Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинированные задачи по физике с решениями. Задачник
.pdf
101
.
2
2
2
m
IBltkA
Отсюда:
.
2km
IBlt
A
58. Введем обозначения: х0 — величина растяжения пружины в статическом состоянии под действием силы тяжести перемычки; А — амплитуда колебания перемычки; Т — период колебания перемычки; V
max
— максимальная
скорость движения перемычки при колебаниях; — ЭДС индукции; g — ускорение силы тяжести.
Если при движении перемычки в однородном магнитном поле с индукци-
ей В перемычка перемещается за время t на расстояние х, то она пересекает
магнитный поток:
.cos xBlФ
Подставляя это выражение в формулу закона электромагнитной индукции
и учитывая, что:
,V
t
x
а = 0, получим для ЭДС индукции, возникающей на концах перемычки,
ε=
.lVB
t
Ф
(1)
Для определения периода колебаний воспользуемся законом сохранения
энергии для системы тел, состоящей из перемычки, пружины и конденсатора.
Примем начало отсчета потенциальной энергии перемычки в момент, когда ее
смещение максимально и скорость движения равна нулю. Тогда в этот момент
времени энергия системы тел будет равна только энергии деформированной
пружины:
W1 =
.
2
2
0
пр
xAkW
102
В момент прохождения перемычкой состояния равновесия энергия системы тел W2 будет равна сумме:
,
222
22
max
2
0
2
εCmVkx
mgAW
где
mgAW
п
— потенциальная энергия перемычки на высоте, равной ампли-
туде колебаний;
2
2
0
пр
kx
W
— потенциальная энергия растянутой на х0 пружины;
2
2
max
mV
W
k
— кинетическая энергия перемычки;
2
2
C
W
C
— энергия заряженного конденсатора.
Согласно закону сохранения энергии:
W1=W2.
Тогда:
2
2
0
xAk
.
222
22
max
2
0
CmVkx
mgA
(2)
Статическое смещение х0 определим из условия равновесия:
.,
00
k
mg
xmgkx
(3)
Подставляя выражения (1) и (3) в закон сохранения энергии (2) и проведя
несложные математические преобразования, получим:
.
222
max
2
lCmVkA
Из уравнения гармонического колебания для скорости перемычки следует, что:
.
2
max
T
AV
Тогда из этого соотношения получим:
103
.
4
2
2
2
max
2
T
V
A
Отсюда:
.2
,
4
22
22
2
2
2
max
2
k
lCm
T
lCm
kT
V
kA
59. Введем обозначения: – ЭДС индукции; Ф — магнитный поток; v —
скорость падения кольца; I — сила тока в кольце.
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения
энергии. По условию задачи скорость кольца постоянна. Это значит, что
уменьшение потенциальной энергии кольца при падении должно сопровож-
даться выделением джоулева тепла. Следовательно, если за время t кольцо
опускается на высоту h, то по закону сохранения энергии:
.
,
2
2
RImgv
tRIhmg
Установившуюся силу тока в кольце определим из законов электромагнитной индукции (ЭМИ) и Ома. Согласно закону ЭМИ ЭДС, возбуждаемая в
кольце, по модулю равна:
=
t
Ф
.
Магнитный поток, принизывающий кольцо при падении:
.1
44
0
22
hB
d
B
d
BSФ
Тогда:
=
,
44
0
2
0
2
vB
d
t
h
B
d
t
Ф
104
и по кольцу идет ток:
I= /R=
.
4
0
2
R
vBd
Отсюда:
.
16
22
0
42
Bd
Rmg
v
60. Введем обозначения: v — максимальная (начальная) скорость движе-
ния стержня после разрядки конденсатора; h — высота подъема стержня; q —
величина заряда, прошедшего через стержень при разрядке конденсатора; t —
время разрядки конденсатора.
Угол отклонения проводов от положения равновесия найдем, воспользовавшись одним из самых фундаментальных законов природы — законом сохранения энергии. Увеличение потенциальной энергии стержня происходит за
счет убыли его кинетической энергии.
.cos1
2
2
mgLmgh
mv
Отсюда:
.
2
1cos
2
gL
v
(1)
При кратковременном прохождении тока по стержню после разрядки
конденсатора он получит со стороны магнитного поля импульс силы Ампера:
,BlIF
который по второму закону Ньютона должен быть равен изменению импульса
стержня в горизонтальном направлении:
.,,, CUqmvBlqtIqmvtIBl
105
Так как время разрядки конденсатора мало, то можно считать, что мало
также и происходящее за это время смещение стержня от положения равновесия. Следовательно, начальная скорость движения стержня будет равна:
.
m
BlCU
v
(2)
Подставляя (2) в (1), найдем искомый угол отклонения проводов от вертикали:
.
2
1arccos
2
2
gLm
BlCU
61. Введем обозначения: е — заряд электрона; v — скорость падения пла-
стины; С — емкость конденсатора; 0 — электрическая постоянная; S — площадь поверхности пластины; t — время; I — сила тока; g — ускорение свобод-
ного падения.
На электроны, движущиеся вместе с пластиной, со стороны магнитного
поля будет действовать сила Лоренца:
,evBF
которая вызовет смещение электронов внутри пластины и их перераспределение. Такое смещение приведет к возникновению внутри пластины электрического поля, направленного перпендикулярно поверхности пластины и будет
происходить до тех пор, пока сила Лоренца не уравновесится силой, с которой
возникшее электрическое поле действует на электроны:
., vBEeEevB
Между плоскостями пластины возникнет разность потенциалов:
.vBdEdU
По условию задачи пластина тонкая. Это означает, что электрическое поле внутри пластины можно считать однородным, а саму пластину — плоским
конденсатором с зарядом обкладок:
106
.
2
0
2
00
BvRvBd
d
R
vBd
d
S
CUq
Из полученного выражения видно, что заряд на поверхности пластины
зависит от ее скорости движения. Поэтому при ускоренном падении пластины
заряд будет возрастать. Следовательно, при увеличении скорости пластины в
ней возникнет в направлении перпендикулярном поверхности пластины электрический ток:
.
2
0
2
0
BaR
t
vBR
t
q
I
На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера, которая
в нашем случае будет равна:
BldF
A
и направлена вертикально вверх. Следовательно, при падении пластины
на нее кроме силы тяжести будет действовать еще сила Ампера. Второй закон
Ньютона в этом случае для падающей пластины примет вид:
.
2
0
2
daRBmgBldmgFmgma
A
Отсюда искомое ускорение:
.
1
2
0
2
m
dRB
g
a
62. Введем обозначения: m — масса частицы; q — заряд частицы; W —
кинетическая энергия частицы; v
B —
скорость движения частицы в магнитном
поле; v
E —
скорость движения частицы только в электрическом поле (в отсут-
ствии магнитного).
Рис. 52
107
Найдем кинетическую энергию частицы W1, которую она имела до момента наложения электрического поля, вращаясь по окружности:
2
2
1
B
mv
W
.
Квадрат модуля вектора скорости
B
v
, который по условию задачи всегда
будет направлен по касательной к окружности (траектории движения), можно
определить из второго закона Ньютона для вращающейся частицы:
.,
2
2
2
2
m
qBv
v
R
mv
qBv
BB
Тогда кинетическая энергия частицы в магнитном поле будет равна:
.
2
2
1
m
qBv
W
B
При наложении электрического поля заряженная частица начнет ускоряться
в направлении вектора напряженности электрического поля, поэтому будет двигаться по винтовой линии с увеличивающимся шагом, а векторы
B
v
и
E
v
при этом
всегда будут взаимно перпендикулярны (рис. 52). Ускорение, с которым частица
будет перемещаться в направлении вектора напряженности электрического поля
по оси винтовой линии, найдем из второго закона Ньютона:
.,
m
qE
amaqE
При этом скорость движения частицы в направлении вектора
E
через
время t станет равной:
.t
m
qE
atv
E
Тогда квадрат модуля результирующей скорости движения частицы по
винтовой линии можно определить по правилу сложения векторов:
.
2
2
2
2
222
2
m
qEt
m
qBv
vvv
B
EB
108
Кинетическая энергия частицы через время t станет равной:
.
22
22222
2
2
2
m
tERBq
mv
W
По условию задачи должно выполняться равенство:
W2 = 2W1,
следовательно,
.
,2
,
2
2
2
2
22
222222
22222222
E
B
R
E
RB
t
RBtERB
m
RBq
m
tERBq
63. Введем обозначения: е — заряд электрона; v — линейная скорость
движения электрона в стержне при колебаниях; Е — напряженность электрического поля в стержне.
При колебаниях стержня в магнитном поле на свободные электроны будет действовать сила Лоренца. Под действием этой силы будет происходить периодическое перераспределение зарядов, которое приведет к появлению в
стержне электростатического поля, направленного вдоль стержня. Перераспределение зарядов в стержне будет происходить до тех пор, пока сила Лоренца не
уравновесится силой, с которой возникшее электрическое поле действует на
электроны:
.,tхeEevB
Линейная скорость электронов в стержне будет зависеть от их положения
относительно точки подвеса (координата х) и времени:
.cos
0
xtxv
Отсюда следует, что электростатическое поле в стержне также будет являться функцией координаты и времени:
109
.cos,
0
tBxvBtxE
Разность потенциалов между концами стержня можно определить по
формуле, связывающей напряженность и потенциал:
.sin
2
cos,
0
2
0
0
0
tB
L
xdtBxdxtxE
LL
Очевидно, что искомая максимальная разность потенциалов между концами стержня тогда будет равна:
.
2
0
2
max
B
L
64. Введем обозначения: е — заряд электрона; m — масса электрона; Е —
напряженность электростатического поля; v — скорость электронов; U —
напряжение на обкладках конденсатора; С — электроемкость конденсатора;
0 — электрическая постоянная.
По условию задачи вектор скорости потока электронов перпендикулярен
вектору индукции магнитного поля. Следовательно, на движущиеся в потоке
электроны будет действовать сила Лоренца:
evBF
л
,
отклоняющая их на обкладку конденсатора. Это приведет к появлению электрического заряда на обкладке конденсатора и возникновению электростатического поля внутри конденсатора, которое будет оказывать силовое воздействие
на электроны в противоположном направлении. Электроны перестанут накапливаться на обкладке конденсатора, когда эти силы будут равны по модулю:
., vBEeEevB
(1)
Скорость электронов найдем из закона сохранения энергии:
.
2
,
2
2
0
m
eU
v
mv
eU
110
Воспользуемся далее известными соотношениями электростатики для
плоского конденсатора:
.,,
0
d
S
C
U
q
C
d
U
E
Тогда, принимая во внимание выражение (1), получим:
.
2
,,,
0
0
0
00
SB
m
eU
q
SvBq
S
qd
vBd
S
qd
C
q
EdU
2.4. Механика, оптика, атомная и ядерная физика
65. При движении ведра с медленно увеличивающимся ускорением в го-
ризонтальном с точки зрения неподвижного наблюдателя направлении жидкость будет монотонно перемещаться внутри ведра. Когда же ускорение перестанет изменяться, прекратится и движение жидкости относительно ведра, а ее
поверхность не будет горизонтальной.
Чтобы найти форму поверхности жидкости при движении ведра с посто-
янным ускорением, воспользуемся инерциальной декартовой системой координат, ось Х которой совпадает с направлением ускорения а, ось У направлена горизонтально, а ось Z направлена вертикально вниз. Мысленно выделим внутри
жидкости объем массой m, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда
с ребрами, параллельными осям выбранной системы координат. На грани этого
объема со стороны остальной части жидкости могут действовать силы, направленные только перпендикулярно этим граням внутрь выделенного объема, так
как жидкость обладает свойством текучести. Поскольку ускорение всех точек
этого объема одинаково и направлено вдоль оси Х, разность сил давления на
боковые грани, перпендикулярные этой оси, должна быть равна ma; на боковые
грани перпендикулярные оси У равна нулю; на нижнюю и верхнюю грани —
силе тяжести тg. Следовательно, давление внутри жидкости не зависит от координаты у. Если считать, что высота выделенного объема z достаточно мала,
то давление р(х) во всех точках грани, перпендикулярной оси Х, можно считать
постоянным, а разность сил давления на заднюю и переднюю грани в соответствии со вторым законом Ньютона можно представить в виде:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]