Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и вопросов по курсу «Физические основы измерений и эталоны»
.pdf
где – энергетическая светимость черного тела; – поверхность
=
=
=
=2
=ℎ
излучения; – время.
Согласно закону Стефана-Больцмана
(2)
где =5,67∙10
,
Вт/(м2∙К4) – постоянная Стефана-Больцмана.
Подставив (2) в (1), найдем искомое количество теплоты, теряемое
расплавленной платиной:
=.
Ответ: =237 кДж.
4. Определите длину волны фотона, импульс которого равен
импульсу электрона, прошедшего разность потенциалов =10 В.
Дано: =; =10 В.
Найти: .
Решение. Импульс фотона
.
Кинетическая энергия электрона =
=, откуда
(1)
импульс электрона
,
(2)
где – масса электрона; – заряд электрона.
Приравняв, согласно условию задачи, (1) и (2), получим
искомую длину волны фотона:
.
=
Ответ: =388 пм.
5. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла,
полностью задерживаются при приложении задерживающего
напряжения =1,7 В. Фотоэффект для этого металла начинается
при частоте падающего монохроматического света 5,55∙10
с-1.
Определите: 1) работу выхода электронов из этого металла; 2) частоту
применяемого облучения.
Дано: =1,7 В; =5,55∙10
с-1.
Найти: 1) ; 2) .
Решение. Поскольку, согласно условию задачи, фотоэффект
начинается при (
– красная граница фотоэффекта), работа выхода
электронов
, (1)
где ℎ – постоянная Планка.
11
Записав уравнение Эйнштейна
ℎ=+
=
ℎ=+
(2)
( – масса электрона;
,
– максимальная скорость фотоэлектрона) и
учитывая, что
=
,
( – заряд электрона;
– задерживающее напряжение), уравнение (2)
можно записать в виде
ℎ=+
,
откуда искомая частота применяемого облучения
=
Ответ: 1) =3,68∙10
.
Дж (2,3 эВ); 2) =9,65∙10
с-1.
6. Некоторый металл, работа выхода электронов из которого
составляет 4 эВ, освещается монохроматическим светом с длиной
волны 220 нм. Определите, какое напряжение следует приложить,
чтобы фотоэффект прекратился.
Дано: =4 эВ (4∙1,6∙10
Найти:
.
Дж); =220 нм (2,2∙10
м).
Решение. Задерживающее напряжение можно найти из
условия
(1)
где =1,6∙10
,
Кл – заряд электрона.
Согласно уравнению Эйнштейна,
.
Подставив (1) в выражение (2) и учитывая, что =
10
м/с – скорость распространения света в вакууме), получаем
=+
,
(2)
(=3∙
откуда искомое задерживающее напряжение
=
−
.
Ответ: =1,65 В.
7. Давление монохроматического света с длиной волны
=500 нм на поверхность с коэффициентом отражения =0,3,
расположенную перпендикулярно падающему свету, равно 0,2 мкПа.
Определите число фотонов, падающих ежесекундно на единицу
площади этой поверхности.
12
Дано: =500 нм (5∙10 м); =0,3; =0,2 мкПа (0,2∙
=
(1)
=ℎ
10
Па).
Найти: .
Решение. Давление, производимое светом при нормальном
падении на поверхность,
(
1+
)
,
где
=
– облученность поверхности, т.е. энергия всех фотонов,
падающих в единицу времени на единицу поверхности; =ℎ. Так
как =
, имеем
=ℎ
,
откуда искомое число фотонов, падающих ежесекундно на единицу
площади поверхности,
=
Ответ: =1,16∙10
(
)
.
м-2с-1.
8. Сколько фотонов испускает электрическая лампочка
мощностью =25 Вт за время =1 с, если предположить, что она
излучает монохроматический свет с длиной волны =600 нм, а
также, что вся потребляемая мощность идет на излучение?
Дано: =25 Вт; =1 с; =600 нм (6∙10
м).
Найти: .
Решение. Энергия, потребляемая электрической лампочкой,
.
Энергия фотонов
. (2)
Приравняв, согласно закону сохранения и превращения
энергии, выражения (1) и (2) и учитывая, что =
=
,
, получаем
откуда искомое число фотонов
=
Ответ: =7,54∙10
.
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Определите длину волны
, соответствующую
максимуму спектральной плотности энергетической светимости
13
черного тела, если его энергетическая светимость =5,67 кВт/м
=
=
Ответ:
=
=2,9 мкм.
⁄
2
2. Красная граница фотоэффекта для лития составляет 517 нм.
Определите минимальное значение энергии фотона, вызывающего
фотоэффект. Ответ:
=2,4 эВ.
3. Задерживающее напряжение для серебряной пластинки
(работа выхода 4,7 эВ) составляет 0,95 В. При тех же условиях для
пластинки цинка задерживающее напряжение равно 1,65 В.
Определите работу выхода электронов из цинка. Ответ: =4 эВ.
4. Число фотонов, падающих перпендикулярно за 1 с на 1 м
зачерненной поверхности, равно 10
. Определите максимальный
импульс, предаваемый поверхности этого металла при вылете
электрона. Ответ:
=2(−)=2,96∙10
кг∙м/с.
5. Определите длину волны рентгеновского излучения, если
при комптоновском рассеянии этого излучения под углом =90
длина волны рассеянного излучения оказалась равной 60 пм.
Ответ: =57,6 пм.
6. Фотон с энергией =0,3 МэВ рассеялся на первоначально
покоившемся свободном электроне. Определите кинетическую
энергию электрона отдачи, если длина волны рассеянного фотона
изменилась на 25%. Ответ: =
=60 кэВ.
1.1.2. Основные характеристики спектров
Переход частицы вещества (атома, молекулы) из одного
энергетического состояния в другое сопровождается испусканием или
поглощением кванта электромагнитного излучения. Каждому
переходу отвечает монохроматическая спектральная линия. Частота
и длина волны
спектральной линии определяется выражением:
.
2
,
(1.25)
где и − энергии исходного и конечного состояний частицы; ℎ −
постоянная Планка; − скорость света.
Совокупность спектральных линий, принадлежащих данной
частице, составляет ее спектр. Если спектр обусловлен переходами,
при которых >
, то его называют спектром испускания. Спектр
14
поглощения или абсорбционный спектр возникает в случае переходов,
=
=−
=ℎ
=
=ℎ
у которых <
.
Для представления спектра частицы в виде разности энергий
двух состояний, используют понятие терма. Терм − внутренняя
энергия частицы, выраженная в см-1:
.
(1.26)
Представляя систему энергетических состояний частицы
посредством термов, волновое число любой спектральной линии
можно получить вычитанием термов:
.
(1.27)
Интенсивность линии в спектре испускания определяется
энергией, излучаемой возбужденными частицами в единице объема в
единицу времени:
,
где − частота спектральной линии, отвечающей переходу →;
(1.28)
− коэффициент Эйнштейна, определяющий вероятность перехода с
испусканием фотона; − число частиц в состоянии .
Согласно статистике Максвелла-Больцмана отношение числа
частиц, находящихся в состоянии →
в состоянии →
, определяется формулой:
,
, к числу частиц, находящихся
(1.29)
где − постоянная Больцмана; − абсолютная температура; и
−
статистические веса; и − энергии состояний и .
Число частиц, находящихся в данном энергетическом
состоянии, называется заселенностью этого состояния.
Для интенсивности линии в спектре поглощения справедливо
выражение:
,
где
переходу →;
− частота спектральной линии, отвечающей абсорбционному
− коэффициент Эйнштейна для вынужденного
перехода с поглощением; – число частиц в состоянии ;
(1.30)
−
плотность мощности поглощаемого излучения, т.е. энергия фотонов с
частотой в единице объема
=
ℎ, [
– число
поглощаемых фотонов в единице объема в единицу времени].
15
В такой записи интенсивность абсорбционной спектральной
Ф()=
Ф
()
∙
10
()
=lg
Ф
()
Ф(
)
=
Ф(
)
Ф
()
∆
≥
+
линии соответствует энергии, поглощаемой частицами в единице
объема в единицу времени. Произведение
характеризует
вероятность перехода с поглощением.
На практике спектры поглощения регистрируют, сравнивая
мощности падающих на слой вещества и выходящих из него
монохроматических лучистых потоков. Ослабление мощности
монохроматического потока, вызванное поглощением частицами
вещества лучистой энергии, описывается основным законом
светопоглощения:
(1.31)
где Ф(
)
− мощность монохроматического потока излучения,
вышедшего из слоя вещества; Ф
,
()
− мощность монохроматического
потока излучения с частотой , падающего на слой вещества
толщиной ; (
)
− коэффициент поглощения (мера поглощательной
способности вещества); − концентрация поглощающего вещества.
Если концентрация вещества выражена в моль∙л-1, а толщина
поглощающего слоя в см, то коэффициент поглощения называют
молярным коэффициентом поглощения (, л∙моль
-1
∙см-1).
Концентрация веществ с неизвестными молярными массами
обычно выражают в массовых долях. Если массовую долю измеряют в
процентах, а толщину поглощающего слоя в см, то в этом случае
коэффициент поглощения называют удельным коэффициентом
поглощения (
%
см
).
При регистрации спектров поглощения обычно измеряют не
(), а оптическую плотность :
или пропускание :
.
Величины и наряду с коэффициентом (
интенсивности линии в спектре поглощения.
Естественная ширина спектральной линии ∆
→ определяется соотношением:
,
где и − время жизни го и го состояний.
16
(1.32)
(1.33)
)
служат мерой
для перехода
(1.34)
Если один из уровней является основным, например, j-й
∆
≥
∆
=0,7∙
10
=
−
уровень, то тогда формула (1.34) принимает вид:
.
(1.35)
Уширение спектральных линий возникает вследствие:
теплового движения частиц (доплеровское уширение); столкновения
частиц (лоренцевское уширение).
Доплеровское уширение преобладает в случае достаточно
разреженных газов. Доплеровскую ширину спектральной линии
рассчитывают по формуле:
,
где − абсолютная температура; – молярная масса частицы;
(1.36)
−
частота, отвечающая максимуму интенсивности спектральной линии.
При атмосферном давлении на уширение спектральных линий
значительное влияние оказывают столкновения частиц (эффект
Лоренца).
Поскольку время между столкновениями частиц может быть
весьма мало, то уширение линий может быть весьма значительным.
Например, при времени между столкновениями ~10
∆≥
≅2∙10
с-1.
с получим:
В этом случае ширина линий, расположенных в видимой
области спектра, достигает сотых долей нанометра.
1.1.3. Спектроскопия атомов
Положение линий в спектре атома водорода описывается
формулой Бальмера-Ридберга:
,
где − постоянная Ридберга; и
− главные квантовые числа,
(1.37)
причем =+1,+2 и т.д.
Группа линий с одинаковым главным квантовым числом
называется серией. Серии линий спектра атома водорода: =1 −
серия Лаймана; =2 − серия Бальмера; =3 − серия Пашена;
=4 − серия Брекета; =5 − серия Пфунда; =6 − серия
Хемфри.
17
Водородоподобными ионами являются ионы , ,
=
−
=
,
с
=
,
см
=
ион
=ℎ
ион
=ℎ
и
т.д., имеющие один электрон и ядро с зарядом . Для
водородоподобных ионов формула (1.37) имеет вид:
,
(1.38)
где − порядковый номер элемента в периодической системе
элементов Менделеева.
Постоянная Ридберга определяется соотношением:
(1.39)
где =
,
− приведенная масса ядра () и электрона (); −
скорость света.
Если обозначать постоянную Ридберга для одноэлектронного
атома с бесконечно большой массой ядра
для одноэлектронного атома с массой ядра
.
, то постоянная Ридберга
будет равна:
(1.40)
При сообщении атому достаточно большой энергии возможен
отрыв электрона. Электрон приобретает дополнительную
кинетическую энергию, которая не квантуется. В результате этого
спектр становится сплошным. Для водорода и водородоподобных
ионов энергию ионизации можно рассчитать по формулам:
, (1.41)
.
(1.42)
Энергетические уровни или термы атомов, между которыми
осуществляются электронные переходы, принято обозначать
где − главное квантовое число; − орбитальное квантовое число
(состояние с =0,1,2,3 принято обозначать ,,,); − квантовое
число полного момента количества движения атома (=+); −
квантовое число, определяющее суммарный спин атома. Величина
2+1 называется мультиплетностью или расщеплением термов. Для
электронных переходов в атоме существуют следующие правила
отбора:
∆=0,±1,±2,±3,…; ∆=±1; ∆=0,±1.
Атомы щелочных металлов имеют один внешний (или
оптический) s-электрон. Их спектры испускания являются типичными
одноэлектронными спектрами и подобно спектру водорода состоят из
,
18
нескольких серий линий: главная, диффузная (или первая побочная),
→3
=3,4,…
Диффузная серия
→3
=3,4,…
Резкая серия
→3
=4,5,…
Основная серия
→3
=4,5,…
()=
(
)
=
(
)
−
(
)
=3,4,…
=
(
)
−
(
)
=3,4,…
=
(
)
−
(
)
=4,5,…
=
(
)
−
(
)
=4,5,…
резкая (или вторая побочная), Бергмана (или основная).
Главная серия названа так потому, что наблюдается и при
поглощении. Следовательно, она соответствует переходу атома в
основное состояние, т.е. является резонансной. Резкая и диффузная
серии состоят, соответственно, из резких и размытых (диффузных)
линий. Серия Бергмана часто называется основной за свое сходство с
сериями водорода. Если обозначить термы символами ,,,,
то для атома натрия спектральные линии могут быть представлены в
виде:
Главная серия
Термы атомов щелочных металлов отвечают эмпирической
формуле:
,
(1.43)
где − постоянная Ридберга; − главное квантовое число; −
ридберговская поправка. Последняя имеет постоянное значение для
данного ряда термов и обозначается той же буквой, что и
соответствующий ряд термов: для S-терма, для -терма и т.д.
Значения поправок определяются эмпирически. Для атома натрия эти
значения равны: =−1,35; =−0,87; =−0,01; =0,00.
Используя эти поправки, получаем следующие выражения
частот спектральных серий атома натрия:
главная серия
, где
водорода и атомов щелочных металлов каждый ряд термов, кроме Sтермов, распадается на два ряда, т.е. их структура оказывается
дублетной.
диффузная серия
, где
(1.44)
резкая серия
основная серия
, где
, где
Наличие спина у электрона приводит к тому, что у атома
19
Термы принято обозначать символами:
∆
-
1
0,31 17,20 57,72 237,6 554,0
=ℎ
(
1−
)
2
2
2
,
⁄
,
⁄
2
,
⁄
⁄
, 2
⁄
2
,
2
,
⁄
, …
⁄
Хотя S-термы являются простыми и не расщепляются, в
верхнем левом углу символа также ставится цифра 2, чтобы показать,
что этот ряд принадлежит к дублетной системе термов. Расщепление
энергетических уровней обуславливает расщепление спектральных
линий на компоненты. Структура спектра, отражающая расщепление
линий на компоненты, называется тонкой структурой.
Теория предсказывает быстрый рост дублетного расщепления
атомов с ростом атомного номера. Ниже приведены значения
расщепления нижних
2
-термов (∆=2
⁄
−2
) щелочных
⁄
металлов:
Элемент
, см
При повышении температуры интенсивность линий в спектре
испускания атомов увеличивается вследствие быстрого роста
заселенности возбужденного энергетического уровня, а затем,
достигнув определенного предельного значения, начинает
уменьшаться в результате ионизации атомов. При наличии ионизации
формула (1.44) принимает вид:
,
(1.45)
где − степень ионизации.
Из формул (1.44) и (1.45) следует, что с повышением энергии
возбуждения уровня интенсивность линий в спектрах испускания
атомов уменьшается. Кроме того, с ростом энергии возбуждения
уменьшается и вероятность излучения. Именно поэтому наиболее
яркими в спектре испускания являются резонансные линии,
отвечающие переходу из первого низшего по энергии возбужденного
состояния в основное.
1.1.4. Электронные спектры поглощения молекул
В общем случае молекула характеризуется совокупностью
молекулярных и атомных орбиталей, некоторые из которых заселены
электронами, а остальные являются вакантными. Орбитали,
обладающие одинаковой энергией, называются вырожденными.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]