей силы; 0 — электрическая постоянная.
85
В состоянии равновесия сила, втягивающая жидкий диэлектрик в про-
странство между пластинами конденсатора, должна быть уравновешена весом
поднятой жидкости:
.
эл
dLhggVF
(1)
Для нахождения силы, действующей на диэлектрик со стороны электрического поля, проще всего исходить их закона сохранения и превращения энергии. Совершение механической работы силами электрического поля над диэлектриком при подсоединенном к источнику тока конденсаторе, должно сопровождаться изменением энергии конденсатора:
.
эл
xFW
ΔΔ
Изменение энергии конденсатора при вдвигании диэлектрика на величину х равно:
d
xLU
C
U
W
Δ
ΔΔ
1
22
0
22
.
Отсюда:
.
1
2
0
2
эл
d
LU
x
W
F
Δ
Δ
Следовательно, если на обкладках конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то сила, втягивающая диэлектрик, не зависит от длины втянутой части. Подставляя полученное выражение для силы в равенство (1), получим:
.
2
1
2
2
0
gd
U
h
46. Введем обозначения: Е — напряженность электрического поля; —
поверхностная плотность заряда; S — площадь поверхности плоского пучка;
d — толщина пучка электронов на выходе из щели; e — заряд электрона; а —
86
ускорение электронов в направлении, перпендикулярном пучку; me — масса
электрона; 0 — электрическая постоянная.
По условию задачи щель, из которой вылетают электроны, очень узкая,
что позволяет считать движущийся поток электронов заряженной плоскопараллельной пластиной, создающей электрическое поле напряженностью:
.
2
0
E
Заряд такой плоскопараллельной пластины площадью поверхности S,
толщиной d, будет равен:
end. тогда
,enSdq
Отсюда:
.
2
0
end
E
В этом электрическом поле на электрон, находящийся на краю пучка, будет действовать сила
,eEF
сообщающая ему в направлении, перпендикулярном к плоскости пучка,
ускорение
.
2
0
2
ee
m
nde
m
F
a
Ширина пучка удвоится, когда электрон пройдет с этим ускорением в
направлении, перпендикулярном плоскости пучка, расстояние d/2, т. е. через
промежуток времени
ne
m
a
d
t
e
2
0
ε2
;
2
2
at
d
,
87
так как движение равноускоренное без начальной скорости.
Вдоль направления движения пучка электрон за это время удалится от
выхода щели на расстояние:
.
2
2
0
ne
m
vvtl
e
47. Введем обозначения: v — скорость шарика в момент отрыва от по-
верхности заряженной сферы; q — заряд шарика после соприкосновения с шаром; Е — напряженность поля заряженного шара после контакта с шариком;
g — ускорение свободного падения; 0 — электрическая постоянная.
Рис. 49
При движении шарика от вершины сферы до точки отрыва на него действуют только консервативные силы. Поэтому, согласно закону сохранения и
превращения энергии, полная энергия шарика на вершине сферы и точке отрыва должны быть равны. На вершине сферы:
.2
1
ПmgRW
В этом выражении первое слагаемое — потенциальная энергия шарика в
поле силы тяжести, второе — потенциальная энергия в кулоновском поле заряженной сферы. В точке отрыва шарика:
.
2
2
2
mv
ПmghW
Приравнивая эти два выражения, получим:
.
2
4
2
g
vgRh
88
Скорость шарика в момент отрыва определим из уравнения динамики. На
шарик при его движении по сферической будут действовать сила тяжести mg,
направленная вертикально вниз, сила реакции опоры N, направленная перпендикулярно плоскости сферы в точке отрыва, и кулоновская сила отталкивания
F, направленная по прямой, проходящей через центр обоих шаров. Согласно
второму закону Ньютона векторная сумма сил будет равна:
.amFNgm
В проекции на ось, проходящую через центр шара, это уравнение примет вид:
.sin
2
R
mv
FNmg
В точке отрыва шарика от сферической поверхности N = 0, следовательно:
.sin
2
R
mv
Fmg
Отсюда:
.
sin
2
m
FmgR
v
(1)
Определим кулоновскую силу взаимодействия между шарами. При всяком перераспределении зарядов в изолированной системе тел, какой являются в
данном случае заряженные шары, сумма зарядов остается неизменной. Поэтому
если до соединения шаров их заряды были Q и q, а после их соединения Q и q,
то должно выполняться равенство:
Q+q=Q+q. (2)
Начальные заряды шаров можно найти, зная их емкости и начальные потенциалы. Емкости шаров связаны с их радиусами формулами:
.4,4
00
rcRC
Тогда:
.4,4
2010
rqRQ
89
Если заряженные тела имеют разный потенциал, то при их контакте заряды будут переходить с одного тела на другое до тех пор, пока потенциалы тел
не станут одинаковыми. При равновесии зарядов на контактирующих шарах
должно выполняться условие:
1= 2 = .
Уравнение (2) позволяет определить общий потенциал шаров:
.
21
rR
rR
Тогда:
.4
,4
21
0
21
0
rR
rR
rq
rR
rR
RQ
Зная заряды шаров после перераспределения, можно определить кулоновскую силу взаимодействия между шарами:
2
21
2
21
0
0
21
0
.4
4
4
1
4
rR
rR
R
r
R
rR
rR
R
rR
rR
rEqF
Подставляя полученное выражение для силы в (1), получим:
.
4sin
2
21
0
2
m
rR
rR
R
r
mgR
v
Из рис. 49 следует, что:
.sin
R
Rh
Тогда:
90
.
2
4
2
2
4
4
2
21
0
2
21
0
gm
rR
R
R
r
R
Rh
mgR
R
g
m
rR
rR
R
r
R
Rh
mgR
gR
h
Решая последнее уравнение относительно искомой высоты отрыва h, получим:
.
3
4
2
210
rR
rR
mg
r
Rh
48. Введём обозначения: g — ускорение свободного падения; х0 —
величина сжатия пружины при максимальной скорости снижения шара на ней;
l0 — длина пружины в недеформированном состоянии; 0 — электрическая постоянная.
Рис. 50
Движение шара на пружине происходит под действием трех консервативных сил: силы тяжести
P
, упругой силы сжимаемой пружины
у
F
и кулонов-
ской силы отталкивания, действующей со стороны заряженной плоскости
k
F
(рис. 50). Поэтому второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось для
шара примет вид:
ma
q
kxmg
0
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]