Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и вопросов по курсу «Физические основы измерений и эталоны»
.pdf
где – номер зоны Френеля; – длина волны; и – соответственно
sin
=±(2+
1
)
sin
=±2
=1,2,3,…
=+,
=
sin
=±2
=0,1,2,…
sin
=±
≠0,,2,…
(
1.131
)
2
sin
= (=1,2,3,…
=
=
cos
=
диф.реш
.
=
расстояния диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника
и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается.
Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной
щели, на которую свет падает нормально:
,
(
),
(1.128)
где – ширина щели; – угол дифракции; – порядок спектра; –
длина волны.
Постоянная (период) дифракционной решетки:
,
(1.129)
где – ширина каждой щели решетки; – ширина непрозрачных
участков между щелями;
– число щелей, приходящихся на единицу
длины дифракционной решетки.
Условия главных максимумов и дополнительных минимумов
дифракционной решетки, на которую свет падает нормально:
(
);
(1.130)
(
),
где – период дифракционной решетки; – число штрихов решетки.
Формула Вульфа-Брэгга (условие дифракционных максимумов
от пространственной дифракционной решетки):
), (1.132)
где – расстояние между атомными плоскостями кристалла; – угол
скольжения; – длина волны рентгеновского излучения.
Угловая дисперсия дифракционной решетки:
,
(1.133)
где – угол дифракции; – порядок спектра; – период решетки.
Разрешающая способность спектрального прибора:
,
(1.134)
где – минимальная разность длин волн двух соседних
спектральных линий, при которой эти линии регистрируются
раздельно.
Разрешающая способность дифракционной решетки:
,
(1.135)
где – порядок спектра; – общее число штрихов решетки.
81
Примеры решения задач
sin
=±
(=1,2,…
sin
=±
(=0,1,2,…
(1)
1. На щель шириной =0,24 мм падает нормально
монохроматический свет с длиной волны =600 нм. Дифракционная
картина проецируется на экран, параллельный плоскости щели, с
помощью линзы, расположенной вблизи щели. Определите расстояние
от экрана до линзы, если расстояние между первыми
дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны
центрального максимума, равно 1 см.
Дано: =0,24 мм (2,4∙10 м); =600 нм (6∙10
м);
=1 см (10 м); =1.
Найти: .
Решение. Условие дифракционных минимумов от одной щели,
на которую свет падает нормально,
), (1)
где по условию задачи =1.
=2tg,
где – угол, под которым наблюдается первый минимум
интенсивности света. Так как
2sin, откуда sin=
.
≪, то tg≈sin, поэтому =
Подставив последнее выражение в формулу (1), получим
искомое расстояние от экрана до линзы
=
.
Ответ: =2 м.
2. Наибольший порядок спектра, получаемый с помощью
дифракционной решетки равен 5. Определите постоянную
дифракционной решетки, если известно, что монохроматический свет
(=0,5 мкм) падает на нее нормально.
Дано:
=5; =0,5 мкм (0,5∙10
м).
Найти: .
Решение. Постоянная дифракционной решетки и угол
отклонения лучей, соответствующий m-му главному дифракционному
максимуму, связаны соотношением
),
где – порядок спектра, или в случае монохроматического света
порядок максимума.
82
Для определения максимального числа максимумов
sin
= (=0,1,2,…
(1)
(наибольшего порядка спектра), получаемого с помощью
дифракционной решетки, следует максимальный угол отклонения
лучей решеткой принять равным
(тогда sin
=1). Из формулы
(1) при данных допущениях получаем
=
,
откуда искомая постоянная дифракционной решетки
=
.
Ответ: =2,5 мкм.
3. На дифракционную решетку, содержащую 200 штрихов на 1
мм, нормально к ее поверхности падает монохроматический свет с
длиной волны =500 нм. Вблизи решетки помещена собирающая
линза, в фокальной плоскости которой расположен экран, на который
проецируется дифракционная картина. Определите расстояние
экрана от линзы, если первый главный максимум наблюдается на
расстоянии =10 см от центрального.
Дано: =200; =1 мм (10 м); =500 нм (0,5∙10
м);
=10 см (10 м); =1.
Найти: .
Решение. Условие главного дифракционного максимума в
случае дифракционной решетки
),
где – порядок спектра, или в случае монохроматического света
порядок максимума (по условию задачи, =1).
tg=
Так как ≪, то tg≈sin, откуда sin=
.
. Период
дифракционной решетки, зная число штрихов на единицу длины,
=
. Подставив два последних выражения в формулу (1), получаем
=,
откуда искомое расстояние от экрана до линзы
=
.
Ответ: =1 м.
4. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности
падает монохроматический свет с длиной волны =550 нм. На экран,
находящийся от линзы на расстоянии =1 м, расположенной вблизи
83
решетки, проецируется дифракционная картина, причем первый
sin
= (=1,2,…
(1)
главный максимум наблюдается на расстоянии =12 см от
центрального. Определите: 1) период дифракционной решетки; 2)
число штрихов на 1 см ее длины; 3) общее число максимумов,
даваемых решеткой; 4) угол дифракции, соответствующий последнему
максимуму.
Дано: =550 нм (5,5∙10 м); =1 м; =1; =12 см
(0,12 м); =1 см (0,01 м).
Найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4)
.
Решение. 1) Период дифракционной решетки найдем из
условия главного максимума
),
где – порядок спектра (по условию задачи, =1).
tg=
.
Так как ≪, то tg≈sin. Тогда выражение (1) можно
записать в виде
=,
откуда
=
.
2) Число штрихов на =1 см
=
.
3) Поскольку наибольший угол отклонения лучей решеткой не
может быть более
, из условия (1) можно найти максимальное
значение
(приняли sin
≤
=1). Естественно, что число должно быть
целым. Общее число максимумов, даваемых дифракционной
решеткой,
=2
+1,
так как максимумы наблюдаются как справа, так и слева от
центрального максимума (единица учитывает центральный
максимум).
4) Угол дифракции, соответствующий последнему максимуму,
найдем, записав условие (1) в виде
sin
=
,
84
откуда
sin
=
=arcsin
.
Ответ: 1) =4,58 мкм; 2) =21,8 см-1; 3) =17; 4)
=73,9
.
5. Параллельный пучок монохроматического рентгеновского
излучения (=243 нм) падает под углом скольжения =60
на
грань кристалла каменной соли. Определите расстояние между
атомными плоскостями кристалла, если при зеркальном отражении
этой грани наблюдается максимум второго порядка.
Дано: =243 нм (2,43∙10
м); =60; =2.
Найти: .
Решение. Дифракционные максимумы от пространственной
решетки (в данном случае кристалла каменной соли) определяются
согласно формуле Вульфа-Брегга:
2sin= (=1,2,3,…)
где – расстояние между атомными плоскостями кристалла; – угол
скольжения (угол между направлением падающего излучения и
гранью кристалла); – длина волны падающего рентгеновского
излучения; – порядок максимума.
Тогда искомое расстояние между атомными плоскостями кристалла
=
sin
.
Ответ: =0,28 нм.
6. Дифракционная решетка длиной =5 мм может разрешить
в спектре первого порядка две спектральные линии натрия (=589,0
нм и =589,6 нм). Определите, под каким углом в спектре третьего
порядка будет наблюдаться свет с =600 нм, падающий на решетку
нормально.
Дано: =5 мм (5∙10 м); =589,0 нм (5,890∙10
м);
=589,6 нм (5,896∙10 м); =600 нм (6∙10 м); =1;
=3.
Найти: .
Решение. Для нахождения искомого угла напишем условие
дифракционного максимума
sin=
,
откуда
.
(1)
85
Период дифракционной решетки =
=
∆
=
=
(1)
=
=
=
=
, где – общее число
штрихов дифракционной решетки. Найдем из формулы для
разрешающей способности дифракционной решетки:
==
где ∆=−. Тогда =
,
∆
.
∆
и
(2)
Подставив (2) в (1), найдем искомый угол:
=arcsin
Ответ: =2042
∆
.
.
7. Сравните наибольшую разрешающую способность для
желтой линии натрия (=589 нм) двух дифракционных решеток
одинаковой длины (=4 мм), но разных периодов (=5 мкм,
=10 мкм).
Дано: =589 нм (5,89∙10 м); =4 мм (4∙10
=5 мкм (5∙10 м); =10 мкм (10
Найти:
;
.
м).
м);
Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки
=,
где – порядок спектра; – общее число штрихов решетки. Согласно
записанной формуле, наибольшая разрешающая способность
дифракционных решеток
где
и
и
– соответственно максимальное число
,
максимумов (наибольший порядок спектра), даваемых решетками.
Из условия главных максимумов в случае дифракционных
решеток
sin
приняв sin
приняли равным
где
=16.
и
= и
=1 (максимальный угол отклонения лучей решеткой
), получаем
и
– целые числа. Вычисляя, получаем
sin
=,
,
(2)
=8;
Число штрихов дифракционных решеток
и
,
(3)
86
где – длина решетки (по условию задачи она для обеих решеток
+
=
cos
=1+
∑
⁄
=
=
cos
одинакова); и
значения
– периоды решеток. Подставив выражения (3) и
и
в формулы (1), найдем искомую
разрешающую способность дифракционных решеток:
=8
Ответ:
и
=
=16
=6400.
.
1.6.4. Распространение света в веществе
Уравнение вынужденных колебаний оптического электрона
под действием электрической составляющей поля электромагнитной
волны (простейшая задача дисперсии):
(1.136)
где
– амплитудное значение силы, действующей на электрон со
стороны поля волны;
,
– собственная частота колебаний электрона;
– частота внешнего поля; , – масса и заряд электрона.
Зависимость показателя преломления вещества от частоты
внешнего поля, согласно элементарной электронной теории
дисперсии,
,
(1.137)
где – электрическая постоянная; – концентрация электронов;
– масса электрона; – заряд электрона.
Закон Бугера (закон ослабления интенсивности света в
веществе):
, (1.138)
где и – интенсивности плоской монохроматической световой
волны соответственно на входе и выходе слоя поглощающего
вещества толщиной ; – коэффициент поглощения.
Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:
,
(1.139)
где и – соответственно частоты электромагнитного излучения,
испускаемого источником и воспринимаемого приемником; –
скорость источника электромагнитного излучения относительно
приемника; – скорость света в вакууме; – угол между вектором
87
скорости и направлением наблюдения, измеряемый в системе
=
1
−
cos
=
=(−
)+(
−
)
=
+
−
(1)
отсчета, связанной с наблюдателем.
Поперечный эффект Доплера (=
):
.
(1.140)
Эффект Вавилова-Черенкова:
,
(1.141)
где – угол между направлением распространения излучения и
вектором скорости частицы; – показатель преломления среды.
Примеры решения задач
1. На грань стеклянной призмы с преломляющим углом
=50 падает монохроматический луч света под углом =40
Определите угол отклонения луча призмой, если показатель
преломления стекла равен 1,5.
Дано: =50; =40; =1,5.
Найти: .
Решение. Падающий луч претерпевает двукратное
преломление (на левой и правой гранях призмы) и потому отклоняется
от первоначального направления на угол . Отсюда следует, что
(учли, что +=).
Согласно закону преломления,
sin
=,
sin
sin
откуда sin=
и =arcsin
=−, получаем =24,63
sin
=25,37
.
. Учитывая, что
Применяя закон преломления, запишем
sin
sin
откуда sin=sin и =arcsin(sin
=
,
)
=38,69
.
Искомый угол отклонения луча призмой, согласно (1),
=+−=40+38,69−50=28,60=2841
Ответ: =2841
.
.
.
88
2. Монохроматический луч света падает на боковую
=
=
(2)
поверхность равнобедренной призмы и после преломления на ее левой
грани идет в призме параллельно ее основания. Выйдя из призмы, он
оказывается отклоненным на угол от своего первоначального
направления. Выведите связь между преломляющим углом призмы ,
показателем преломления призмы и углом .
Решение. Согласно хода лучей в равнобедренной призме, углы
равны. Тогда законы преломления света на левой и правой гранях
призмы запишутся соответственно в виде:
sin
sin
= и
sin
sin
=
,
откуда следует, что =.
=2 и =(−)+(−)=2(−)=2−,
откуда
=
и =
.
Согласно закону преломления на левой грани призмы,
=
sin
sin
sin
=
sin
,
откуда искомая связь
=sin
sin
Ответ: sin
.
=sin
.
3. Две пластинки одинаковой толщины, но сделанные из
разного материала, пропускают соответственно 1 2⁄ и 1 4
⁄
падающего
потока световой волны. Пренебрегая отражением света, определите
отношение коэффициентов поглощения этих пластинок.
Дано: =
Найти:
.
; =
; =
.
Решение. Учитывая, что толщины обеих пластинок одинаковы
(==), запишем для них закон Бугера:
; (1)
,
где , и
световой волны на входе и выходе первой и второй пластинок; и
– соответственно интенсивности монохроматической
– коэффициенты поглощения первой и второй пластинок.
89
Подставив в (1) и (2) данные по условию задачи значения для
>
и
и произведя элементарные преобразования, получим искомое
отношение коэффициентов поглощения
=
=2.
=2.
Ответ:
4. Определите показатель преломления среды, в которой
наблюдается эффект Вавилова-Черенкова, если минимальный импульс
электрона равен 2,5∙10
Дано: =9,11∙10
кг;
кг∙м/с.
=2,5∙10
кг∙м/с.
Найти: .
Решение. Эффект Вавилова-Черенкова наблюдается при
движении релятивистских частиц в среде с постоянной скоростью ,
превышающей фазовую скорость света в этой среде, т.е. при условии
где =3∙10
,
м/с – скорость распространения света в вакууме.
(1)
Релятивистский импульс электрона
=
,
где – масса электрона.
Естественно, что минимальному импульсу соответствует
минимальное значение
=
=
=
=
√
,
[учли формулу (1)]. Тогда
откуда искомый показатель преломления среды
=
+1.
Ответ: =1,48.
5. Источник монохроматического света с длиной волны
=600 нм движется по направлению к наблюдателю. Определите
скорость движения источника, если приемник наблюдателя
зафиксировал длину волны =542 нм.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]