Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинированные задачи по физике с решениями. Задачник
.pdf
31
Концентрацию атомов серебра можно найти из уравнения состояния иде-
ального газа:
.
kT
p
n
На стенке образуется мономолекулярный слой атомов серебра, когда Z = Z0:
2
14
.
2
p RT S
St
kT d
Решая это уравнение относительно времени t, получим:
t
2
8
.
Ав
kT
pd N
3. Введём обозначения: p0 — нормальное атмосферное давление; Т0 —
температура, равная 273 К; u — скорость движения груза; v — скорость втекания воздуха в цилиндр; R — универсальная газовая постоянная; р — давление
воздуха в цилиндре; Q — сила натяжения нити; — плотность воздуха при
нормальных условиях.
Подвешенный груз и поршень в цилиндре будут находиться в равнове-
сии, если давление воздуха в цилиндре без отверстия будет удовлетворять
условию:
00 SpQpS
, или
.
0
S
Mg
pp
(1)
(Здесь учтено, что в силу невесомости блока Mg=Q).
В этом состоянии равновесия уравнение Менделеева-Клапейрона для
воздуха в цилиндре будет иметь вид:
.
0
RT
m
pV
Откроем на время t отверстие в цилиндре. Через него в цилиндр войдёт
за это время некоторое количество воздуха m, поршень сместится вправо на
32
расстояние х и вновь установится равновесное состояние воздуха в цилиндре
при том же, определяемом выражением (1), давлении воздуха:
0
.
mm
p V V RT
(2)
Таким образом, процесс втекания воздуха в цилиндр через отверстие
можно рассматривать как последовательное чередование равновесных состояний воздуха при неизменных значениях температуры и давления и переменных
значениях объёма и массы воздуха.
Из уравнений (1) и (2) получим:
2
0 0 0
, , ,
m V r v t
p V RT pS x RT pSu t RT
отсюда имеем:
2
0
.
rv
pSu RT
(3)
Определим скорость втекания воздуха в цилиндр. Для этого выделим цилиндрический слой воздуха, прилегающий к отверстию со стороны атмосферы,
толщиной y и площадью сечения s=r2. Можно считать, что непрерывный
процесс втекания воздуха в цилиндр состоит из последовательных актов прохождения этих слоев внутрь цилиндра под действием постоянной силы r
2
(р
0
— р). При проталкивании одного такого слоя воздуха эта сила совершит ра-
боту:
2
0
,A p p кy
которая пойдет на сообщение этому слою воздуха кинетической энергии:
2 2 2
.
22
k
mv r yv
E
На основании закона сохранения энергии Еk=А. Тогда получим:
33
22
0
2
0
2
;.
2
pp
r yv
r p p y v
Плотность воздуха при нормальных условиях выразим из уравнения состояния:
0
0
.
p
RT
Окончательное выражение для скорости втекания воздуха примет вид:
00
0
2 p p RT
v
p
.
Подставив полученные выражения для v, и р в выражение (3), получим
окончательный ответ:
.
22
22
2
2
2
00
000
2
0
0
00
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
00
2
0
0
0
0
00
2
0
0
2
pSpSMg
RTMgSppr
pSMg
pS
RTMgSp
rp
S
S
pSMg
p
RT
S
pSMg
p
rp
pS
p
RTpp
rp
RT
pSRT
p
RTpp
rp
pS
vRTr
u
4. Введём обозначения: v — скорость истечения продуктов сгорания (па-
ра) на выходе сопла; — плотность продуктов сгорания (пара); R — универсальная газовая постоянная; 1 — молярная масса водяного пара (18 кг/кмоль);
— молярная масса водорода (2 кг/кмоль).
Определим массу водяных паров, образующихся при сгорании массы m
водорода. Из уравнения реакции окисления водорода:
34
2Н2+О2=2Н2О
видно, что при сгорании
m
киломолей водорода образуется столько же ки-
ломолей водяного пара, т. е.
1
1
mm
. Поэтому при сгорании за 1 с массы m во-
дорода образуется масса:
mmmm 9
2
18
1
1
водяного пара, которая за это же время 1 с вылетает из сопла двигателя. Тогда
объём пара, вылетающий за 1 с из сопла двигателя, будет равен V = vS, а его
масса m1 = vS. Отсюда:
1
9mm
v
SS
.
Из уравнения состояния идеального газа определим плотность паров воды:
1
.
mp
V RT
За время t из сопла ракеты вылетает масса пара m1t с импульсом m1t v.
Следовательно, на пар будет действовать сила:
1
11
.
m v t
F m v
t
Такая же по модулю сила, но направленная в противоположную сторону
будет действовать на ракету (сила тяги двигателя):
2
2
1
1
81m RT
F m v v S
pS
.
35
5. Введём обозначения: l1 — длина столбика ртути в статическом состоя-
нии; l2 — длина столбика ртути при подъёме вверх с ускорением а; х1 — растяжение пружины в статическом состоянии; х2 — растяжение пружины при подъёме с ускорением а; g — ускорение свободного падения; p0 — нормальное атмосферное давление; Т0 — температура 273 К (рис. 34).
В статическом состоянии сила тяжести столбика ртути должна быть
уравновешена силой упругости пружины:
Рис. 34
l1Sg=kx1.
Отсюда:
1
1
.
l Sg
x
k
При подъёме трубки с ртутью массой m вверх с ускорением а второй закон Ньютона для оставшегося, после выливания части ртути, будет иметь вид:
ma = kx2–l2Sg=2kx1–l2Sg,
или:
l2Sа=2kx1–l2Sg.
Подставим в это уравнение выражение для х1:
l2Sа=2k
1
2
l Sg
l Sg
k
.
36
Определим ускорение:
а=
12
1 2 1 2 1
2 2 2 2
2
22
2 1 .
Sg l l
l Sg l Sg l l l
gg
l S l S l l
Из уравнения состояния идеального газа определим l1:
1 1 1 0 1 1 0
;.pV RT p gl l l S RT
После несложных алгебраических преобразований получим квадратное
уравнение:
2
0 0 0
1
0
p gl p lS RT
l
g gS
,
решив которое относительно l1, получим:
1,2
2 2 2 2
0 0 0
0
1
64
.
2
p S glp S g l S RT g
p gl
S
l
g
Разность p0–gl по физическому смыслу задачи должна быть величиной
отрицательной. Поэтому знак квадратного корня выбираем «+» и окончательный ответ задачи запишем в виде:
1
1
2.
l
ag
ll
6. Введём обозначения: S — площадь сечения трубки; g — ускорение сво-
бодного падения; х — смещение столбика ртути в трубке при её вращении вокруг
открытого конца; р2 — давление воздуха в трубке при вращении (рис. 35).
Рис. 35.
37
При вращении трубки вокруг вертикальной оси столбик ртути, находящийся в трубке, будет перемещаться в закрытый конец до тех пор, пока сила
давления со стороны запертого воздуха не достигнет такой величины, которое
обеспечит горизонтальному столбику ртути необходимое центростремительное
ускорение:
.
;
;
02
02
2
02
xlglghpl
xl
l
g
lSSghp
RmSpp
(1)
В процессе смещения столбика ртути происходит изотермическое сжатие
воздуха в закрытом конце трубки, следовательно, для решения задачи воспользуемся уравнением Бойля–Мариотта:
20
.
22
ll
p x S gh S
(2)
Из (2) получим:
0
2
.
2
gh l
p
lx
Поставим это выражение в (1) и определим х:
22
00
2 2 2 .gh l l x gh l gl l x glx l x
После несложных алгебраических преобразований придем к квадратному
уравнению:
22
0
2 2 0.x l h x l
Решая последнее, получим:
22
0 0 0
2 9 4 4
.
4
h l l h lh
x
38
7. Введём обозначения: V — объём воздуха в трубке в равновесном со-
стоянии; S — площадь сечения трубки; р — изменение давления воздуха в
трубке при смещении столбика ртути от положения равновесия на х; р0 — атмосферное давление.
В состоянии равновесия давление воздуха в трубке будет равно атмосферному давлению. Поскольку по условию задачи температура воздуха в
трубке при колебаниях не должна меняться, то из уравнения Менделеева–
Клапейрона для двух состояний воздуха должно выполняться равенство:
.
00
SxVppSxVpp
Раскрыв скобки, получим:
.
0
x
V
Sp
p
ΔΔ
Результирующая сила, действующая на столбик ртути со стороны воздуха
при его смещении, тогда будет равна:
.
2
0
xkx
V
Sp
pSF
Знак минус означает, что сила направлена в противоположную сторону
смещения ртути, т.е. к положению равновесия. Следовательно, под действием
возвращающей силы, пропорциональной величине смещения столбика ртути,
она будет совершать гармонические колебания с периодом, определяемым
формулой периода колебаний пружинного маятника:
.2222
000
Sgh
lV
Sgh
lV
Sp
lSV
k
m
T
Объём воздуха в трубке выразим из уравнения состояния:
.,
0
0
00
gh
RT
VRTVp
Период изотермических колебаний ртути в трубке, таким образом, будет
равен:
.
2
0
0
S
RTl
gh
T
39
8. Введем обозначения: S — площадь поперечного сечения трубки; —
угловая скорость вращения трубки; m — масса ртути, оставшейся в горизонтальной части трубки; R — расстояние от центра тяжести ртути в горизонтальной части до оси вращения; g — ускорение свободного падения; р0 — давление
воздуха (атмосферное) в закрытом вертикальном колене трубки в статическом
положении; р2 — давление воздуха в закрытом вертикальном колене трубки
при ее вращении (рис. 36).
Рис. 36
При вращении трубки вокруг открытого колена столбик ртути, находящийся в горизонтальной части трубки, будет перемещаться в запаянное колено
до тех пор, пока сила давления со стороны воздуха и вошедшего столбика ртути (давление на уровне аb) не достигнет такой величины, которая обеспечит горизонтальному столбику ртути необходимое центростремительное ускорение:
.
2
RmpS
= 4
2n2
mR,
где р=
.
2
2
2
02
gl
p
gl
p
(В процессе смещения столбика ртути вверх проис-
ходит изотермическое сжатие воздуха в закрытом колене так, что p0l = p2l/2).
Таким образом, получим уравнение, из которого определим частоту вращения:
.
4
2
2
;
2
24
2
0
2
0
22
mR
S
l
gp
nS
l
gpmRn
Так как ртуть вначале занимала всю горизонтальную часть трубки, а потом лишь ее половину, то оставшуюся массу ртути в горизонтальном колене и
расстояние от ее центра масс до оси вращения можно представить в виде:
.
4
3
;
22
l
R
Sl
l
lSm
40
Тогда частота вращения будет равна:
.
3
4
1
0
glp
l
n
9. Введём обозначения:
1
p
– парциальное давление сухого воздуха в атмо-
сфере;
2
p
– абсолютная влажность атмосферного воздуха;
1
p
– парциальное дав-
ление воздуха в стакане, погруженного в воду на критическую глубину; —
плотность воды; g — ускорение свободного падения.
По закону Архимеда стакан будет находиться в состоянии безразличного
равновесия в том случае, если вес стакана на воздухе окажется равным весу воды в объеме, занимаемом влажным воздухом на критической глубине. При погружении стакана в воду в результате сжатия смеси водяного пара и воздуха
будут увеличиваться как парциальное давление воздуха, так и парциальное
давление водяного пара, содержащихся в объеме стакана не занятого водой.
При этом пары воды, которые при медленном погружении стакана в воду будут
охлаждаться и примут температуру холодной воды, могут достичь состояния
насыщения и частично сконденсироваться. Поэтому масса водяных паров в
начальном и конечном состояниях влажного воздуха в стакане может быть не
одинакова. По этой же причине применить уравнение состояния идеального газа для всей смеси мы не имеем права. Это можно сделать только для воздуха.
На основании закона Дальтона и определения относительной влажности
воздуха запишем очевидные равенства:
.
1
101 н
pfpp
.
2201 н
pfghpp
Тогда объем влажного воздуха в стакане на критической глубине погружения определяется законом Бойля — Мариотта:
.;
2
20
110
11
ghpfp
SHpfp
VVpSHp
н
н
(1)
На критической глубине погружения стакана на основании закона Архимеда должно выполняться равенство:
.MggV
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]