Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Биотехнологические процессы и биореакторы разработка и проектирование. Учебное пособие.pdf
41
ваться при каждом измерении, а сама измеряемая величина может изме-
няться вокруг определенного значения. Это усложняет проведение экспериментов и анализ результатов без учета случайного разброса.
Определение случайной погрешности. Оценить величину случайной
погрешности на основе одного измерения невозможно; при этом много-
кратное измерение одной и той же величины приводит к разбросу резуль-
татов. Этот разброс предоставляет информацию, которая позволяет определить случайную погрешность с использованием статистических методов.
Обычно используются следующие оценки случайной погрешности:
– cреднее арифметическое: cреднее значение нескольких повторных измерений дает более надежную оценку истинного значения, чем
отдельное измерение;
– cреднеквадратичное отклонение: это мера разброса данных
вокруг среднего значения, которая показывает, насколько сильно результаты измерений отклоняются от среднего значения;
– доверительный интервал: это диапазон значений
, в котором
с определенной вероятностью находится истинное значение
.
Оценка случайной погрешности имеет важное значение для опреде-
ления надежности экспериментальных результатов; сравнения результатов,
полученных при разных условиях или с помощью разных методов измерения; установления пределов, в которых можно находиться истинное значение измеряемой величины.
Учет случайной погрешности в экспериментальной практике позволяет повысить точность и достоверность результатов исследований. Важно
также разграничивать случайный разброс результатов измерений
в эксперименте, вызванный флуктуациями измеряе-
42
мой величины под воздействием внешних факторов (в том числе и на при-
бор), и погрешность каждого из полученных значений
, связанную
с классом точности измерительного устройства и ошибками, возникающими при считывании значений с его шкалы.
Измерение, при котором интересующая величина не фиксируется
напрямую с помощью прибора, а вычисляется на основе одного или
нескольких непосредственно измеренных значений, называется косвенным.
По окончании эксперимента и проведения необходимых вычислений
корректной формой представления результата будет указание наилучшей
оценки измеряемой величины вместе с интервалом
, в котором предпо-
лагается нахождение ее истинного значения:
Эта запись означает, что
есть наибольшее вероятное
значение, а
– наименьшее вероятное значение измеренной
величины . Следовательно, можно утверждать, что истинное значение
находится в указанном интервале с определенной вероятностью, которая
зависит от выбора величины
; интервал
называется
доверительным интервалом, а вероятность
того, что истинное значение лежит внутри этого диапазона, называется
доверительной вероятностью:
, где
– это заданное значение доверительной вероятности. Для стандартного
отклонения доверительная вероятность составляет
,
а в практических задачах обычно устанавливается значение доверительной
вероятности в диапазоне
.
43
Записанное выражение можно интерпретировать следующим обра-
зом: с вероятностью
результаты серий измерений величины
не выйдут за пределы доверительного интервала
.
К примеру, если
, то это означает, что 90% результатов
,
полученных при повторении эксперимента (т.е. при проведении такого же
числа измерений), попадут в доверительный интервал.
Следовательно, можно сделать вывод о том, что запись погрешности
измерений какой-либо физической величины без указания доверительной
вероятности теряет свою ценность. Сравнение и учет погрешностей из разных источников возможны только в том случае, если все погрешности
соответствуют одной и той же доверительной вероятности. Для удобства
сравнения и приведения погрешностей к единой характеристике довери-
тельных интервалов принято использовать стандартное отклонение, обозначаемое символом j.
В дальнейшем для простоты изложения материала мы не будем
указывать индекс j, считая y – истинным значением измеряемой величины
при фиксированном значении индекса j.
Большинство методов обработки измерительных данных позволяет
задавать доверительную вероятность
и, следовательно, варьировать
доверительный интервал в зависимости от необходимых стандартов
надежности полученных результатов. Ниже приведены значения
для
различных доверительных интервалов, выраженные в единицах стандарт-
ного отклонения:
.
44
Вычисление погрешностей при проведении прямых измерений
физической величины
включает учет двух основных источников:
погрешности
измерительного прибора и ошибки
, возникаю-
щей при считывании показаний со шкалы прибора.
Класс точности измерительных приборов. Измерительные приборы,
в том числе стрелочные устройства, могут иметь погрешности, связанные
с конструктивными элементами. Для таких приборов абсолютная погрешность остается постоянной для всех измеряемых значений. Относительная
погрешность измерительного прибора рассчитывается как отношение
абсолютной погрешности к пределу шкалы прибора и выражается в процентах. Класс точности прибора – это характеристика, указывающая
на максимальную относительную погрешность прибора. Например, если
в паспорте прибора указан класс точности = 2,5%, это означает,
что относительная погрешность показаний прибора не превышает 2,5%
от максимального значения на его шкале. Таким образом, класс точности
дает представление о точности измерительного прибора.
Указание класса точности измерительного прибора имеет большое
значение, поскольку оно характеризует погрешность и надежность прибо-
ра; позволяет сравнивать разные приборы и выбирать наиболее подходя-
щий для конкретного применения; устанавливает доверительные границы
для измерений, проводимых с помощью приборов.
Знание класса точности измерительного прибора необходимо
для обеспечения достоверности и погрешности экспериментальных
результатов. Абсолютная приборная погрешность
рассчитывается
по следующей формуле:
45
,
где – класс точности измерительного прибора; y
max
– максимальное зна-
чение измеряемой величины, соответствующее пределу шкалы прибора.
Доверительная вероятность, связанная с приборной погрешностью,
должна быть указана в паспорте устройства. Например, если рядом с клас-
сом точности стоит пометка , либо указано, что данная погрешность
является максимальной ошибкой прибора, то доверительная вероятность
равна
. В противном случае следует считать, что
соот-
ветствует стандартной доверительной вероятности
При использовании цифровых приборов, у которых измеряемая
величина представлена в цифровом формате, следует использовать абсолютные погрешности, указанные в паспорте устройства. Если нужная
документация отсутствует, обычно принимается абсолютная погрешность,
равная единице последнего разряда. Например, если прибор показывает
время как t = 124,02, то погрешность будет составлять t = 0,01 мc,
t = 0,01 мc или t = 0,01 c в зависимости от установленного диапазона
измерений.
При считывании показаний со стрелочного прибора существует
необходимость округления до ближайшей отметки шкалы или интерполяции (оценки долей делений). Это вносит человеческий (случайный) фактор
в погрешность измерений. Погрешность отсчета зависит от размера деле-
ний прибора, освещенности шкалы и зоркости исследователя. Для опреде-
ления показаний необходимо точно указать место на шкале, на которое
указывает стрелка (рис. 2.2).
При высокой частоте делений (рис. 2.2, а), или если погрешность
прибора сопоставима с ценой деления шкалы l
ц.д
, целесообразно округлять
показания.
46
а) б)
Рис. 2.2. Отсчет показаний:
а – со шкалы линейки; б – со шкалы стрелочного прибора
Максимальная возможная ошибка при округлении составляет половину цены деления шкалы:
,
.
Погрешность отсчета, соответствующая стандартной доверительной
вероятности
, определяется как
,
.
Если шкала прибора имеет редкие деления (рис. 2.2, б), исследовате-
ли могут провести визуальную интерполяцию. При считывании с цифровых приборов погрешность отсчета, как правило, отсутствует.
Для правильного вычисления итоговой погрешности нужно привести
все источники погрешностей к одной доверительной вероятности. Для
сравнения и объединения погрешностей следует выразить соответствую-
щие им величины в терминах стандартного отклонения и привести
их к одинаковому количеству «сигм», расширяя или сжимая доверитель-
ные интервалы в зависимости от нужной вероятности. Например, если
приборная погрешность
отвечает
, а погрешность
отсчета
(т.е. отвечает одной ), можно либо разделить
на три, чтобы свести обе погрешности к стандартному значению довери-
тельной вероятности
, либо увеличить
до 3, чтобы
47
обе погрешности соответствовали доверительной вероятности
. Если же для записи результата требуется какая-либо другая
доверительная вероятность, необходимо изменить оба доверительных
интервала до нужного количества «сигм».
После приведения погрешностей к единому значению доверительной
вероятности, итоговая погрешность определяется с учетом того, что
погрешность прибора и ошибка отсчета являются независимыми величинами. Суммарная погрешность вычисляется как
.
Погрешности серии измерений. Чтобы адекватно оценить погрешно-
сти в серии измерений, следует выполнить несколько повторных измере-
ний. Если полученные результаты различаются (в пределах установленной
погрешности), это указывает на влияние случайных ошибок.
Способы оценки случайной погрешности. Рассмотрим ситуацию,
когда было выполнено повторных измерений и получен набор экспери-
ментальных данных:
, . Если все измерения проводи-
лись одним и тем же методом и с одинаковой тщательностью, их называют
равноточными.
Поскольку наилучшей оценкой истинного значения является среднее арифметическое значение , то определим погрешность, с которой
приближено к истинному значению с помощью стандартной (средне-
квадратичной) ошибки.
Величина
48
называется оценкой среднеквадратичной ошибки или стандартного
отклонения.
Оценка среднеквадратичной ошибки
– это случайная величина
каждого единичного результата при проведении повторных измере-
ний. Она характеризует случайный разброс результатов измерения
вокруг наиболее вероятного значения . Если увеличивать число повтор-
ных измерений, то величина
будет уточняться, стремясь к некоторому
постоянному значению :
.lim
э
y
mS
Именно этот статистический предел на самом деле и является
истинным стандартным отклонением случайной величины
от в случае
нормального распределения случайной величины
; квадрат истинного
стандартного отклонения 2 называется дисперсией измерений. В действи-
тельности, мы всегда вычисляем не величину стандартного отклонения,
а его оценку
, которая тем ближе к , чем больше количество повтор-
ных измерений .
Погрешность, вычисленная по формуле
называется средней арифметической ошибкой измерений.
Аналогично среднеквадратичной ошибке величина
уточняется
с ростом числа измерений и стремится к некоторому истинному значению средней арифметической ошибки:
.lim
э
y
m
В большинстве слу-
чаев целесообразнее пользоваться величиной
, поскольку легче
49
определять доверительные вероятности: при достаточно большом числе
измерений
между
и
существуют простые соотношения:
,
.
Нормальное распределение. Рассмотрим, как случайные величины
распределены относительно среднего значения При выполнении
большого числа измерений физической величины
результаты
индивидуальных измерений
распределены по нормальному закону,
т.е. подчиняются распределению Гаусса:
.
Параметрами нормального распределения являются среднее значе-
ние и стандартное отклонение . Функция
представляет собой
плотность вероятности распределения случайной величины
; суть рас-
пределения Гаусса заключается в возможности вычисления вероятности
нахождения случайной величины
в заданном интервале. Вероятность
определяется как отношение числа случаев, когда произошло событие,
к общему количеству экспериментов при стремлении этого количества
к бесконечности. Например, вероятность того, что значение
окажется
в диапазоне между
и
, равна
.
Согласно физическому смыслу определенного интеграла, эта вероят-
ность соответствует площади под кривой
на отрезке
; очевид-
но, что функция распределения удовлетворяет условию нормировки:
.
Таким образом, если случайная величина подчиняется распределе-
нию Гаусса, можно вычислить вероятность ее нахождения в доверитель-
50
ном интервале
, т.е. доверительную вероятность, отвечаю-
щую погрешности :
.
Аналогично, можно определить доверительные вероятности для ин-
тервалов другой протяженности. Следует напомнить, что доверительная
вероятность
при обработке результатов измерений выбирается иссле-
дователем самостоятельно и часто принимается равной 0,95 или 0,98.
Стандартное отклонение среднего. При нормальном распределении
среднее значение считается наилучшей оценкой величины , а типичное
отклонение результатов отдельного измерения
от этого оптимального
значения задается оценкой стандартного отклонения
. Тем не менее,
итоговым результатом серии измерений является среднее значение ,
которое предоставляет более надежную оценку физической величины
по сравнению с отдельными измерениями
. Поэтому исследователю
важнее понять, на сколько может отличаться от истинного значения.
Ясно, что при проведении нескольких одинаковых серий измерений
из-за случайных факторов исследователь будет каждый раз получать
немного разные наборы данных
,
, ... и, соответственно, раз-
личия в средних значениях
,
, ... . Разброс средних значений между
сериями также будет случайным, как и разброс значений
внутри
каждой серии. Поэтому распределение средних значений
также
подчиняется нормальному закону, и плотность вероятности распределения
случайной величины описывается функцией
.
Доказано, что погрешность среднего арифметического значения при
нормальном распределении
выражается через стандартное отклонение:
.