Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинированные задачи по физике с решениями. Задачник
.pdf
111
zyxxpxpma )]()([
.
Будем считать плотность жидкости постоянной и равной р, так как иное
специально не оговорено в условии задачи. Тогда из предыдущего соотношения
получим:
)()( xxpxpxpa
.
Записав уравнение движения выделенного объема жидкости в проекциях
на ось Z при условии, что длина ребра х достаточно мала, можно доказать, что
давление в жидкости в рассматриваемом случае по мере увеличения координаты z на величину z увеличивается по закону:
zpgzpzzp )()(
.
Следовательно, давление внутри слоя жидкости, все точки которого име-
ют одинаковую координату z, должно возрастать по линейному закону по мере
удаления от передней стенки ведра к задней, а все точки поверхности жидкости, имеющие одинаковую координату х, должны лежать на прямых, параллельных оси У. Образованная этими прямыми поверхность жидкости в ведре,
движущемся с постоянным ускорением а, имеет вид части плоскости, образу-
ющей с плоскостью z=
сonst
такой угол, что
1tg
g
a
.
На рис. 53 показано сечение ведра вертикальной плоскостью, проходящей
через ось ведра параллельно его ускорению а. Поскольку ведро было наполнено жидкостью лишь наполовину и высота ведра h превышает его диаметр d в
полтора раза, то при а = g жидкость не будет выливаться из ведра, а ее поверхность будет пересекать ось ведра на расстоянии 0,5h от дна. На этом же рисунке
сплошной линией со стрелкой показан ход луча, испускаемого лазером Л. При
построении предполагалось, что показатель преломления n не зависит давления
в жидкости, и выполняются законы прямолинейного распространения и преломления света, так как ускорение ведра достаточно мало.
Рис. 53
112
Поскольку стенки ведра полностью поглощают падающий на них свет, то
свет не будет выходить из ведра, если преломленный луч попадет на стенку. Из
рисунка видно, что это будет иметь место, если угол между преломленным
лучом и вертикалью, равный разности углов преломления и падения , будет
удовлетворять соотношению
3
2
h
d
tg
. По определению показатель преломле-
ния
sin
sin
n
. Следовательно,
.4,1
13
5
)/(1
/
)/(1
1
ctgsincos
sin
sincoscossin
sin
)sin(
22
dh
ag
hd
n
66. Будем считать, что диаметр линзы существенно меньше ее фокусного
расстояния, т.е. будем решать задачу в параксиальном приближении. Поэтому
можно считать, что выходящие после преломления в собирающей линзе лучи
от точечного источника, помещенного в главном фокусе линзы, параллельны
главной оптической оси линзы. Учитывая, что по условию задачи главная оптическая ось линзы перпендикулярна передней грани призмы, а радиус линзы,
судя по рис. 57, больше размеров этой грани, следует считать, что вся призма
полностью залита светом и падающий на нее пучок проходит через переднюю
грань, не изменяя направления своего распространения.
Согласно закону преломления, с учетом принятых на рис. 54 обозначений, можно утверждать, что выходящие из призмы лучи образуют с падающими на призму лучами угол
, причем
sinsin n
. По условию задачи
.1
Рис. 54
Вспоминая, что синус малого угла примерно равен самому углу, измеренному в радианной мере, получим
)1(n
. Интерференционная картина
113
может наблюдаться только в области перекрытия падающих на экран Э лучей,
т. е. согласно обозначениям на рис. 54 на отрезке длиной L Поскольку экран
перпендикулярен главной оптической оси линзы, то его поверхность параллельна волновому фронту света, прошедшего через линзу. Следовательно, разность фаз колебаний, создаваемых лучами, попадающими на экран, минуя
призму, во всех точках экрана, равна нулю. Поэтому, если в точке А на экране
наблюдается интерференционный максимум, то в точке В будет наблюдаться
ближайший к нему интерференционный максимум, если разность хода l лу-
чей, прошедших через призму и попадающих в указанные точки, равна . Следовательно, ширину x интерференционной полосы можно найти из соотно-
шения:
sinx
Δ
.
При удалении экрана от призмы со скоростью v размер L области интерференции за время t увеличивается на:
tgΔΔ tvL
.
Согласно условию задачи число интерференционных полос на экране
должно увеличиваться на N штук в расчете на единицу времени. Следовательно, должно выполняться соотношение:
.
cos
sin
ΔΔ
Δ
2
v
tx
L
N
Поскольку по условию задачи
,1x
то и:
1)1( n
,
а потому искомую скорость движения экрана можно считать равной:
22
)1(
n
N
v
.
114
67. По условию задачи рассматриваемые события происходят в пасмур-
ный безветренный день. Поэтому можно считать, что границы воздух — масло
и масло-вода совпадают с горизонтальными плоскостями, а лужа освещается
рассеянным белым светом. Изменение же цвета лужи обусловлено явлением
интерференции света, отражающегося от указанных границ. Учитывая малый
размер зрачка глаз человека по сравнению даже с минимально возможным расстоянием от глаз до поверхности лужи, попадающие в глаз человека световые
лучи следует считать параллельными. Согласно рис. 55, а эти лучи образуют с
горизонтом угол , определяемый соотношением
s
h
tg
.
Рис. 55
На рис. 55 показаны два из регистрируемых человеком луча. Первый луч
возникает при отражении от верхней, а второй — от нижней поверхности масляной пленки. Поскольку показатель n преломления масла больше не только
показателя преломления воздуха (n
вз
1), но и показателя преломления воды, то
на верхней границе масла разность фаз падающего и отраженного света равна
, а на нижней границе масла она равна нулю. Другими более плотной среды
происходит «потеря половины длины волны» падающего света. Поэтому величину разности хода между лучами 1 и 2, возникающими при отражении луча,
падающего на пленку масла под углом
2/
к вертикали, в соответствии с
обозначениями на рис. 58, б можно вычислить по формуле:
2
sintg2
cos
2
d
nd
Δ
,
где d — толщина масляной пленки, а угол согласно закону преломления
определяется из соотношения: sin
sinn
. С учетом этого соотношения фор-
мулу для вычисления разности хода можно представить в виде:
115
2
cos2
22
nd
Δ
.
Вспоминая условия образования максимумов в интерференционной картине и учитывая, что пленка масла по условию задачи является очень тонкой,
можно утверждать, что цвет лужи, когда человек находится от нее на расстоянии s, должен соответствовать такой длине волны света (s), что
)()( ss
Δ
.
Следовательно, когда человек первоначально заметил лужу, т. е. при s
(или
0
), должно было выполняться соотношение:
c
nd 14
2
,
а в тот момент, когда кажущийся человеку цвет лужи стал зеленым, попадающие в глаз человека лучи образуют с горизонтом такой угол
3
, что:
.351,0)1(cos
3
22
3
2
c
nn
Следовательно, человек увидел лужу зеленой, когда он подошел к ней на
расстояние:
.м36,1
1cos
ctgα
3
2
3
h
hs
68. Учитывая, что Солнце удалено от Земли на весьма значительное рас-
стояние, падающие на линзу лучи света можно считать практически параллельными. После преломления линзой эти лучи пересекаются в ее главном фокусе f.
На поверхности доски, расположенной перед этим фокусом, лучи образуют
световое пятно конечного диаметра (рис. 56).
Рис. 56
116
Обозначив через D диаметр линзы, из подобия треугольников находим, что:
df
fD
.
Поскольку по условию потерями световой энергии в линзе можно пренебречь, полная световая мощность
,4/2IDN
падающая на поверхность линзы,
равна световой мощности
4/
1
2
1
IN
в пятне. Следовательно, мощность излу-
чения, проходящая через единичную площадку на поверхности доски,
2
2
1
df
f
I
D
II
.
За время в световом пятне площадью S на поверхности доски выделится энергия:
Q=SI1,
которая пойдет на нагревание дерева. Из уравнения теплового баланса следует, что:
Q=ρhSc(T1-T0).
Из двух последних уравнений следует, что время будет определяться по
формуле:
.
)(
1
01
SI
TThSc
69. Ход одного из лучей, образующий световой пучок, изображен на
рис. 57, где через обозначен угол падения луча на посеребренную поверхность линзы. Видно, что
Rd /sin
.
Рис. 57
117
Угол падения отраженного от посеребренной поверхности луча на плоскую поверхность линзы составляет 2. По закону преломления
.2sinsin n
Используя тождество
,cossin22sin
получаем ответ:
.1
2
arcsin
2
2
R
d
R
dn
70. Световой поток, идущий в единичном телесном угле, по всем направ-
лениям один и тот же. Обозначим через световой поток, идущий в единичном телесном угле и попадающий на единичную площадки линзы или дна под
отверстием. В отсутствие линзы на дно попадают лучи, идущие в телесном угле
2
отв
/Ω hS
. Следовательно, световой поток в этом случае равен
отв1
ΩΦ S
, а
освещенность дна под отверстием равна:
.Ω
Φ
2
отв
отв
1
1
h
S
S
Ε
Линза собирает в своей фокальной плоскости на дне ящика на площадке
площадью S все лучи, идущие в телесном угле
2
/ hS
. Такие лучи «несут»
световой поток
отв2
Φ S
, так что освещённость изображения неба в этом
случае равна:
./Φ
2
отв
22
h
S
S
Ε
Мы видим, что Е1=Е2, т. е. освещенность дна ящика под отверстием не
меняется.
71. Обозначим через Е0 освещенность поверхности линзы и через S пло-
щадь этой поверхности. Тогда падающий на линзу световой поток Ф определяется формулой Ф=Е0S. Попадая на изображение площадью S1, этот световой
поток создает освещенность
.
Φ
1
0
1
S
S
S
ΕΕ
Площадь изображения S1 зависит от фокусного расстояния линзы. Обозначим через угол между пучками лучей, идущих от крайних точек Солнца.
118
Так как этот угол мал (
008,0
), то d=F и
.
44
222
1
Fd
S
Поэтому
.
4
22
0
F
S
ΕΕ
Если линзу разрезать по диаметру и сложить плоскими сторонами, то
площадь линзы уменьшится вдвое:
.
2
'
S
S
Фокусное расстояние тоже умень-
шится вдвое (оптические силы линз складываются):
FFF
D
11
'
1
, или
FF
2
1
'
.
Следовательно, освещенность изображения Солнца станет равной
.
2
1
2
'
2
2
0
F
S
ΕΕ
Очевидно, что
2'
. Таким образом, освещенность изображе-
ния увеличивается вдвое.
72. Обозначим через D оптическую силу линзы. Когда человек поворачи-
вается лицом к птице, он видит ее мнимое изображение. По формуле линзы:
D
fD
3
11
. (1)
Одно из изображений птицы, которое видно, когда человек стоит спиной
к ней, получается из-за отражения на обращенной к человеку поверхности очков, а второе — при отражении от второй поверхности. При этом лучи должны
пройти сквозь линзу, отразиться от зеркальной поверхности, а затем еще раз
пройти линзу. Это означает, что второе изображение создано оптической системой «линза — зеркало — линза». Оптическая сила этой системы равна
,
2
2
2
'
R
DD
R
DD
где R - радиус задней поверхности очков.
Предположим, что изображение, получающееся в результате отражения
от передней поверхности линзы, находится на расстоянии 5 м, тогда эта поверхность должна быть плоской, так как d = 5м.
Для второго изображения в этом случае имеем:
.
2
2'
11
2
R
DD
fd
(2)
119
Учитываем (1), получаем:
.
1122
23
fdfR
Так как для линзы:
rR
nD
11
)1(
,
(где R и r= — радиусы поверхностей линзы), то:
.
2
14
2
11
)1(
11
233
fdf
n
fd
Подставляя сюда значения R2, f3 и d, находим: n = 1,5.
Если предположить, что после отражения от передней поверхности линзы
изображение оказывается на расстоянии 5/7м, и провести соответствующие вычисления, то придем к нелепому результату: n = 0,75.
73. Пренебрежем расширением пучка и будем считать, что размер зайчика
совпадает с размером зеркала. В этом случае освещенность зайчика равна освещенности Е0 зеркала. Освещенность пятна при наложении n зайчиков равна:
Е1=nE0.
Сравним эту освещенность с освещенностью в фокальной плоскости линзы. На линзу падает световой поток:
.
4
0
2
0
dS
Диаметр изображения Солнца в фокальной плоскости линзы равен
. FD
Поэтому освещенность изображения равна:
0
22
0
900)/(/ EfdESE
.
120
Найдем отношение освещенностей:
900/
0
EE
.
Это означает, что получаемая с помощью плоских зеркал освещенность
меньше освещенности изображения Солнца в фокальной плоскости линзы.
Следовательно, указанное в условии задачи число воинов недостаточно для того, чтобы зажечь корабль.
74. Сначала перейдем в систему отсчета, связанную с линзой, и найдем
скорость изображения. В этой СО источник приближается к линзе со скоростью
v=3 мм/с. Из формулы линзы видно, что действительное изображение будет от
линзы удаляться. Чтобы найти его скорость и, запишем формулу линзы для положения источника и изображения через малое время Δt:
Ftuftvd
111
.
Умножим числитель и знаменатель первого члена на d + vΔt, а второго —
на f-uΔt, и отбросим в знаменателях члены, содержащие (Δt)2. С учетом того,
что для начальных положений d и f также выполняется формула линзы, приходим к уравнению
0
22
f
tu
d
tv
,
т. е.:
2
2
2
Fd
F
d
f
v
u
.
В данном случае скорость изображения (в СО, связанной с линзой) в
25 раз больше скорости источника: и = 25v. Значит, скорость изображения относительно источника равна 24v = 72 мм/с. Поскольку в первоначальной СО
источник неподвижен, это и есть скорость изображения.
75. Поскольку для энергии и импульса каждого фотона выполняется со-
отношение
cp /ф
, такое же соотношение верно для энергии и импульса всего
излучения:
cPcEp //
, где Р — мощность лазера, — длительность излуче-
ния. Запишем закон сохранения импульса для системы фольга + излучение,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]