Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинированные задачи по физике с решениями. Задачник
.pdf
51
Рис. 39
Давление газа под поршнем будет равно сумме давлений, атмосферного
воздуха — р0, давления, созданного весом поршня —
S
mg
и силы давления
стержня на поршень, равной по модулю силе реакции поршня на стержень: —
.
1
S
N
Тогда уравнение состояния для газа будет иметь вид:
.;
1
0
1
0
R
hS
S
N
S
mg
p
TRThS
S
N
S
mg
p
Для нахождения силы N1 воспользуемся уравнениями законов механики,
определяющими условия равновесия тел, имеющих ось вращения. На стержень
действуют четыре силы: сила тяжести mg, приложенная в середине стержня,
сила реакции поршня N1, N2 — сила реакции цилиндра и сила трения F
тр
= N1.
Тогда уравнение проекций сил на горизонталь примет вид:
,0sin2 NF
тр
,0sin21 NN
а уравнение проекций на вертикаль:
.0cos
21
mgNN
Из условия задачи следует, что:
52
.sin
lL
hH
В этой системе трёх уравнений четыре неизвестных величины: N1, N2, и
. Чтобы решить полученную систему и найти силу N1 составим уравнение мо-
ментов сил относительно точки касания стержня и цилиндра:
0cos
2
coscos
2
211
hHF
lL
mlLN
l
gm
тр
.
В этом уравнении:
121
;; NFlL
L
m
m
L
ml
m
тр
.
Силу тяжести стержня, относительно точки опоры N2, условно разделим
на две части:
1
m
и
2
m
.
Подставляя эти выражения в уравнение моментов, получим:
.011
1
2
2
1
2
2
NlL
L
m
lL
hH
lLN
lL
hH
L
gml
Отсюда:
.
1
1
2
2
2
2
1
lL
hH
lLhH
lL
L
m
lL
hH
L
gml
N
Температура газа под поршнем, следовательно, будет равна:
.
1
1
2
2
2
2
0
R
h
lL
hH
lLhH
lL
L
m
lL
hH
L
gml
mgSpT
53
19. Введем обозначения: R — универсальная газовая постоянная; g —
ускорение свободного падения.
Трубка может находиться в сосуде с водой в устойчивом вертикальном
положении только в том случае, если центр масс трубки с ртутью хС будет
находиться ниже точки приложения выталкивающей архимедовой силы, приложенной, как известно, к центру масс погруженной в жидкость части тела:
2
lL
(массой газа, находящегося в трубке под столбиком ртути, пренебрегаем). Незначительное отклонение трубки от вертикали приводит к появлению вращающего момента пары сил, возвращающего трубку в вертикальное положение
(рис. 40). Таким образом, устойчивость вертикального положения трубки может быть нарушена только при смещении точки центра масс трубки с ртутью
вверх до точки приложения архимедовой силы, когда вращающий момент пары
сил станет равным нулю.
Рис. 40
Изменение положения центра масс системы «стеклянная трубка + столбик ртути» можно достичь, только изменяя положение столбика ртути в трубке,
например, нагревая всю систему. В этом случае изобарическое нагревание воздуха, находящегося под трубкой, будет сопровождаться увеличением объёма,
занимаемого воздухом и, следовательно, смещением столбика ртути вверх к
точке приложения архимедовой силы.
Определим положение (от нижнего конца трубки) центра масс системы
«стеклянная трубка + столбик ртути» до нагрева:
.
2
3
2
2
lSM
Sl
L
M
x
C
54
Как следует из наших выводов, устойчивость вертикального положения
трубки может быть нарушена при выполнении условия:
.
2
3
2
2 lSM
xllS
L
M
lL
Δ
(1)
Следовательно, если при нагреве всей системы столбик ртути в трубке
сместится вверх на х, то устойчивость вертикального положения трубки будет
нарушена.
Запишем уравнения состояния для воздуха до и после нагрева до температуры Т:
.;
0
00
0
0
RT
m
SxlglpRT
m
lSglp
Δ
Разделив первое уравнение на второе, получим:
,
0
T
T
xl
l
Δ
Откуда:
.
0
l
xlT
T
Δ
(2)
Из уравнения (1) определим х и подставим его в выражение (2):
.23
2
xLSSlMlSlMlL
Δ
.
2 S
MlLS
x
Δ
.
2
2
0
0
lS
MlLS
T
l
S
MlLS
lT
T
20. Введём обозначения: Q — количество тепла, которое можно сооб-
щить газу, не нарушая равновесия сосуда; U — изменение внутренней энергии
газа; А — работа, совершённая газом над поршнем при перемещении поршня на
расстояние х; V — изменение объёма газа; р — давление идеального газа в
правой части сосуда.
55
Устойчивость на столе сосуд будет сохранять до тех пор, пока результирующий вектор силы тяжести, приложенный к точке центра масс системы, не
выйдет за пределы плоскости стола при смещении поршня влево на х в процессе нагрева и изобарного расширения газа (рис. 41).
Рис. 41
Искомое количество тепла будем определять из первого начала термодинамики:
.ΔΔ AUQ
(1)
Изменение внутренней энергии двухатомного газа:
.
2
2
2
5
2
5
2
5
2
0
xa
a
g
pVpTRU
ΔΔΔΔ
В этом выражении учтено, что давление газа в правой части сосуда будет
равно сумме атмосферного давления и среднего бокового гидростатического
давления столба жидкости высотой
2
a
в левой части сосуда. В процессе расши-
рения газа поршень будет смещаться влево и выталкивать излишек воды через
сливное отверстие наружу. Поэтому гидростатическое давление будет оставаться постоянным.
Работа, совершаемая газом над поршнем, будет равна:
VpA
.
2
2
2
0
xa
a
g
p
Δ
56
Первое начало термодинамики (1) теперь можно записать в виде:
.
2
2
2
7
2
0
xa
a
g
pQ
ΔΔ
(2)
Определим горизонтальную координату центра масс системы в начальном положении поршня (отсчёт от правого конца сосуда):
dL
a
mM
dLa
mM
L
adL
mM
La
adLL
m
L
M
X
C
4
4
3
2
22
4
3
2222
2
2
2
и в конечном его положении:
.
2
2422
2
2
2
1
ba
mM
b
Lxa
adL
x
L
m
L
M
X
C
ΔΔ
Определим b — длину участка сосуда, занятого водой в конечном положении поршня (см. рис. 7).
Оставшийся в сосуде объём воды должен быть равен разности начального
объёма воды и объёма сосуда, на который увеличился газ при расширении, т. е.
.
24
2
2
2
ab
xa
adL
Δ
Отсюда:
.22x
dL
b
Δ
.
2
2
2
4422
2
2
2
1
a
x
dL
mM
x
dL
Lxa
adL
x
L
m
L
M
X
C
Δ
ΔΔΔ
57
Предельно допустимое значение
1
С
Х
для сохранения равновесия сосуда на
столе не должно превышать расстояния, допустим, равного 3L/4. Таким образом,
для нахождения х получим уравнение:
1
С
Х
= 3L/4, решая которое, получим:
.
32
6476855
2
22
a
MmLaLaLa
x
Δ
Подставляя полученное выражение в (2), получим:
.
2
2
64
456476857
0
22
a
g
p
mLaMmLaLa
Q
Δ
21. Ведём обозначения: L — длина сосуда; Т — температура газа; —
число молей газа; R –универсальная газовая постоянная; g — ускорение свободного падения; х — величина смещения поршня (рис. 42).
Рис. 42
При нагреве газа поршень будет смещаться влево, в результате уровень
воды в левой половине сосуда вначале будет возрастать до достижения уровня
выходного отверстия, после чего она начнёт выливаться до тех пор, пока вся из
сосуда не выльется и поршень не остановится у левой стенки сосуда. Следовательно, процесс расширения газа необходимо разделить на два этапа. На первом этапе расширение газа будет происходить при переменном давлении, которое будет возрастать вследствие увеличения гидростатического давления столба жидкости в левой части сосуда от уровня а/2 до уровня а. На втором этапе
процесс расширения газа уже будет изобарическим при гидростатическом дав-
лении равном р2 = ga/2. Поэтому искомое количество тепла будем определять
как сумму Q = Q1 + Q2, где Q1 и Q2 — количества тепла, сообщаемое газу на
первом и втором этапах нагрева соответственно.
58
На первом этапе нагрева газа часть теплоты, подводимой к газу, будет идти на увеличение его внутренней энергии, часть — на совершение работы по
увеличению потенциальной энергии воды в левой части сосуда. Поэтому процесс теплопередачи на первом этапе нагрева будет описываться уравнением
первого начала термодинамики:
.
111
AUQ
(1)
Внутренняя энергия идеального газа есть функция состояния, и ее изменение не зависит от вида процесса, а определяется лишь изменением температуры. Следовательно:
U1 =
2
5
R (T1 — T0). (2)
Температуру газа Т1 в конце первого этапа нагрева определим, решая систему уравнений Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний газа:
.
2
,
22
2
1
2
0
2
0
RTaxL
ga
RT
La
a
g
p
Δ
.
24
2
0
0
1
Lga
p
Tx
L
ga
T
Δ
В этих уравнениях учтено, что давление газа в первом состоянии будет
определяться суммой среднего давления столба воды высотой a/2 на боковую
поверхность, т.е. на поршень, и атмосферного давления, а во втором — только
средним гидростатическим давлением; х — величина смещения поршня от
положения равновесия до положения, при котором левую часть сосуда будет
занимать только вода, которую легко определяем из условия равенства объёмов
воды в начале и конце первого этапа нагрева:
.
24
2
2
ax
LLa
Δ
59
Отсюда:
4
L
x
, тогда:
.
4
3
0
0
1
gap
gaT
T
Подставим полученное значение температуры в выражение (2), получим:
.1
4
3
2
5
0
01
gap
ga
TU
Δ
Чтобы вычислить работу расширения газа при переменном давлении с
помощью формулы A=p(V1 –V0), нужно определить среднее давление газа при
изменении объёма газа от V0 до V1. Поскольку давление изменяется пропорционально смещению поршня, то:
,
2
21
pp
p
ср
где р1 и р2 — давления газа в начале и конце рассматриваемого перемещения.
По условию задачи:
.
2
,
42
2
2
001
ga
p
ga
p
a
g
pp
Тогда среднее давление: р
ср
=
.
8
34
0
gap
Работу газа на первом этапе нагрева теперь определим по формуле:
.
32
34
24
3
8
34
0
222
0
gapLaLaLagap
Подставляя найденные выражения для работы газа и изменения внутренней энергии в выражение (1), получим:
.
32
34
1
4
3
2
5
0
2
0
01
gapLa
gap
ga
RTQ
Δ
60
На втором этапе нагрева часть подводимого тепла также будет идти на
увеличение внутренней энергии газа, а часть на работу по выталкиванию воды
из сосуда при постоянном давлении, т.е. на работу по преодолению силы тяжести
воды, у которой масса в процессе расширения газа будет непрерывно уменьшать-
ся от значения
4
2
La
до нуля. По закону сохранения механической энергии эта ра-
бота должна быть равна изменению потенциальной энергии воды:
3242
3
gLa
g
am
W
Δ
.
Температуру газа в конечном состоянии системы найдём из уравнения
Менделеева–Клапейрона:
.
2
,
2
3
22
2
R
gLa
TRTLa
ga
Тогда:
.
324
3
22
5
3
0
0
3
22
gLa
gap
gaT
R
gLa
RAUQ
ΔΔ
Искомое количество тепла Q=Q1+Q2, следовательно, будет равно:
.
84
84
4
5
0
2
0
000
3
gap
La
gap
RpTgapgla
Q
Δ
22. Введём обозначения: V — объем газа; S — площадь поршня; х — сме-
щение поршня; R — универсальная газовая постоянная; k — жесткость пружины;
U — внутренняя энергия газа; А — работа газа; Q — количество тепла.
В задаче рассматриваются два состояния одного и того же газа, которые
можно описать с помощью уравнений Менделеева–Клапейрона:
.;
222111
RTVpRTVp
по условию задачи V2=2V1, тогда:
.2
221
RTpV
Выразим V1:
.
1
1
1
p
RT
V
Получим:
.
2
22
1
1
RTp
p
RT
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]