Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управление рисками в лесной отрасли. Монография
.pdf
(
Z
=
=
Z
+
=
−
k
Z
Z
Z
+
L
Таким образом, компоненты вектора
ны удовлетворять ограничениям:
bzb≤≤
min maxjj
Теперь, на первой итерации в [141] задается исходная совокупность векторов
вершинами в
(1) (1) (1)
ZZ
, ,...,
12 1
n
-мерном пространстве
, формирующая симплекс с
n
вершин, определяемыми матрицей:
(0) (0) (0) (0)
⎛⎞
bbdbd bd
1111 2 1 2
⎜⎟
(0) (0) (0) (0)
bbdbd bd
22 221 2 2
⎜⎟
(0) (0) (0) (0)
⎜⎟
D
=
bbdbd bd
33 23 2 3 2
⎜⎟
... ... ... ... ...
⎜⎟
(0) (0) (0) (0)
⎜⎟
bbdbd bd
nn n n
⎝⎠
++ +
++ +
++ +
++ +
22 1
,
1,2,...,jn
(, ,..., )
zz z
12
...
...
...
...
zz z
12
...
долж-
)
n
. (2.11)
(1)n +
с координатами
n
-й
, (2.12)
bbb=+
jjj
()
min max
,
1,2,...,jn
, (2.13)
2
n
dbb
=−
1maxmin
min
{}
jj
n
j
1
, (2.14)
1
(0)
1
dbb
=− −
2maxmin
В матрице (2.12)
-й столбец задает координаты вектора
n
min
{}
jj
j
. (2.15)
(1)
k
При этом, соотношения (2.4), (2.5) обеспечивают выполнение ограничений для компонентов всех векторов
(1) (1) (1) (1)
ZZ Z
, , ,...,
123 1
.
+
n
Теперь, последовательно задавая компоненты векторов
(1) (1) (1)
, ,...,
ZZ
12 1
получим
n
+
(1)n
транспортных задач с целевой функ-
цией:
mn
XZ cx z
(()) ()
=
∑∑
ij
==
ˆ
11
ij ij
(2.16)
.
Совокупность решений этих задач определяют набор значений
целевой функции на этих векторах:
71
LxZ LxZ LxZ
12 1
(1) (1) (1)
( ( )), ( ( )),..., ( ( ))
,
n
+
(
(
+
Z
+
(
Z
(
(
)
(
)
(
(
(
)
после чего дальнейшая вычислительная процедура организуется в соответствии со стандартной технологией метода Нелдера–Мида.
В соответствии с изложенным блок-схема вычислительной про-
цедуры решения задачи имеет вид [141], представленный на рис. 2.2.
)
Формирование исходного набора векторов
1
()
1
Z
1
Транспорт.
задача
()
Z
1
k
Z
1
Формирование нового набора
()
ZL
1
k
Z
2
)
1
Z
2
Транспорт.
задача
)
Z
2
)
ZL
Z
2
векторов (шаг метода Нелдера-Мида)
Транспорт.
k
Z
n
1+
задача
()
()
1
Z
Z
1+n
()
ZL
1+n
1+n
Рис. 2.2. Блок-схема решения стохастической задачи
Получаемый при этом план перевозок минимизирует суммарную стоимость доставки товара с учетом затрат на хранение непроданной части товара и потерь от его дефицита.
Принципиальные недостатки описанной методики состоят
в следующем. Во-первых, как известно [39], метод Нелдера–Мида
обеспечивает решение оптимизационных многомерных задач, если
число переменных невелико (порядка 15–20). В рассматриваемой
задаче это число имеет порядок
шаге метода необходимо решать
с числом переменных
mn×
. Кроме того, следует иметь ввиду, что
23
10 10− . Во-вторых, на каждом
)
1n
-ую транспортную задачу
)
на каждой итерации метода происходит изменение только одного из
1n +
()
векторов
(1) (1) (1)
, ,...,
ZZ
12 1
.
n
С учетом этих обстоятельств понятно, что предложенная в [141]
процедура будет сходиться к исходному оптимальному набору переменных
, ,...,
zz z
()
12
крайне медленно.
k
В связи с этим рассмотрим другой подход к решению задачи
управления транспортировками в условиях, когда спрос на товар
72
(
Z
(
)
X
{
j
L
∑
=
j
=
}
=
=
{
J
∈
j
в пунктах потребления – набор случайных величин с известными
плотностями распределения. Вернемся к исходной задаче. Она сведена к отысканию набора
zz z=
12
бором плана транспортировок
, ,...,
Z
и индуцированного этим на-
)
n
, минимизирующего линейную
формулу (2.16) и удовлетворяющего ограничениям (2.4)–(2.5).
Как и во всякой задаче линейного программирования,
задаче (2.16) соответствует сопряженная ей двойственная задача [7],
формулируемая следующим образом: найти наборы
1,2,...,im=
,
1,2,...,
, максимизирующие функцию
n=
mn
,
UV au zv
()
=+
ij
11
==
∑
ii j j
, (2.17)
{}
U ,
i
}
V ,
i
и удовлетворяющие ограничениям
uv c+≤
ijij
ˆ
1,2,...,im
,
,
1,2,...,
. (2.18)
n
Двойственная задача всегда имеет решение. Причем, если
Xx=
{
и
ij
Wuu uvv v=
, ,..., , , ,...,
{}
12 12
mn
– оптимальные планы соответ-
ственно задач (2.16), (2.17)–(2.18), то
mn m n
ˆ
cx au zv
∑∑ ∑ ∑
ij i j
11 1 1
== = =
=+
ij ij i i j j
. (2.19)
Кроме того, показано, что для оптимальных планов сформулированных двойственных задач имеют место соотношения:
uv c+≤
ijij
ˆ
uv c+=
ijij
1,2,...,im
,
ˆ
, если
,
1,2,...,jn
(2.21)
0.
x >
ij
, (2.20)
Отсюда следует, что из решения двойственной задачи (2.17)–(2.18)
может быть получено решение прямой задачи (2.16), (2.4)–(2.7).
Действительно, пусть
*
u
{}
i
*
v
,
– решение двойственной задачи.
}
j
Подставим это решение в (2.20) и найдем наборы индексов
Ii= ,
*
{}
*
, для которых неравенства (2.20) выполняются, как
j=
{}
равенства, т. е.
uv c+=
****
ijij
ˆ
,
iI
73
**
**
,
J∈
.
{
}
{
}
}
p
=
}
P
{
}
j
∈
(
j
j
}
j
L
∑
{
{
}
{
}
X
}
j
j
(
)
⎧
⎪
⎨
⎪
Тогда, в соответствии с (2.21), наборы
задают набор
Xx=
{
*
i
, компоненты которого положительны и оп-
**
ij
*
,
однозначно
j
ределяют решение прямой задачи, получаемое как решение системы
линейных алгебраических уравнений:
где
{
набор из
и на
mj+
, ,..., , , ,...,
aa a zz z=
12 12
*
– м местах,
mn
nm+
компонентов, в котором единицы находятся на
∑∑
**
∈∈
iI jJ
**
iI∈
,
xP
ij ij
,
p =
**
0 0 ... 0 1 0 ... 0 1 0 ...
ij
.
J
, (2.22)
T
–
*
i
-м
С учетом сказанного, предлагается следующая методика решения исходной задачи.
Заметим, что двойственная задача (2.17)–(2.18) радикально
отличается от прямой задачи (2.16), (2.4)–(2.7) тем, что в двойственной задаче, в отличие от прямой, неопределенность, связанная со случайным характером спроса, из ограничений перешла в целевую
функцию (2.17).
Решение задачи содержит три этапа.
Первый этап. Пусть
ной величины спроса в
чение этого спроса,
,
u
{}
i
, максимизирующих:
v
{
-м пункте потребления и
1,2,...,
творяющих (2.18). Пусть
Используем эти наборы
00
задачи. Пусть
() ()
{}
u
{}
– полученное модальное решение.
x=
i
jj
0
()
i
– плотность распределения случай-
zϕ
)
z
– среднее зна-
j
. Решим задачу отыскания наборов
n=
mn
u
,
0
()
i
UV au zv
()
,
}
0
()
v
j
=+
,
v
∑
ii j j
==
ij
11
0
()
– решение этой задачи.
j
и удовле-
для отыскания решения прямой
Второй этап. Понятно, что для любого конкретного набора
,
u
{}
i
– значение функции (2.20) есть случайная величина, плот-
v
{
ность распределения которой может быть получена с учетом известных плотностей
стности, если
ϕ= −
zϕ случайных компонентов функции (2.17). В ча-
()
2
⎫
⎪
, то плотность распре-
⎬
2
j
⎪
z
()
j
2
1
πσ
exp
j
−
zz
jj
2
σ
⎩⎭
деления будет иметь вид:
74
⎧
⎪
⎨
⎪
j
Z
)
X
{
H
H
2
−
ww
ϕ=ϕ = −
wLUV
() ( )
()
,exp
2
πσ
∑
1
()
2
⎩⎭
σ
⎫
⎪
, (2.23)
⎬
2
∑
⎪
mn
где
wau zv
=+
∑∑
ij
==
11
00
() ()
ii j j
,
σ= σ
n
222
∑
∑
1
=
j
.
z
j
Сформулируем теперь критерий, в соответствии с которым будем решать задачу отыскания оптимальных наборов
Z
и
. Этот критерий – составной и содержит два слагаемых. Пер-
(
, ,...,
zz z=
()
12
n
вое из них характеризует меру «компактности» плотности распределения (2.57) случайной величины (2.17). Второе слагаемое определяет
величину отклонения выбранного набора
()
0
X
набора
.
Xx= от модального
}
ij
В качестве меры компактности плотности распределения случайной величины W можно использовать энтропию
∞
log
ной величины. Как известно,
=− ϕ ϕ
wwdw
() ()
∫
−∞
этой случай-
.
С учетом (2.23) имеем:
∞
=− − − =
Hdw
∫
−∞
+− =πσ+
∞ ∞
et e t
log log
+−=πσ+−+−=
22 22
tdt te dt
∫∫
ππ
−∞ −∞
11
πσ πσ
22
∑∑
=− − +
log exp
∞
e
log
2
πσ
2
exp log 2 exp
∫
−∞
∑
⎧⎫ ⎧⎫
⎨⎬ ⎨⎬
⎩⎭ ⎩⎭
log 1
=πσ+ π=πσ+ =πσ=
log 2 2 log 2 log log 2
∑∑
22
⎧⎫ ⎧⎫
ww ww
() ()
⎪⎪ ⎪⎪
exp log exp
⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
11
πσ πσ
22
⎧⎫
⎪⎪
exp log 2
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
2 2
22
22
∞
∫
−∞
∑∑
ww ww
−−
()()
22
σσ
e
π
⎛⎞
log 2 .
=πσ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
22
−−
22
σσ
∑∑
⎧⎫
ww
()
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
22
22
∑∑
∑
2
dw
(
eez
2
1
2
nm
⎛⎞
ex
2
∑∑
jij
⎜⎟
ji
11
==
⎝⎠
2
2
−
dw
2
σ
∑
−
xw
=
t
σ
∑
=σ
dw dt
∑
2
t
−
2
∞
−∞
⎛⎞
⎜⎟
∑
⎝⎠
∑
1
n
=
j
1
22
jj
2
(2.24.)
75
g
=
=
⎧
⎪
⎨
⎪
В соответствии с этим критерий приобретает вид:
1
RX e x x x
=πσ + −
()
2
⎛⎞
lo
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
nm mn
⎛⎞
2.
2
∑∑ ∑∑
jij ijij
⎜⎟
11 11
ji ij
== ==
⎝⎠
2
()
0
()
2
(2.25)
Третий этап. На этом этапе выбирается начальный опорный
план задачи и реализуется его улучшение. В качестве начального
плана задачи может быть использован модальный набор, обнуляющий второе слагаемое критерия. Дальнейшая итерационная процедура улучшения плана представляет собой редукцию к двумерному
случаю процедуры улучшения плана [39].
2.3.2. Транспортная задача
со случайными стоимостями перевозок
Рассмотренная выше транспортная задача, в которой случайным
был спрос на товар, значительно усложняется, если случайными являются стоимости транспортировок. Рассмотрим эту задачу. Примем,
что параметры целевой функции задачи есть случайные величины
с известными плотностями распределения. На стоимости транспортировок товара реально влияет большое число разнообразных факторов.
При этом обычно считают, что
их совместное влияние в соответствии
с центральной предельной теоремой теории вероятностей приводит
к нормальности случайных стоимостей перевозок [36; 44; 46].
В соответствии с этим введем набор плотностей:
σ
2
1,2,...im
2
ij
,
,
1,2,...,jn
, (2.26)
c
ϕ= −
()
ij ij
2
πσ
j
случайных значений C
1
⎪⎪
exp
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
, где Cij – случайная величина.
ij
⎧⎫
cm
−
()
ij ij
2
Тогда плотность распределения случайной величины суммарной
mn
RLX cx
стоимости транспортировки:
==
()
∑∑
11
ij
==
ij ij
имеет вид:
2
⎫
⎪
Σ
, (2.27)
⎬
2
Σ
⎪
fR fLX
== −
() ( )
()
2
1
πσ
Σ
−
Rm
()
exp
2
⎩⎭
σ
где
mn
mmx
=
Σ
∑∑
`1
ij
==
ij ij
σ= σ
,
76
mn
222
∑∑
Σ
`1
ij
==
x
. (2.28)
ij ij
(
)
P
X
)
x
В такой постановке задача состоит в отыскании плана транспор-
тировок
xX =
, доставляющего экстремальное значение какой-либо
ij
естественным образом выбранной функции с учетом плотности (2.27)
и удовлетворяющего ограничениям (2.2)–(2.4). Эта задача рассматривалась в [39], где критерий был определен следующим образом.
Задается некоторое пороговое значение
R
суммарной стоимости
n
транспортировки, превышение которого расценивается как признак
не эффективности соответствующего плана транспортировки. Тогда
в качестве критерия предлагается выбрать вероятность того, что суммарная стоимость перевозки превысит пороговую. Эта вероятность
равна:
∞
RR fRdR
≥= =
()
∞∞
=− =
R
11
∫∫
πσ π
22
n
Σ
⎧⎫
Rm
()
⎪⎪
exp
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
n
σ
2
Σ
2
Σ
−
2
()
∫
R
n
dR e du
Rm
−
Σ
n
σ
Σ
Rm
n
σ
2
u
−
2
. (2.29)
−
Σ
Σ
Далее исходная задача преобразуется к следующей: найти
удовлетворяющий ограничениям план перевозок
, минимизирующий (2.29), что эквивалентно максимизации нижнего предела в интеграле (2.29), который равен:
mn
Rmx
−
∑∑
RX
()
n
==
σ
Σ
Σ
Rm
−
Критерий
RX
(
преобразуется к виду:
nijij
ij
11
==
mn
⎛⎞
⎜⎟
∑∑
11
ij
==
⎝⎠
22
σ
ij ij
x
. (2.30)
1
2
mn mn mn mn
RX
()
RR
nn
∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑
AA
ij ij ij ij
11 11 11 11
===
== == == ==
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∑∑ ∑∑ ∑∑
ij ij ij
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
−−
ij ij ij ij ij ij ij
mn mn mn
11 11 11
== == ==
22 22 22
σσσ
ij ij ij ij ij ij
mx m x dx
111
222
xxx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
,
77
где
=
=
(
x
X
{
H
R
n
=−
dm
ij ij
m
a
∑
i
1
i
=
1,2,...,im
,
,
1,2,...,jn
,
Далее понятно, что максимум
боре, что максимум
Таким образом, задача сведена к следующей: найти план
2
RX
FX R X
() ()
. В соответствие с этим вводится:
()
2
==
RX
⎛⎞
⎜⎟
∑∑
⎝⎠
достигается на том же на-
)
mn
11
==
ij
mn
∑∑
11
==
ij
dx
σ
2
ij ij
. (2.31)
22
ij ij
,
максимизирующий дробно-квадратичную функцию (2.31) . При этом
показано, что как угодно точное решение этой задачи может быть
получено в результате решения рекуррентной последовательности
задач квадратичного программирования [109]. Принципиальный недостаток изложенного подхода состоит в том, что численное значение
критерия жестко зависит не только от плана транспортировки, но
и от величины порога.
Исследования
показывают, что полученный в результате решения этой задачи (2.31) сам план транспортировок существенно
зависит от величины порога, что приводит либо к необходимости
надлежащего его обоснования, либо к отказу от использования предложенной в [109] методики.
Рассмотрим альтернативный вариант решения транспортной за-
дачи со стохастически заданной матрицей стоимостей перевозок
[141].
Используем вновь описанный
мированию составного критерия. Пусть
выше подход, приводящий к фор-
00
() ()
Xx=
– решение этой
}
ij
задачи. Далее, с учетом (2.24), (2.27), (2.28) «компактность» тела неопределенности относительно численного значения случайной суммарной стоимости транспортировок определяется выражением:
1
⎛⎞
=π σ
Xex
()
log 2
⎜⎟
⎝⎠
nm
∑∑
ji
==
11
22
ij ij
2
.
78
вид
Тогда критерий качества плана транспортировок будет иметь
1
RX e x x x
cijijijij
=πσ+ −
()
2
⎛⎞
log 2
⎜⎟
⎝⎠
mn mn
22
∑∑ ∑∑
== ==
ij ij
11 11
()
2
0
()
. (2.32)
Процедура дальнейшего решения задачи аналогична описанной
в п. 2.3.1. По нашему мнению, приведенная выше методика моделирования перевозочного процесса в условиях неопределенности является слишком громоздкой для перевода ее элементов в линейную
зависимость.
Рассмотрим другую нелинейную модель [79], в которой предложена двухуровневая система «выбора и принятия управленческих
решений в интегрированных предприятиях
лесной отрасли в условиях
неопределенности», вызванной воздействием факторов неопределенности, где на первом уровне решаются традиционные задачи планирования основных технико-экономических показателей предприятия
лесной отрасли (табл. 2.1), а на втором – профиль рисков оценивается
экспертными методами для определения суммарного эффекта от выбора стратегии хозяйственной деятельности.
Таблица 2.1
Схема расчетов основных индикаторов принятия
управленческих решений
Факторы Институциональ-
ные факторы
Сценарий
развития*
1
2
3
Управленческий
*Примечание:
1. Оптимистический вариант развития события (оптимальный).
2. Текущий вариант.
3. Пессимистический вариант.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Планово-экономический уровень
уровень
Прогнозные планово-
экономические факторы
Индика-
торы
В качестве критерия оптимальности в данной модели предлага-
ется показатель суммарного дохода (), скорректированный
79
на влияние выделенных факторов неопределенности и риска. Сумма
В М который корректируется на воздействие вы-
явленных рисков. Сумма представляется, как «эффект финансовых
потерь (приобретений)», по причине воздействия неопределённости
на деятельность предприятий выявленных экспертами факторов
неопределенности, где:
1. Использование лесных ресурсов ().
2. Уровень теневых отношений и инфляции в лесной отрасли (В).
3. Деятельность транспортных компаний (М).
4. Деятельность государственных органов и служб ().
Каждый фактор, оказывающий воздействие на показатель сум-
марной выручки определяется экспертами лесной отрасли.
Достоверность оценок экспертов зависит от их квалификации
и может быть разной, поэтому в подобных случаях применяют взвешивание мнений экспертов отрасли. Исходя из вышеотмеченного,
в основе подведения итога исследования лежит выбор способа формирования прогноза.
Достоверность прогноза,
выполненного методом экспертных
оценок, напрямую зависит от квалификации экспертов и достаточно
не велика. Обозначенную оценку можно повысить путем групповых
экспертных опросов, которые проводятся в несколько туров. Чем
меньше разброс мнений и устойчивей мнение экспертов, тем выше
вероятность прогноза.
Итоговая оценка экспертного мнения выводится как:
– путем нахождения средней арифметической экспертных оце-
нок (если эксперты имеют различную квалификацию);
– правило «диктатора», выражение одним человеком мнения
всей экспертной группы;
– демократический подход, за один или несколько туров совер-
шается приход к общему мнению (метод Дельфи).
Например, группе экспертов (специалистов лесной отрасли)
предлагается ответить на 4 вопроса, содержащихся в анкете, касательно оценки влияния профиля рисков на
результаты деятельности
предприятия.
В результате проводимого опроса составлена «шкала ответов»
и, используя нормирование, каждому из факторов присваивается
оценочное значение от 0 до 1, используемое для расчета коэффициента влияния факторов неопределенности на выручку интегрированного
предприятия. Промежуточным показателем при принятии управлен-
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]