Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинированные задачи по физике с решениями. Задачник
.pdf
61
В этом уравнении две неизвестные величины: р2 и Т
2,
поэтому для их
определения необходимо составить какое-нибудь ещё одно независимое уравнение, связывающее эти величины между собой.
Попытаемся получить такое уравнение на основе законов механики и
термодинамики. Согласно первому началу термодинамики для адиабатического
процесса (по условию сосуд теплоизолирован) должно выполняться условие:
U + A = 0. (1)
Изменение внутренней энергии газа будет равно:
,
2
3
12
TTRU
Δ
(2)
а работа, совершённая газом, будет равна изменению потенциальной энергии
пружины:
21
2
2
3
2
TTR
kx
A
.
Выразим параметры пружины через параметры газа. После установления
равновесия поршень находится в состоянии покоя, следовательно, сила упругости пружины должна быть уравновешена силой давления газа:
kx = p2S.
Так как объём газа при его адиабатическом расширении увеличился в два
раза, а изменение объёма газа равно Sx, то второе равновесное состояние газа
можно описать уравнением:
.2
22
RTSxp
Отсюда
,
2
2
2
Sx
RT
p
или
.
2
2
2
RT
kx
Таким образом, работа, совершенная газом, будет равна:
.
42
2
2
RTkx
A
(3)
62
Подставляя выражения (2) и (3) в (1), получим:
.86,0
,0
42
3
12
2
12
TT
RT
TTR
Из двух уравнений состояния газа определим давление р2:
.43,0
.
86,0
22
12
1
1
2
1
2
1
pp
T
T
T
T
p
p
23. Введём обозначения: S — площадь поршня; х — смещение поршня за
время нагрева газа; а — ускорение движения поршня; R — универсальная газовая постоянная; р — давление газа в цилиндре.
В этой задаче происходит изобарическое нагревание газа. При этом часть
тепла, подводимого к газу, идет на увеличение его внутренней энергии,
часть — на совершение работы по перемещению поршня. В свою очередь, работа газа пойдет на увеличение кинетической энергий поршня, т. е.:
2
2
mv
UAUQ
ΔΔΔ
.
Изменение внутренней энергии газа определим по формуле:
.
2
3
2
3
2
3
pSxVpTRU
ΔΔΔ
(1)
Второй закон Ньютона для поршня в проекции на горизонтальное
направление движения можно записать в виде:
.mapS
(2)
Из кинематической формулы для равноускоренного движения:
2
;2
2
2
v
axaxv
, (3)
и, подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим:
63
2
2
4
3
22
3
max
2
3
2
3
mv
v
mpSxU
.
Тогда искомое количество тепла найдем по формуле:
222
4
5
2
1
4
3
mvmvmvQ
Δ
.
24. Введем обозначения: n — концентрация молекул газа; v
x —
среднее
значение проекции вектора скорости молекулы на ось Х; R — универсальная
газовая постоянная.
Для решения задачи сделаем некоторые упрощения. Будем считать, что
выполняются равенства:
2222
vvvv
zyx
;
.
222
zyx
vvv
Выделим в сосуде цилиндрический объём газа, ось которого перпендику-
лярна к поверхности сосуда, а основание цилиндра, равное площади отверстия,
пусть примыкает к поверхности сосуда. Тогда за время t через отверстие в сосуде пройдут все молекулы, которые будут находиться в объеме цилиндра, равного v
x
tS, ось которого направлена по оси Х. Число этих молекул будет равно:
.
2
tSv
n
Z
x
В этом уравнении учтено, что в силу равновероятности направления движения молекул, половина молекул в объеме цилиндра будет двигаться в
направлении, противоположном направлению оси Х. При этом концентрация
молекул в сосуде уменьшится за это время на:
.
2 V
tSv
n
V
Z
n
x
Δ
Δ
Отсюда:
.2
SvVn
n
t
x
Δ
Δ
Из уравнения состояния идеального газа
nkTp
и условия задачи следует, что:
64
.01,0
p
p
n
n
ΔΔ
Сделанные допущения позволяют считать, что:
.\
3
,3
22
RTv
vvv
xx
Отсюда:
.02,0
RT
S
V
t
Δ
25. Введем обозначения: U — изменение внутренней энергии воды; А —
произведенная двигателем механическая работа; m и — масса и время циркуляции воды по замкнутому охлаждающему контуру.
Поскольку в задаче теплообмен двигателя с окружающей средой не учитывается, то часть механической энергии будет расходоваться на нагревание
проточной воды, охлаждающей двигатель. Тогда согласно закону сохранения и
превращения энергии должно выполняться равенство:
.Δη UA
Если за время вода массой m в контуре нагревается на t градусов, то
работа, совершенная двигателем за это время, и изменение внутренней энергии
воды будут равны соответственно:
А=Р
и
U=cmT.
Подставляя эти выражения в уравнение закона сохранения энергии, получим:
P=cmT.
65
Выразим массу воды, циркулирующую в охлаждающем контуре. При течении потока воды по трубе сечением S масса воды, прошедшая через это сече-
ние за время , будет равна:
m=Sv.
С учетом этого выражения скорость течения воды в контуре будет равна:
.
TSc
P
v
26. Введём обозначения: V — объем шара; Т — температура; 1 и 2 —
плотности атмосферного воздуха и газа, наполняющего воздушный шар; R —
универсальная газовая постоянная; g — ускорение свободного падения.
Подъемную силу воздушного шара F можно определить из закона Архимеда:
.21MggVF
(1)
Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что связь между плотно-
стью газа и его давлением определяется соотношением:
.
RT
p
Так как по условию задачи оболочка шара эластичная, то можно считать,
что давление газа внутри шара равно давлению атмосферного воздуха. Поэтому
должны выполняться равенства:
.,
2
2
1
1
2
2
1
1
RTRT
(2)
По определению плотности:
,
2
V
m
поэтому равенство (2) можно записать в виде:
66
.
2
1
1
mV
(3)
Подставив выражение (3) в формулу (1), получим, что подъемная сила
воздушного шара будет равна:
.1
2
1
MmgF
Отсюда из второго закона Ньютона определим ускорение шара:
.
1
2
1
Mm
Mg
a
Анализ полученного выражения свидетельствует о том, что ускорение
шара не будет зависеть от высоты подъема шара. Этот результат, на первый
взгляд, кажется неожиданным, поскольку давление воздуха и его температура
зависят от высоты подъема шара. Обратим внимание на то, что этот результат
справедлив только для воздушного шара с эластичной, герметичной и теплопроводящей оболочкой.
27. Введём обозначения: v — скорость движения теплохода в стоячей во-
де; u — скорость течения воды в реке; Q — количество тепла, выделяющееся
при сжигании топлива в двигателе теплохода; t3 — время, которое затратил бы
теплоход для прохождения расстояния S в стоячей воде.
При движении теплохода вниз по реке течение воды будет «помогать»
теплоходу двигаться, а при движении вверх — будет его «тормозить». В задаче
требуется найти силу сопротивления воды движению теплохода, т.е. силу сопротивления стоячей воды движению теплохода.
Согласно закону сохранения и превращения энергии только часть тепла,
выделившегося при сжигании топлива, пойдет на работу против сил сопротивления воды движению теплохода:
.
,
3
3
SFmtq
qmtQ
AQ
с
67
Определим время t3 из системы кинематических уравнений движения
теплохода:
.
;
;
3
2
1
Svt
Stuv
Stuv
Решая полученную систему уравнений, получим:
.
2
21
21
3
tt
tt
t
Отсюда искомая сила сопротивления воды будет равна:
q
Stt
tmt
F
c
21
21
η2
.
28. Введем обозначения: Q — количество тепла; S — расстояние, прохо-
димое автомобилем за время t на горизонтальном участке пути; S — расстояние, проходимое автомобилем за время t1 на участке подъема; — коэффици-
ент трения.
При движении автомобиля по горизонтальному участку пути с постоянной
скоростью механическая энергия автомобиля, вырабатываемая его двигателем за
счет сжигания бензина, будет затрачиваться на работу против сил трения:
тр
QA
,
.MgSmqt
Из этого уравнения можно определить коэффициент трения:
.
Mgv
mq
MgS
mt
(1)
При движении автомобиля на участке подъема часть механической энергии будет затрачиваться еще и на увеличение его потенциальной энергии:
.sincos
11
SMgSMgqtm
(2)
68
Разделим обе части уравнения (2) на t1 и учтем, что
1
/
1
t
S
v
:
.sincos
111
MgvMgvqm
(3)
Подставляя в (3) выражение (1), получим:
.sincos
11
Mgv
mq
Mgvqm
Из условия равенства скоростей движения автомобиля вверх по уклону на
горизонтальном участке пути, следовательно:
.
sin1cos
1
Mgvmq
mmm
29. Введем обозначения; М — масса расплавленного льда; g — ускоре-
ние свободного падения.
Рис. 43
По условию задачи льдинка с дробинкой после плавления части льда
должна находиться в воде в состоянии безразличного равновесия (рис. 43). Это
условие будет выполняться, если сумма сил тяжестей оставшейся части льда и
дробинки должна быть равна весу воды в объеме оставшегося льда и дробинки
(силе Архимеда):
.g
mMM
mggMM
в
cл
Δ
Δ
(1)
Количество тепла, необходимое для плавления льда массой М, равно:
Q=qМ.
69
Из этого выражения определим массу расплавленного льда и подставим
ее в уравнение (1):
.
в
cл
m
q
Q
M
m
q
Q
M
Решая полученное уравнение относительно Q, получим:
.
лв
вс
с
л
mMqQ
30. Введем обозначения: — число молей газа; R — универсальная газо-
вая постоянная.
Движущийся поршень обладает кинетической энергией, которая численно равна работе, совершенной поршнем над газом. При максимальном сжатии
поршень остановится. В этом состоянии внутренняя энергия газа увеличится на
величину совершенной работы. Поскольку система теплоизолирована, то на основании первого начала термодинамики можно записать:
.
2
3
22
3
или
1
2
21
RT
Mv
RTUAU
Число молей определим из уравнения Менделеева-Клапейрона:
.,
RT
pV
RTpV
Отсюда:
.
3
1
2
1
pV
Mv
TT
31. Введем обозначения:
кв
v
– средняя квадратичная скорость молекул;
R — универсальная газовая постоянная; g — ускорение свободного падения.
По определению средней квадратичной скорости молекул имеем:
70
RT
v
3
кв
.
По условию задачи пары можно считать идеальным газом, а температура
паров металла определяется средней квадратичной скоростью атомов. Тогда
искомая температура паров металла будет равна:
.
3
2
кв
R
v
T
Движение атомов металла после вылета из трубки можно рассматривать
как равномерное движение по горизонтали и свободное падение по вертикали,
следовательно,
.
2
,
2
кв
2
v
L
g
h
t
gt
h
Откуда находим:
.
6
,
2
2
кв
Rh
gL
T
h
g
Lv
32. Введем обозначения: R — универсальная газовая постоянная.
После того как шарик после многочисленных соударений с молекулами
газа и со стенками сосуда остановится, изменение внутренней энергии газа будет равно разности начальной кинетической энергии шарика и количества тепла, затраченного на нагрев самого шарика:
.
2
2
Tcm
mv
U
Отсюда:
.
2
3
2
2
Rcm
mv
T
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]