Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 11 класса университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
нится период гармонических колебаний шарика, если направление напряжённости электрического поля изменится на противоположное.
А13. Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора и катушки индуктивности. В пространство между пластинами конденсатора внесли
пластину из диэлектрика (ε = 4), толщина которой совпадает с расстоянием ме-
жду пластинами, а индуктивность катушки уменьшили в n = 2 раза. Во сколько
раз необходимо увеличить расстояние между пластинами конденсатора, чтобы
частота собственных колебаний контура не изменилась?
А14. В некоторой среде распространяется волна. За время, в течение которого частица среды n = 100 раз прошла через свое равновесное положение, волна распространилась на расстояние ℓ = 150 м. Определите длину волны.
А15. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом
равно 10 м/с2. Какова максимальная скорость груза?
А16. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на
двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению.
А17. Тело массы m, подвешенное на пружине, совершает колебания так,
что наибольшее значение скорости равно v0, а наибольшее отклонение от положения равновесия равно А. Определите жёсткость пружины.
А18. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если
максимальное ускорение точки а
= 49,3 см/с2, период колебаний Т = 2 с и
max
смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени х0 =
25 мм.
А19. Максимальный ток в колебательном контуре I0 = 1 мА, а максимальный заряд на обкладках конденсатора в этом контуре q0 = 10 мкКл. Каков период Т свободных электрических колебаний, происходящих в контуре?
А20. Математический маятник совершает гармонические колебания. На
сколько процентов следует уменьшить его длину, чтобы период колебаний
уменьшился в 1,25 раза?
161
А21. Как, зная амплитуду скорости v0 и амплитуду ускорения w0, найти
амплитуду А и частоту ω гармонического колебания?
А22. а) При какой длине ℓ период колебаний математического маятника
будет равен 1 с?
б) Чему равен период колебаний Т математического маятника длины ℓ =
1 м?
А23. Точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В
момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: х
max
=
1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.
А24. Колебательный контур лампового генератора состоит из катушки с
индуктивностью L = 4·10-6 Гн и емкости С = 0,04 мкФ. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало. Определить длину волн, излучаемых генератором.
А25. Найти разность фаз двух точек волнового поля в стали, отстоящих
друг от друга на 20 см, если частота колебаний генератора 2·102 с-1.
А26. Уравнение колебаний материальной точки имеет вид
х = 5cos(10πt + π/4),
где t измеряется в секундах, х − в см. Определить амплитуду колебаний,
циклическую частоту, период колебаний, начальную фазу, смещение при t = 0.
А27. Напишите уравнение гармонических колебаний с амплитудой 5 см,
если за 1 мин совершается 150 полных колебаний и начальная фаза −450.
А28. Математический маятник колеблется гармонично под действием силы тяжести. Как изменится амплитуда колебаний, если нить укоротить от ℓ1 до
ℓ
, не меняя при этом энергию маятника.
2
А29. Грузик массой m совершает гармонические колебания на пружине
жёсткостью k. Через какую долю периода (считая с момента выхода из положения равновесия) наступает равенство кинетической и потенциальной энергии
системы?
А30. Колебательный контур имеет собственную частоту колебаний ν0. Какой будет его собственная частота ν1, если расстояние между пластинами плос-
162
кого конденсатора контура увеличили в n раз? Как изменится частота ν2, если
конденсатор после раздвижения пластин заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 4?
А31. Катушка с сопротивлением R = 100 Ом, состоящая из 103 витков,
площадью 5 см2, внесена в однородное магнитное поле. В течение некоторого
времени индукция магнитного поля уменьшилась от 0,8 Тл до 0,3 Тл. Какой заряд прошёл через сечение проводника за это время?
А32. Мгновенное значение ЭДС дано выражением E = 100sin800πt, где t –
выражено в секундах. Найти амплитуду, частоту и период колебаний.
А33. Определить модуль скорости звука v1 в воде, если колебания с периодом Т в ней вызывают волну длиной λ1. Во сколько раз изменится λ при переходе звука из воды в воздух? Модуль скорости звука в воздухе v2.
А34. В колебательном контуре заряд конденсатора ёмкостью 0,5 мкФ меняется по закону Q = 0,002cos(12560t) Кл, где t − время в секундах. Найти величину максимальной ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности.
А35. Определить длину математического маятника, если явление резонанса вблизи поверхности Земли наблюдается при частоте внешнего воздействия
1 Гц.
А36. Циклическая частота свободных колебаний тела равна 2,5 с-1. Через
какое наименьшее время его кинетическая энергия уменьшится вдвое по сравнению со своим наибольшим значением?
А37. Груз массой 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает 300 колебаний в минуту. Определить жёсткость пружины.
А38. Определить первоначальную длину математического маятника, если
при увеличении его длины на 3 м период колебаний маятника увеличился в 2
раза.
А39. Конденсатор ёмкости С заряжается до напряжения U0 и замыкается
на катушку с индуктивностью L. Чему равна амплитуда Im силы тока в образовавшемся колебательном контуре? Активным сопротивлением контура пренебречь.
163
А40. В процессе гармонических колебаний с частотой 3 Гц с амплитудой
2 см тело достигло максимальной скорости. Чему равно в этот момент смеще-
ние тела из положения равновесия?
А41. Максимальный ток в колебательном контуре I0 = 1 мА, а максимальный заряд на обкладках конденсатора в этом контуре q0 = 10 мкКл. Каков период Т свободных электрических колебаний, происходящих в контуре?
В01. Колебательный контур радиоприёмника настроен на частоту 9 МГц.
Во сколько раз нужно изменить ёмкость переменного конденсатора, чтобы контур был настроен на длину волны 50 м?
В02. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F
, действующей
max
на частицу.
В03. Первичная обмотка трансформатора, включённого в сеть напряжением U1 = 380 В, имеет N1 = 2 400 витков. Какое число витков должна иметь вторичная обмотка этого трансформатора, чтобы при напряжении U2 = 11 В на ее
зажимах передавать во внешнюю цепь мощность Р = 22 Вт? Сопротивление
вторичной обмотки R2 = 0,2 Ом. Рассеяние магнитного потока в сердечнике
трансформатора и потери энергии в его первичной обмотке пренебрежимо малы.
В04. Точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В
момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: х
max
=
1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.
В05. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет
вид x = Asinωt, где А = 5 см, ω = 2 с-1. Найти момент времени (ближайший к
началу отсчёта), в который потенциальная энергия точки U = 10-4 Дж, а возвращающая сила F = +5⋅10-3 H. Определить также фазу колебаний в этот момент
времени.
В06. Найдите период колебаний математического маятника длины ℓ, если
на пути нити на расстоянии ℓ/2 вниз по вертикали от точки подвеса вбит гвоздь.
164
В07. Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое
α 2α
α α
a)
время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения?
В08. К наклонной стене подвешен маятник
длины ℓ [см. рисунок 44: случаи а) и b)]. Маятник
b)
2
g
отклонили от вертикали на малый угол, в 2 раза
превышающий угол наклона стены к вертикали, и
отпустили. Найдите период колебаний маятника,
Рисунок 44
если удары о стену абсолютно упругие.
В09. Два математических маятника с периодом колебаний 6 с и 5 с одновременно начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое наименьшее
время фазы их колебаний снова будут одинаковыми?
В10. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет
вид x = Asinωt, где А = 5 см, ω = 2 с-1. Найти момент времени (ближайший к
началу отсчёта), в который потенциальная энергия точки U = 10-4 Дж, а возвращающая сила F = +5⋅10-3 H. Определить также фазу колебаний в этот момент
времени.
В11. Один математический маятник имеет период 6 с, а другой – 8 с. Каков
период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме
длин указанных маятников?
В12. Радиус некоторой планеты в 2 раза меньше радиуса Земли, а плотность такая же, как у Земли. Определить отношение периода колебаний математического маятника на этой планете к периоду колебаний того же маятника
на Земле.
В13. Груз, подвешенный к вертикально закреплённой пружине, колеблется
с частотой 5 Гц. Насколько окажется растянутой пружина после прекращения
колебаний груза?
В14. От вторичной обмотки трансформатора сопротивлением R = 0,1 Ом
питаются 1 000 параллельно включённых ламп мощности Р = 100 Вт каждая,
рассчитанных на напряжение U = 220 В. Определите КПД трансформатора,
165
пренебрегая рассеянием магнитного потока в сердечнике трансформатора и потерями энергии в первичной обмотке.
В15. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний чашки равен 0,4 с. После добавления еще одной гири период колебаний возрос до 0,6 с. Насколько удлинилась пружина после добавления
гири?
В16. Контур состоит из катушки с индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора
ёмкостью 10 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения 200 В. Каким будет
ток в контуре в момент, когда энергия контура окажется поровну распределённой между электрическим и магнитным полями?
В17. Сила тока в колебательном контуре меняется по закону
I = 0,2sin(6 280t), A,
где t – время в секундах.
Найти полную энергию колебаний, если индуктивность контура равна 0,5 Гн.
С01. На какую высоту над Землёй надо поднять математический маятник,
чтобы период его колебаний возрос на 1 %?
С02. В сеть напряжением 220 В включены последовательно катушка индуктивностью 0,16 Гн и проводник сопротивлением 2 Ом, а также конденсатор
ёмкостью 64 мкФ. Определить силу тока в цепи, если частота его 200 Гц. При
какой частоте наступает резонанс напряжений, и каковы будут при этом сила
тока и напряжение на зажимах катушки и конденсатора?
С03. Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью 2 м/с, быстро
перекрывают жёсткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонку
при остановке воды, если скорость звука в воде 1,4 км/с. Сечение трубы 5 см2.
Найдите давление на заслонку.
С04. Цилиндр массой 0,1 кг с площадью основания 10 см2 плавает в вертикальном положении в жидкости с плотностью 1 г/см3. Его погрузили и отпустили. Определить циклическую частоту колебаний цилиндра.
С05. На невесомой нерастяжимой нити висит шарик, которому сообщают
горизонтальную скорость v = 3 см/с. Шарик начинает совершать малые колеба-
166
ния (математический маятник). Найти расстояние, пройденное шариком за t =
m
2 мин.
С06. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет
вид x = Asinωt, где А = 5 см, ω = 2 с-1. Найти момент времени (ближайший к
началу отсчёта), в который потенциальная энергия точки U = 10-4 Дж, а возвращающая сила F = +5⋅10-3 H. Определить также фазу колебаний в этот момент
времени.
С07. Математический маятник имеет массу 1 г и заряд 100 нКл. Найти отношение периода колебаний математического маятника к периоду колебаний
этого же маятника, внесённого в электрическое поле напряжённостью 300 кВ/м,
силовые линии которого направлены вертикально вниз.
С08. Шар массы m = 2 кг подвешен к двум соединённым
k
1
последовательно пружинам (рисунок 45). Жёсткости пружин
k
2
равны k1 = 1 000 Н/м, k2 = 3 000 Н/м. Пренебрегая массой пружин и трением, найти:
Рисунок 45
а) частоту ω малых колебаний шара,
б) амплитуду А колебаний, возникающих в том случае, если шар установить на уровне, при котором пружины не напряжены, и отпустить без толчка.
Примеры решения задач
1. Материальная точка массой m = 5 г совершает горизонтальные колебания с частотой ν = 0,5 Гц и амплитудой А = 3 см. Определите: 1) скорость v
точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу Fm,
действующую на точку; 3) полную энергию W колеблющейся точки.
Дано: m = 5 г = 5⋅10−3 кг; А = 3 см = 3⋅10−2 м; ν = 0,5 Гц; х(t).
v(t) −? Fm −? W −?
167
Решение. Кинематическое уравнение гармонических колебаний запишем
AvA
ω
х
А
в виде
х = А⋅sin(ωt+ϕ),
где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
А - амплитуда; (ωt+ϕ) – фаза колебания;
ϕ - начальная фаза;
ω - циклическая частота (ω = 2πν);
t – время.
1) Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от
смещения, v = x′ = Aω⋅cos(ωt+ϕ). Исходя из условия задачи, скорость надо вы-
разить через смещение. Для этого исключим время из двух записанных уравнений. Возведя оба уравнения в квадрат, затем, разделив первое уравнение на А2,
второе – на А2ω2 и, сложив их, получим:
2
x
2
2
1
+ или
=
22
2
x
+ .
2
A
2
v
2
( )
2A
πν
1
=
2
Решив это уравнение относительно v, найдём
v = ±2πν
22
− = ±2π⋅0,5
22
5,13 − = ± 8,16 см/с.
Знак ″плюс″ соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с
положительным направлением оси абсцисс, знак ″минус″ - в противном случае.
2) Силу F, действующую на точку, найдём из второго закона Ньютона:
где а – ускорение точки, которое определим, взяв производную по време-
ни от скорости:
F = ma,
168
а = v′ = -Aω2sin(ωt+ϕ) или а = -A4π2ν2sin(ωt+ϕ),
2
2
2
2
откуда найдём максимальное значение силы
Fm = mam = m⋅A⋅4π2ν2 = 5⋅10−3⋅4⋅π2⋅0,52⋅3⋅10−2 = 1,49⋅10−3 Н = 1,49 мН.
3) Полная энергия колеблющейся точки представляет собой сумму кине-
тической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени. В данной задаче проще всего найти полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения, так как в этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия W колеблющейся
точки равна максимальной кинетической энергии
1
Wк =
mv
2
.
m
Максимальное значение скорости vm определим, положив в формуле скорости
cos(ωt+ϕ) = 1, тогда vm = 2πνA. Итак, полная энергия
W = Wк =
1
mv
1
2
=
m
m(2πνA)2 =
1
5⋅10−3⋅(2π⋅0,5⋅3⋅10−2)2 = 22,2⋅10−6 Дж.
2. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период ее вертикальных
колебаний Т1. После того, как на чашку положили добавочные гири, период
вертикальных колебаний стал равен Т2. Насколько удлинилась пружина после
увеличения груза? Ускорение свободного падения равно g.
Дано: Т1; Т2; g.
∆х − ?
169
Решение. Период вертикальных колебаний чашки с гирями до того, как
k
k
xF∆
xgm∆
⋅
∆
k
был добавлен груз,
Т
= 2π
1
,
где m – масса чашки с гирями;
k – коэффициент жёсткости пружины.
Пусть масса добавленных гирь ∆m, тогда период колебаний
mm ∆+
m
Т
= 2π
2
.
Вызывающая удлинение пружины ∆х сила равна
F = k∆х,
отсюда
k =
=
,
где g – ускорение свободного падения.
Возводя выражения для периодов колебаний в квадрат и вычитая одно выражение из другого, получим:
2
m4
Т
2
2
− Т
2
=
1
∆⋅π
.
Подставим в последнее равенство выражение для k и получим
2
х4
Т
2
2
− Т
2
=
1
∆⋅π
,
g
откуда находим:
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]