Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинированные задачи по физике с решениями. Задачник
.pdf
91
По мере продвижения шарика вниз на пружине сила упругости будет возрастать и может достичь такой величины, что в сумме с кулоновской силой отталкивания она уравновесит силу притяжения шарика. В этот момент скорость
шарика достигнет своего максимального значения, а ускорение шарика станет
равным нулю:
.0
2
0
0
q
kxmg
Из этого уравнения и рис. 50, в, c следует, что:
.
2
2
0
0
000
k
qmg
lxlh
(1)
Запишем закон сохранения энергии для системы при перемещении шарика из положения а в положение b:
.
222
,
222
0
0
2
0
2
0
0
0
0
q
mgl
mvHq
mgH
mvlq
mgl
Hq
mgH
Отсюда определим длину пружины в недеформированном состоянии:
.
2
2
2
22
0
2
00
0
2
0
0
qmg
mvHqmgH
q
mg
mvHq
mgH
l
Теперь из выражения (1) можно определить искомую высоту:
.
2
2
2
2
0
0
0
2
00
00
k
qmg
qmg
mvHqmgH
xlh
49. Введем обозначения: Е — напряженность поля конденсатора;
и — поверхностная плотность зарядов на обкладках конденсатора до и после
92
повышения напряжения; 0 — электрическая постоянная; g — ускорение свободного падения; U — напряжение на обкладках конденсатора.
На шар, плавающий на поверхности жидкого диэлектрика, действуют три
силы: сила тяжести
gmP
, сила, действующая вертикально вниз со стороны
электрического поля
k
F
и направленная вертикально вверх сила Архимеда
A
F
. В
состоянии равновесия:
,1
22
1
,0
2
1
2
1
21
o
q
mgVg
EEqmgVg
1
2
1
2
0
q
mgVg
. (1)
Напряжение на обкладках конденсатора вначале будет складываться из
напряжения в его воздушном зазоре и напряжения в слое диэлектрика:
.1
2222
2121
dddd
E
d
EUUU
(2)
Подставляя выражение (1) в (2) определим первоначальное напряжение
на конденсаторе:
.
2
2
q
dmgVg
U
Чтобы шар оказался во взвешенном состоянии в жидкости увеличение
напряжения на конденсаторе должно происходить до тех пор, пока возрастающая сила, действующая на шар со стороны электрического поля конденсатора,
в сумме с силой тяжести не уравновесит удвоенную силу Архимеда:
.
,0
0
0
q
mgVg
q
mgVg
(3)
Напряжение на конденсаторе теперь должно быть равно:
93
.2
1
2
2
2222
0
00
211
VdSVdS
S
S
Vd
S
Vd
UUU
Подставляя в это равенство выражение (3), получим:
.2
1
2
2
1
VdSVdS
qS
mgVg
U
Тогда искомое повышение напряжения на конденсаторе составит:
.
2
2
2
1
2
2
1
q
dmgVg
VdSVdS
qS
mgVg
UUU
Δ
50. Ускорение, с которым движутся обе частицы в горизонтальном
направлении вдоль силовой линии, будет определяться как кулоновской силой,
действующей между заряженными частицами, так и кулоновской силой, действующей на каждую частицу со стороны внешнего поля. Таким образом, согласно второму закону Ньютона для каждой частицы можно записать уравнение движения:
.
4
1
,
4
1
2
0
2
0
MaQE
r
qQ
maqE
r
qQ
Решая эту систему уравнений относительно ускорения, получим:
.
mM
qQE
a
Подставляя найденное значение ускорения в одно из уравнений движения
шариков, получим:
.
4
0
qMmQE
MmqQ
r
94
51. Введем обозначения: g — ускорение свободного падения; 0 — электрическая постоянная; С — электроемкость шарика; Е — напряженность поля
конденсатора (рис. 51).
Рис. 51
Движение шарика после упругого соударения с верхней пластиной кон-
денсатора можно рассматривать как результат равномерного движения по
инерции в горизонтальном направлении и равноускоренного движения под
действием силы электрического поля и силы тяжести — в вертикальном
направлении. Определим заряд, который приобретет шарик после соударения с
верхней пластиной конденсатора. После соприкосновения с пластиной конденсатора потенциал шарика станет равным потенциалу пластины, т. е.:
.2.
42
0
0
RUq
R
q
C
qU
Силы тяжести и электрического поля направлены в одну сторону, поэтому в
проекции на вертикальную ось второй закон Ньютона для шарика примет вид:
.
2
,
2
2
0
2
0
md
RU
ga
d
RU
mgqEmgma
Время пролета шариком расстояния d между пластинами конденсатора
определим из уравнения кинематики:
.
2
2
2
22
2
0
2
0
RUmgd
m
d
md
RU
g
d
a
d
t
95
Тогда в момент вылета вертикальная составляющая скорости шарика бу-
дет равна:
,
2
22
2
0
2
0
RUmgd
m
m
RU
gdatv
y
а горизонтальная составляющая скорости vx будет неизменной и равной v0 cos .
Отсюда:
.
22
cos
1
cos
1
2
22
2
0
0
0
2
0
2
0
m
RUmgd
v
vRUmgd
m
m
RUmgd
v
v
tg
x
y
52. Введем обозначения: W — потенциальная энергия электростатическо-
го взаимодействия шариков; а — сторона квадрата; M и m — массы большого и
маленького шариков; v и u — скорости большого и маленького шариков.
По условию задачи заряды всех четырех шариков одинаковы, т. е. на все
шарики будут действовать в состоянии покоя одинаковые по модулю силы.
Вначале разлета шариков ускорение маленьких шариков по второму закону
Ньютона должно в тысячу раз превышать ускорение больших шариков. Это
приведет к тому, что маленькие шарики быстро разлетятся на бесконечность, а
затем будут разлетаться большие, взаимодействуя только друг с другом. Это
обстоятельство дает возможность при вычислении скоростей маленьких шариков большие шарики считать неподвижными.
Определим полную потенциальную энергию кулоновского взаимодействия маленьких шариков до разлета. Она будет равна:
.
4
1
2
1
2
4
2
2
4
1
0
2
0
22
0
1
a
q
a
q
a
q
W
Эта потенциальная энергия при разлете маленьких шариков полностью
перейдет в их кинетическую энергию:
.
2
2
2
1
2
4
2
2
0
2
mu
mu
a
q
(1)
96
Аналогичная ситуация превращения энергии происходит и при разлете
больших шариков. Их потенциальная энергия до разлета, очевидно, будет равна
(помним о том, что маленькие шарики уже успели разлететься на бесконечно
большие расстояния) их кинетической энергии на бесконечности:
2
2
0
2
2
2
24
Mv
Mv
a
q
. (2)
Разделим выражение (2) на (1):
.106,1
,
122
10
2
3
2
u
v
u
v
53. Введем обозначения: Т — сила натяжения проволоки; 0 — электрическая постоянная; g — ускорение свободного падения; q — величина индуцированного заряда на шарике.
По условию задачи шарики соединены проводящей проволокой. Это
означает, во-первых, что потенциалы шариков должны быть одинаковы и, вовторых, суммарный заряд шариков должен быть равен нулю. Найдем величину
и знак индуцированного заряда верхнего шарика. По принципу суперпозиции
потенциал шарика внутри сферы будет равен сумме потенциала поля заряженной сферы и потенциала поля индуцированного заряда:
.
4
1
0
1
r
q
R
Q
По условию задачи длина проволоки велика по сравнению с размерами
шариков. Поэтому нижний шарик можно считать уединенным, и
.
4
1
0
2
r
q
Эквипотенциальность системы, состоящей из проволоки и шариков, дает
основание определить величину и знак индуцированного на верхнем шарике
заряда:
97
.
2
.
,
21
R
Qr
q
r
q
r
q
R
Q
Из закона сохранения заряда следует, что нижний шарик будет иметь
равный по модулю положительный заряд.
На него будут действовать три силы: сила тяжести, сила натяжения проволоки и сила со стороны внешнего электростатического поля. Тогда на основании первого закона Ньютона и равновесия нижнего шарика можно записать
уравнение, из которого определим искомую силу натяжения:
.
2
.
R
EQr
mgqEmgT
mgqET
54. Введем обозначения: — электрическая постоянная; g — ускорение
свободного падения.
После сообщения пластинам конденсатора зарядов на верхнюю пластину
будут действовать три силы: сила тяжести Р=mg, сила электростатического
притяжения со стороны нижней пластины
0
22
0
22
0
2
222
R
S
S
S
q
F
, направ-
ленные вниз, и сила Архимеда
,
2
0
hRgF
A
Δ
направленная вверх. В состоянии
равновесия векторная сумма этих сил должна быть равна нулю или:
.
2
2
0
0
22
2
hRg
R
ghR
Δ
Отсюда искомая глубина погружения верхней пластины:
.
2
00
2
0
g
hh
Δ
2.3. Механика, электродинамика и электромагнетизм
55. Введем обозначения: U0 — напряжение в контактной сети трамвайной
линии; I2 — сила тока, потребляемая двигателем трамвая при движении вверх
98
по наклонному участку пути; R — общее (полное) сопротивление цепи электродвигателя и контактных проводов; v — скорость движения трамвая; Fтр —
сила трения; — угол наклона негоризонтального участка пути; g — ускорение
свободного падения.
При движении трамвая по горизонтальному участку пути мощность, потребляемая двигателем от сети, равна
10
IUP
. Часть этой мощности теряется в
виде тепла, выделяющегося в цепи на полном сопротивлении R. Поэтому к.п.д.
двигателя равен:
.1
0
1
10
2
110
U
RI
IU
RIIU
(1)
При этом полезная мощность U0I1 должна быть равна мощности сил
трения Fтрv:
.
тр10
vFIU
(2)
При движении трамвая вниз по наклонному участку пути с той же постоянной скоростью v двигатель выключен, и абсолютное значение мощности сил
сопротивления должно быть равно мощности проекции силы тяжести на
направление движения:
vmgvF sin
тр
(3)
Из равенств (2) и (3) получим:
.sin
10
IUmgv
При движении вверх по этому же участку пути мощность, потребляемая
из сети, будет теперь расходоваться на нагрев проводов и на совершение работы против силы трения и силы тяжести:
.02
,2sin
12
0
2
2
10
2
2тр
2
220
II
U
R
I
IURImgvvFRIIU
99
Из выражения (1) определим отношение
10
1
IU
R
и подставим его в по-
следнее квадратное уравнение:
.021
2
121
2
2
IIII
Решая это уравнение относительно искомого значения силы тока I2, получим:
.
12
18
2
1
2
11
2
III
I
Напомним, что неоднозначность полученного результата связана с тем,
что график зависимости полезной мощности от силы тока в цепи имеет колоколообразный вид, т.е. одна и та же мощность может выделяться при двух различных значениях силы тока в цепи.
56. Введем обозначения: S — площадь сечения витка пружины; L — ин-
дуктивность пружины; g — ускорение свободного падения;
0 —
магнитная по-
стоянная; = 1 — магнитная проницаемость среды.
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения
энергии для системы, состоящей из двух тел: груза и пружины. Будем определять потенциальную энергию груза относительно точки максимального смещения груза. В начальный момент полная энергия системы будет определяться
только потенциальной энергией поднятого на высоту х
max
груза:
.
max1
mgxW
В момент максимального смещения груза энергия системы тел будет
определяться суммой потенциальной энергии максимально растянутой пружи-
ны Wпр=
2
2
max
kx
и энергии магнитного поля пружины (соленоида)
.
2
2
LI
W
m
Тогда на основании закона сохранения энергии можно записать:
.
22
2
2
max
max
LI
kx
mgx
100
Отсюда выразим силу тока:
.
2
maxmax
L
kxmgx
I
Индуктивность пружины (длинного соленоида) при максимальном смещении груза будет равна:
max0
2
0
xl
Sn
L
.
Подставляя это выражение в формулу для силы тока, получим:
.
21
0
maxmaxmax0
xkxmgxl
nR
I
57. Введем обозначения: V — максимальная скорость проводника при ко-
лебаниях; А — амплитуда колебаний проводника.
В начальный момент времени пружины не деформированы, так как находятся вместе с проводником в горизонтальной плоскости. При кратковременном прохождении тока по проводнику он получит со стороны магнитного поля
импульс силы Ампера, который по второму закону Ньютона должен быть равен
изменению импульса проводника:
.mVtIBl
Отсюда:
.
m
IBlt
V
На основании закона сохранения энергии при гармонических колебаниях
должно выполняться равенство:
max
max
кп
WW
.
Тогда:
,
22
22
mVkA
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]