Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 11 класса университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
(
)
2
4
π
0
TTg
−
1
.
2
∆х =
2
2
3. Найдите относительное изменение длины математического маятника,
необходимое для того, чтобы его период колебаний на высоте h был равен периоду колебаний на уровне моря.
Дано: h; R0.
ε − ?
Решение. При перенесении маятника на более высокий уровень над Землей его период колебаний увеличится, так как ускорение свободного падения
уменьшается по мере увеличения высоты. Следовательно, для того, чтобы период колебаний не изменился, длину маятника следует уменьшить.
Пусть математический маятник длиной L0 на уровне моря колеблется с
периодом
L
Т
0
= 2π
0
,
g
0
M
где g0 = G
− ускорение свободного падения на уровне моря;
2
R
М и R0 – масса и радиус Земли;
G – гравитационная постоянная.
На высоте h маятник длиной L будет иметь период колебаний
L
Т = 2π
, где g = G
g
Согласно условию задачи Т = Т0, поэтому
171
( )
hRM+
0
.
2
GM
(
)
GM
∆
−
∆
откуда
L
2
L
0
=
или
g
g
0
RL
00
=
0
2
hRL
+
,
2
0
( )
hRR+
0
.
2
L
L
=
0
Относительное уменьшение длины маятника
R
2
h
0
ε =
L
L
=
0
L
=1 −
0
LL
0
L
L
=1 −
0
2
0
( )
hRR+
0
=1 −
2
1
=1 −
2
R
h
0
1
+
1
+ .
Далее воспользуемся с известным из математики условием (1+х)n ≈ 1 + nx, при
х << 1. Для случая, когда h << R0:
2
R
h
0
−+
h
)2(1 = 2
R
0
R
h
.
0
ε =
L
L
= 1 −
0
1
+ ≈ 1 −
4. Шарик совершает гармонические колебания. Найдите отношение скоростей v1/v2 шарика в точках, удалённых от положения равновесия, соответственно, на половину и на одну треть амплитуды.
Дано: x = A⋅sinωt; x1 = A/2; x2 = A/3.
v1/v2 − ?
Решение. Предположим, что шарик совершает гармонические колебания
по закону синуса:
x = A⋅sinωt.
Тогда уравнение колебаний скорости будет иметь вид:
172
2
3
4
9
4
4
9
9
Согласно условию задачи в момент времени t1:
x1 =
а в момент времени t2:
x2 =
Из первой пары уравнений выражаем sinωt1 и cosωt1, возводим в квадрат
v = x′ = Aω⋅cosωt.
А
= A⋅sinωt1 и v1 = Aω⋅cosωt1,
А
= A⋅sinωt2 и v2 = Aω⋅cosωt2.
и складываем:
sin2ωt1 + сos2ωt1 = 1 =
А из второй пары уравнений выражаем sinωt2 и cosωt2, возводим в квадрат
и складываем:
sin2ωt2 + сos2ωt2 = 1 =
Из последних двух уравнений выражаем
2
+
+
v
1
.
A
ω
2
v
2
.
A
ω
1
1
2
v
1
= 1 −
A
ω
1
3
=
, и
A
2
v
2
= 1 −
ω
1
8
=
,
затем эти уравнения почленно делим и извлекаем квадратный корень:
173
v
1
v
2
9
3
⋅=
; и
8
4
v
1
v
2
9
3
8
4
63
=⋅=
.
8
2
5. В колебательном контуре к конденсатору параллельно присоединили
другой конденсатор вдвое большей ёмкости, после чего частота колебаний в
контуре уменьшилась на ∆ν = 300 Гц. Определите первоначальную частоту колебаний в контуре.
Дано: ∆ν = 300 Гц; С = 2С1.
ν1 −?
Решение. Напишем выражения для частот ν колебаний в контуре в двух
случаях:
ν1 =
, ν2 =
LC21π
1
,
LC21π
2
где ёмкость С2 контура во втором случае равна
С
= С + С1 = 2С1 + С1 = 3С1,
2
так как во втором случае к конденсатору ёмкости С1 присоединяют параллельно конденсатор вдвое большей ёмкости, т.е. ёмкости 2С1.
Согласно условию задачи
∆ν = ν1 − ν2 =
−
LC21π
1
=
LC21π
2
−
LC21π
1
=
C3L21π
1
1
3
174
1
=
−
1 = ν
LC21π
1
1
−
1 ,
3
откуда находим
. Лампочку для карманного фонаря, рассчитанную на напряжение
2
1
ν1 = ∆ν
−
1
1
− = 300
3
1
− = 710 Гц.
1
−
1
3
6
U0 = 3,5 В и силу тока I0 = 0,28 А, соединили последовательно с конденсатором
и включили в сеть с эффективным напряжением UЭ = 220 В и частотой ν =
50 Гц. Какой должна быть ёмкость С конденсатора, чтобы лампочка горела
нормальным накалом?
Дано: U0 = 3,5 В; I0 = 0,28 А; UЭ = 220 В; ν = 50 Гц.
С −?
Решение. Электрическое сопротивление R лампочки находим из закона
Ома для участка цепи:
U
R =
0
.
I
0
Амплитудное значение напряжения UA в сети равно
UA = U
.
Нормальный накал лампочки будет в случае, когда сила тока через нее
будет равна I0. Тогда согласно закону Ома для цепи переменного тока
I0 =
R
U
A
1
2
+
πν
=
2
C2
U
0
I
0
2
2U
+
( )
πν
,
1
2
C2
175
откуда находим
RL2R
πν=ω
l
Rl
R
С =
1
−
2
1
2
πν
U2
2
I
0
2
2
U
0
−
2
I
0
=
1
502
⋅π
2
2202
⋅
2
28,0
5,3
−
28,0
1
−
2
2
=2,86⋅10−6 Ф=2,86 мкФ.
2
7. Катушка длиной ℓ = 0,5 м и площадью поперечного сечения S = 10−3 м2
включена в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Число витков катушки
N = 3 000. Найдите сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током ϕ = 600. Магнитная постоянная µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
Дано: ℓ = 0,5 м; S = 10−3 м2; ν = 50 Гц; N = 3 000; ϕ = 600; µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
R −?
Решение: Сдвиг фаз ϕ между напряжением и током в данной задаче определяется выражением:
где
2
N
L
µ= − индуктивность катушки индуктивности.
S
0
Подстановка соотношения для L в выражение для tgϕ дает:
откуда находим
tg
L
=ϕ ,
L2
tg
πν
=ϕ ,
πνµ
=
2
SN2
0
R =
πνµ
ltg
2
SN2
0
ϕ
=
0
60tg5,0
⋅
327
−−
103000104502
⋅⋅⋅π⋅⋅π
= 4,1 Ом.
176
8. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колеба-
m
2
2
2
ния на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На сколько сместится шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
Дано: A = 10 cм; Wк = 0,5⋅W
к макс
.
x = ?
Решение: Запишем уравнение колебаний шарика x(t) и, взяв первую производную по времени от этого уравнения, найдем зависимость скорости от времени v(t):
k
x = Asinωt; v = Aωcosωt, где ω2 =
или k = mω2;
Кинетическая энергия шарика в момент времени t равна:
2
Wк =
mv
=
mA22ω
cos2ωt; W
к макс
=
mA22ω
.
Так как по условию в этот момент времени Wк = 0,5⋅W
к макс
ний для кинетических энергий следует, что в момент времени t:
cos2ωt = 0,5 и sinωt =
5,01tcos1 −=ω− = 0,707.
Теперь найдем смещение шарика от положения равновесия в момент
времени t:
x = Asinωt = 10 cм ⋅ 0,707 = 7,07 см = 7 см.
177
, то из выраже-
22
9. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, со-
m
m
k
вершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом
равно 10 м/с2. Какова максимальная скорость груза?
Дано: m = 2 кг; k = 200 Н/м; а0 = 10 м/с2.
v0 = ?
Решение: Подставим выражение для циклической частоты ω колебаний
пружинного маятника: ω =
в уравнение, связывающее амплитуду ускоре-
ния а0 и амплитуду скорости v0 при колебательном движении:
k
k
а
= ωv0 =
0
⋅v0.
Затем из полученного уравнения выразим искомую величину – амплитуду
скорости v0 при колебательном движении пружинного маятника и, подставляя
известные параметры, рассчитаем ее значение:
v0 = а0⋅
m
= 10⋅
2
= 1 м/с.
200
Задание 6-1-11. Оптика волновая и геометрическая
Интерференция света. Дифракция света, дифракционная решётка.
Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики. Основ-
ной закон геометрической оптики. Законы отражения и преломления света.
Плоское зеркало. Линзы. Оптические системы.
178
01. Угол падения луча света на поверхность стекла равен 360. Найти угол
преломления, если отражённый и преломлённый лучи взаимно
перпендикулярны.
02. На дно сосуда, наполненного водой до высоты 10 см, помещён точечный источник света. На поверхности воды плавает непрозрачная пластина так,
что ее центр находится над источником света. Какой наименьший радиус
должна иметь пластина, чтобы ни один луч не мог выйти из воды в воздух?
03. На дифракционную решётку падает нормально монохроматический
свет (λ = 410 нм). Угол между направлениями на максимумы первого и второго
порядков равен Δϕ = 20 21′. Определить число n штрихов на 1 мм дифракционной решетки.
04. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние 50 мм. С какой выдержкой надо снять автомобиль, находящийся на расстоянии 2 км от фотоаппарата и движущийся со скоростью 72 км/ч перпендикулярно оптической оси фотоаппарата, чтобы его изображение на снимке переместилось за это время на
расстояние 0,005 мм? Постройте изображение.
05. Луч лазера с длиной волны 600 нм достигает экрана за 0,02 мкс. Сколько длин волн укладывается на пути света от лазера до экрана?
06. Собирающая линза помещена между свечой и экраном, так что на экране образуется чёткое изображение свечи. Расстояние между свечой и экраном
равно ℓ, а фокусное расстояние линзы равно F. Найти расстояние от свечи до
линзы и от линзы до экрана.
07. На дифракционную решётку в направлении нормали к ее поверхности
падает монохроматический свет. Период решётки d = 2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который даёт эта решётка в
случае красного (λ1 = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (λ2 = 0,41 мкм) света.
08. Определите оптическую силу очков для дальнозоркого глаза, для которого расстояние наилучшего зрения 40 см.
09. Найдите фокусное расстояние двояковыпуклой стеклянной линзы, погруженной в воду, если известно, что ее фокусное расстояние в воздухе 20 см.
179
10. На стеклянную пластину нанесён тонкий слой прозрачного вещества с
показателем преломления n = 1,3. Пластинка освещена параллельным пучком
монохроматического света с длиной волны λ = 640 нм, падающим на пластинку
нормально. Какую минимально толщину d
должен иметь слой, чтобы отра-
min
жённый пучок имел наименьшую яркость?
11. На какой глубине под водой находится водолаз, если он видит отра-
жёнными от поверхности воды те части горизонтального дна, которые расположены от него на расстоянии 15 м и больше? Рост водолаза 1,5 м. Показатель
преломления воды 1,33.
12. На преломляющую грань трёхгранной призмы с показателем преломления 1,6 падает луч света под углом 500. Преломляющий угол призмы равен
600. Под каким углом преломления луч выйдет из призмы?
13. На рассеивающую линзу падает сходящийся пучок лучей. После про-
хождения через линзу лучи пересекаются в точке, лежащей на расстоянии 15 см
от линзы. Если линзу убрать, то точка пересечения лучей переместится на 5 см
ближе к линзе. Определите оптическую силу линзы.
14. Близорукий человек различает мелкие предметы на расстоянии не более 15 см. Определите, на каком расстоянии он сможет их хорошо видеть в оч-
ках с оптической силой −3 дптр.
15. Предмет фотографируют 2 раза с расстояний 90 см и 165 см. Высота
изображений на снимках получилась равной 4 см и 2 см, соответственно. Найти
фокусное расстояние объектива фотоаппарата.
16. Предмет длиной 10 см расположен вдоль главной оптической оси
собирающей линзы с фокусным расстоянием 50 см. Во сколько раз величина
изображения больше величины предмета, если ближайшая к линзе точка
предмета расположена на расстоянии 60 см от плоскости линзы?
17. Луч света падает на систему двух взаимно перпендикулярных зеркал.
Угол падения луча на первое зеркало равен 200. Отразившись от первого
зеркала, луч света падает на второе. Найти угол отражения луча от второго
зеркала.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]