Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 11 класса университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
ределите наименьший угол, который лестница может образовать с горизонтом,
h
m
М
М
m
М
α
не соскальзывая.
С01. На концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через блок,
висят на одинаковой высоте две гири массой М = 96 г каждая. Если на одну из
них положить перегрузок, то вся система придёт в движение и через t = 3 с расстояние между гирями станет равным h = 1,8 м (рисунок 11). Определите массу
m перегрузка и силу давления N перегрузка на гирю во время движения. Массой блока пренебречь.
k
Рисунок 11
Рисунок 12
С02. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 300,
находится брусок массой m = 0,5 кг (рисунок 12). К бруску прикреплена лёгкая
пружина, другой конец которой соединён с невесомым нерастяжимым шнуром,
переброшенным через укрепленный на вершине наклонной плоскости блок.
Жёсткость пружины k = 100 Н/м. К свободному концу шнура подвешена гиря
массой М = 1 кг. Предоставленная самой себе, система приходит в равноускоренное движение. Определите ускорение движения бруска и удлинение
пружины при условии, что коэффициент трения между бруском и наклонной
плоскостью равен µ = 0,4. Массу блока не учитывать, трением в блоке пренебречь.
С03. На идеально гладкой поверхности на расстоянии 2 см друг от друга
покоятся два одинаковых бруска массами по 0,5 кг. Пуля массой 10 г, летящая
параллельно горизонту пробивает первый брусок, уменьшив свою скорость в 2
раза, и застревает во втором. Определить на каком расстоянии от первоначального положения бруска 2 произойдёт столкновение брусков.
31
С04. Полушар радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг оси сим-
m
µ
2
µ
1
F
ℓ
h
Рисунок 13
метрии, делая n = 30 об/мин. Внутри полушара находится
шарик массой m = 0,2 кг (рисунок 13). Найти высоту h,
соответствующую положению равновесия шарика относительно полушара, и силу F, с которой он давит на поверхность полушара в этом положении.
С05. Регулярно в определённое время за инженером приезжает заводская
машина, которая доставляет его на место работы. Однажды инженер вышел из
дома на 1 час раньше обычного и, не дожидаясь машины, пошёл на работу
пешком. По дороге он встретил автомашину и приехал на завод на 10 мин
раньше обычного. Сколько времени шёл инженер пешком до встречи с автомашиной? Решить задачу графически, предполагая, что дом инженера и завод
находятся на прямолинейном участке шоссе.
С06. На конец доски поместили груз вдвое большей массы, чем доска, и
толкнули оба тела со скоростью 5 м/с по гладкому столу свободным концом
доски в сторону вертикальной стенки. Вектор скорости направлен вдоль доски
и перпендикулярно стенке. Считая удар доски о стенку абсолютно упругим и
мгновенным, а коэффициент трения между грузом и доской равным 0,3, найти
минимальную длину доски, при которой груз никогда не коснётся стенки.
С07. На нити подвешена пружина массы М и радиуса R. На пружину одевают небольшое кольцо массы m, которое начинает скользить по ней без трения. Определите угловую скорость вращения кольца в тот момент, когда кольцо сделает n оборотов. Шаг винтовой линии равен h. В конце полного оборота
вектор скорости кольца лежит в горизонтальной плоскости.
С08. Брусок массой m = 2 кг и длиной ℓ = 0,5м лежит
слева от прямой разделяющей две поверхности (рисунок 14).
Определите минимальную работу, которую должна совершить горизонтально направленная сила F, чтобы перетащить брусок c левой
поверхности на правую. Коэффициенты трения между бруском и поверхностя-
ми µ1 = 0,6 и µ2 = 0,3.
Рисунок 14
32
С09. На горизонтальной плоскости лежат два клина с углами наклона α =
m
h
H
m
α
α
M
M
k
m
k
450, масса каждого М. С высоты Н свободно падает шарик массой m (m << M),
ударяется сначала об один клин, затем о другой и под-
m
скакивает вертикально вверх. Найти высоту h, на которую подскочит шарик (рисунок 15). Принять, что оба
удара упругие и что трение между клиньями и плоскостью отсутствует.
Рисунок 15
С10. На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии ℓ = 3 м от
вертикальной стенки находится шар массой М. Другой шар массой m скользит
с некоторой скоростью по направлению от стенки к шару М. После абсолютно
упругого удара шаров шар m достигает стенки и, упруго отразившись от нее,
догоняет шар М. Определить, на каком расстоянии S от стенки произошло вто-
M
рое соударение, если
= n = 5.
С11. Пассажир первого вагона поезда длины ℓ прогуливался по перрону.
Когда он был рядом с последним вагоном, поезд начал двигаться с ускорением
а. Пассажир сразу же побежал со скоростью v. Через какое время t он догонит
свой вагон?
С12. Тело массы m = 1,0 кг прикреплено двумя одинаковыми пружинами к вертикальным стенкам и совершает коле-
Рисунок 16
бания, двигаясь прямолинейно по горизонтальной поверхности (рисунок 16).
Величины двух последовательных отклонений от положения равновесия вправо
и влево равны соответственно S1 = 10 см и S2 = 8 см. Определите коэффициент
трения µ тела о поверхность, если жёсткость каждой пружины k = 100 Н/м.
С13. На плоскости с углом наклона α = 450 находится доска массой М =
1,2 кг и длиной ℓ = 1,5 м. На верхнем конце доски находится кубик массой m =
0,6 кг (рисунок 17). В начальный момент времени доска и кубик удерживаются
в состоянии покоя. Определите время соскальзывания кубика с доски после того, как оба тела опускают. Коэффициент трения доски о плоскость µ = 0,7. Тре-
33
ние между кубиком и доской отсутствует. Размерами кубика по сравнению с
ℓ
m
α
М
d
v
0
длиной доски можно пренебречь.
ℓ
v
Рисунок 17
Рисунок 18
С14. Небольшое тело, обладающее скоростью v0 = 1 м/с, попадает на движущуюся шероховатую ленту транспортёра, скорость которой v = 1,5 м/с. Оба
вектора скорости лежат в горизонтальной плоскости и взаимно перпендикулярны (рисунок 18). Тело останавливается на ленте транспортера на расстоянии d =
ℓ/4 от ближайшего края. Определите, при какой величине скорости транспортёра тело остановится точно посередине ленты.
С15. Тело начинает движение из пункта А и движется сначала равноускоренно в течение времени t0, затем с тем же по модулю ускорением − равнозамедленно. Через какое время от начала движения тело вернётся в пункт А?
С16. Два тела начинают одновременно двигаться по прямой навстречу
друг другу с начальными скоростями, равными v01 = 8 м/с и v02 = 10 м/с, и с постоянными ускорениями а1 = 1 м/с2 и а2 = 0,5 м/с2 и направленными противоположно соответствующим начальным скоростям. Определите, при каком максимальном начальном расстоянии между телами они встретятся в процессе движения.
С17. Мальчик массы М бежит вверх по неподвижной доске массы m, находящейся на наклонной плоскости с углом при основании α. Трение между
доской и плоскостью отсутствует. Какой путь прошёл мальчик к моменту, ко-
гда его скорость, равная вначале v0, уменьшилась в 2 раза, оставаясь той же по
направлению.
34
С18. В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, мимо
u
v
α
него прошел за время t1 − предпоследний вагон. Последний вагон прошел мимо
пассажира за время t2. На какое время τ опоздал пассажир к отходу поезда? Поезд движется равноускоренно. Длина вагонов одинакова.
С19. Гирька описывает круги радиуса 5 см с постоянным касательным ускорением 5 см/с2. Чему равна линейная скорость гирьки к концу пятого оборота? Каковы будут ее угловая скорость и угловое ускорение в этот момент?
С20. Камень брошен под углом 600 к горизонту со скоростью 19,6 м/с. Каковы будут нормальное и касательное ускорения камня через 0,5 с после начала
движения?
С21. Утка летела по горизонтальной прямой с
h
постоянной скоростью u. В нее бросил камень не-
g
опытный охотник, причём бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня v бы-
Рисунок 19
ла направлена как раз на утку под углом α к горизонту (рисунок 19). На какой
высоте h летела утка, если камень всё же попал в нее? Сопротивлением воздуха, размерами утки и ростом охотника пренебречь. Ускорение свободного падения равно g.
С22. К концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый и неподвижный блок, подвешены два груза массой по 100 г каждый. На
один из грузов положен перегрузок массой 10 г. найти силу, с которой перегрузок давит на груз, а также силу давления на ось блока.
С23. Из точки А свободно падает тело. Одновременно с ним из точки В
под углом α к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись.
Определить угол α, если h/ℓ = 3, где ℓ − расстояние между точками А и В по
горизонтали, h − расстояние между точками А и В по вертикали. Сопротивле-
нием воздуха пренебречь.
С24. Тяжёлый шарик, размеры которого можно не учитывать, влетает под
αsinv
углом α к горизонту в стальную трубку диаметром d <
0
и длиной ℓ >> d.
g
35
Считая удар шарика о внутреннюю поверхность трубки идеально упругим, определить, сколько раз шарик ударится о трубку, если: а) трубка расположена
вертикально; б) горизонтально. Скорость шарика в момент удара равна v0.
С25. Из миномёта ведут обстрел объекта, расположенного на склоне горы.
На каком расстоянии ℓ будут падать мины, если начальная скорость их v0, угол
наклона горы α, угол стрельбы β по отношению к горизонту?
С26. Шарик с горизонтальной скоростью v1 падает со стола высотой Н =
0,8 м и начинает упруго отскакивать от пола. Когда этот шарик совершает первый отскок, с того же стола падает второй шарик с горизонтальной скоростью
v2. Определите высоту, на которой встретятся шарики и отношение скоростей
v2/v1, при котором эта встреча может состояться. Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
С27. Какую начальную скорость v0 имел снаряд, вылетевший из пушки под
углом 300 к горизонту, если он пролетел расстояние 17,3 км? Известно, что сопротивление воздуха уменьшило дальность полёта в 4 раза.
С28. Какова должна быть высота цилиндра радиусом R, укреплённого на
полушаре такого же радиуса и из того же материала, чтобы вся фигура находилась в состоянии безразличного равновесия? Центр тяжести полушара лежит на
расстоянии 3R/8 от плоскости сечения шара.
С29. Из двух параллельных сил, направленных в разные стороны, большая
сила равна 30 Н. Найдите меньшую силу и величину их равнодействующей, если точка ее приложения делит расстояние между ними в отношении 4:10.
С30. На какую высоту может подняться по трёхметровой лестнице человек
массой 60 кг, если лестница стоит под углом 300 к идеально гладкой стене? Вес
лестницы 200 Н, коэффициент трения скольжения между полом и лестницей
0,3. Ускорение свободного падения равно 10 м/с2.
С31. Тонкий однородный стержень шарнирно укреплён за верхний конец,
а нижним концом погружен в воду. В положении равновесия стержень расположен наклонно к поверхности воды и в воде находится половина стержня. Определить плотность материала стержня.
36
С32. Шарик с массой m = 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на
нити длиной ℓ = 1 м. При прохождении самого нижнего положения нить обрывается и шарик падает на землю на расстоянии h = 4 м по горизонтали от точки
обрыва. Определите силу натяжения нити в момент ее обрыва, если ось вращения расположена над землёй на высоте H = 2 м.
С33. В стакане с водой плавает брусок высоты ℓ и сечением S1. При помощи тонкой спицы брусок медленно опускают на дно стакана. Какая работа при
этом совершена? Сечение стакана S2 = 2S1. Начальная высота воды в стакане
равна L. Плотность материала бруска вдвое меньше плотности воды ρ.
С34. Определите положение центра тяжести однородного диска радиуса R,
из которого вырезано отверстие радиуса r (r < R/2). Центр выреза находится на
расстоянии R/2 от центра диска.
Примеры решения задач
1. Свободно падающее тело спустя некоторый промежуток времени после
начала падения находилось на высоте 1 100 м, а еще через 10 с на высоте 120 м
над поверхностью Земли. С какой высоты падало тело? Сколько времени оно
было в движении? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Дано: y(t1) = 1 100 м; y(t1 + 10) = 120 м; g = 10 м/с2; v0 = 0.
Н −? T −?
Решение. Так как движение тела происходит по вертикали, то для описания движения возьмём вертикальную ось 0у с началом на поверхности земли.
Раз тело падает свободно, то начальная скорость v0 = 0. Обозначим Н – искомая
высота, t – время падения (см. рисунок).
Направим ось 0у вертикально вверх, ось времени 0t направим вертикально
вниз с началом отсчета времени t = 0 на высоте Н (т.к. тело начинает движение
с высоты Н). Каждой высоте будем сопоставлять моменты времени:
37
- в начальный момент времени t = 0 тело находится на высоте Н;
2
2
2
2
2
2
2
⋅
−=−
2
2
2
H 0
0
у
1
120
1 10
0
t
- спустя некоторый промежуток времени t1 – на высоте 1 100 м;
- еще через 10 с, т.е. через t1 + 10 после начала движения – на высоте 120 м;
- через время t после начала движения у =0 (тело достигает поверхности
Земли).
, м
В уравнение движения тела по оси 0у
v0=0
в общем виде y(t) = y0 + v0t +
at2 под-
ставляем значения y0 = Н (тело начинает
1
движение в момент t = 0 с этой координа-
g
ты), v0 = 0 (тело свободно падает), а = −g
(т.к. проекция gy = −g). Итак, уравнение
движения имеет вид:
1
y(t) = y = Н −
gt2.
Применяя последнее уравнение для моментов времени t1, t1 + 10 и t, получим 3 уравнения:
1 100 = Н −
1
2
gt
; 120 = Н −
1
1
g(t1+10)2; 0 = Н −
1
gt2 .
t
t1+10
t, с
Решая систему из трех уравнений, найдем искомые величины Н и t.
Вычтем почленно из первого уравнения второе, затем найдём t1:
1 100 − 120 = Н −
1
2
gt
- Н +
1
1
g(t1+10)2 ,
откуда
t1= .c8,4
g50980
g10
1050980
=
1010
⋅
Подставляя полученное значение t1 в первое уравнение, найдем Н:
1 100 = Н -
1
2
gt
и Н = 1 100 +
1
38
1
2
gt
= 1 100 +
1
1
⋅10⋅4,82 = 1 215м.
Из третьего уравнения 0 = Н -
2
3
a
2
tS2
2202
1
gt2, найдем t:
t =
H2 ⋅
= = 15,6 с.
g
12152
10
2. За 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло 20 м,
увеличив свою скорость в 3 раза. Определите конечную скорость тела.
Дано: t = 2 c; S = 20 м; v = 3v0.
v = ?
2
vv
−
0
;
Решение: v = v0 + at; v0 =
1
v; S =
2
Решив систему из написанных 3 уравнений, имеем:
v =
3
⋅ =
3
⋅ = 15 м/с.
3. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности
земли под углом к горизонту, упал обратно на землю в 20 м от места броска.
Чему была равна скорость камня через 1 с после броска, если в этот момент она
была направлена горизонтально?
Дано: t = 1 c; S = 20 м; vy= 0.
v(1) = ?
Решение: На рисунке изображена траектория движения камня, брошенного под углом α к горизонту. Начальная скорость − v0, ускорение свободного падения g, дальность полета − S, v
и v0y − проекции v0 на оси координат 0х и 0у,
0x
v(1) = vx – скорость камня через 1 с после броска (в верхней точке траектории).
При отсутствии сопротивления воздуха движению камня время полета t
39
пол
рав-
но удвоенному времени движения камня до верхней точки траектории, т.е. t
t
2
1
220⋅
0x
0y vx
S
α
0
пол
=
2t = 2 c. Как видно из рисунка проекции начальной скорости и ускорения сво-
бодного падения на оси координат равны:
v
= v0⋅cosα, v
0x
= v0⋅sinα; gx = 0, gy = -g.
0y
Из равенства gx = 0 заключаем, что по оси 0х имеет место
равномерное движение со скоростью vx = v0x. За время t
пол
= 2t
камень пролетит расстояние S:
S = v0x⋅t
откуда находим
vx =
Из последнего выражения заключаем, что
y
v
v
g
0
v
= v0x⋅2t = vx⋅2t,
пол
x
S
=
= 10 м/с.
v(1) = vx = 10 м/с.
4. С башни высоты Н бросили вертикально вниз камень с начальной ско-
ростью v0 = 0. Найти среднюю скорость на нижней половине пути. Ускорение
свободного падения равно g.
Дано: v0 = 0; g; S = H/2.
vср = ?
Решение: По определению средняя скорость равна
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]