Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проблемы финансового моделирования с позиций экономической безопасности. Монография
.pdf
81
концепции и модели стохастической волатильности. Поэтому классическая
модель стала использоваться только в качестве ориентира и на практике перешли
к различным вариациям.
Модификации модели Блэка − Шоулза
За сорок пять лет вышел целый ряд приложений к модели Блэка − Шоулза
и ее модификациям:
- в 1974 г. Роберт Мэртон модифицировал модель и приспособил ее
для оценки кредитных рисков корпоративных долгов;
- в 1976 г. Фишер Блэк модифицировал модель для оценки
фьючерсных опционных контрактов;
- в дальнейшем в модели была полнее учтена динамика возможных
изменений. В рамках броуновского движения модель ценообразования опциона
выглядит следующим образом:
, (4)
где
S – цена оцениваемого финансового актива (базовый актив) во время t;
r – безрисковая ставка;
− волатильность базовой доходности;
W – винеровский процесс во время t (случайность изменений в момент
времени t).
В модели применяются два броуновских движения: одно для основного, а
другое для дисперсии. Поэтому модели стохастической волатильности относятся
к двухфакторным моделям. Конечно, эти два броуновских процесса
коррелируются, и, по крайней мере, при оценке акций корреляция обычно
считается отрицательной, поскольку увеличение / уменьшение цены актива
связывают с уменьшением / увеличением волатильности;
- в текущем веке для оценки цены стали прибегать к помощи
симуляции Монте-Карло, что позволяло полнее учитывать возросшую
неопределенность рынка и использовать для расчетов Excel или аналогичные
программы, что значительно упростило расчеты. Применяют два компонента
ценовых движений активов: дрейф – постоянное направленное движение и
случайный вход – представляет волатильность рынка. При анализе
исторических данных о ценах можно определить дрейф, стандартное
отклонение, дисперсию и изменение средней цены для ценной бумаги. Такой
подход лежит в основе моделирования Монте-Карло;
82
- последние лет десять для оценки цен стали использовать
байесовскую эконометрику;
- во второй половине текущего десятилетия в модели все чаще
используют нейронные сети.
Альтернативы модели Блэка − Шоулза
Модель Хестона
В последнее время все более востребованной становится модель Хестона,
которая была предложена в 1993 г [88]. Модель Хестона делает предположение
о произвольности волатильности, в то время как модель Блэка − Шоулза
поддерживает постоянную волатильность. Модель Хестона позволяет оценивать
возрастающую волатильность по мере приближения к дате истечения срока
действия опциона, то есть таким образом учитывалась ликвидность опциона и
неопределенность рынка. В этом плане модель Хестона полнее отвечает
условиям современного рынка, на котором усиливается волатильность и
постоянно колеблется ее уровень [89].
Модель выглядит следующим образом:
(
) (5)
Параметры модели следующие
,
где
S – цена базового актива в момент времени t;
r – безрисковая ставка;
V − дисперсия в момент времени t;
− долгосрочная дисперсия;
a – средняя скорость реверсии дисперсии;
− изменчивость дисперсионного процесса;
– параметр, который управляет эксцессом распределения доходности
базового актива и задает его асимметрию.
Несмотря на достаточно усложненный внешний вид, модель достаточно
проста в практическом применении. Так, после оценки значений параметров
модели функцию Хестона можно легко оценить с помощью существующего в
интернете в свободном доступе программного обеспечения. Функция 3
(chfun_heston.m) показывает, как вычислить функцию Хестона в Matlab [90].
Модель Хестона использует статистические методы расчета и прогноза цен
опционов (впрочем, и базовые модели также построены на статистических
методах), что все чаще становится основой ее критики. Оценка цен в таких
условиях возможна лишь в рамках колебаний текущей фазы цикла. Шоковые
83
воздействия на цены способны уловить лишь модели, построенные на
баейсовской эконометрике и использующие элементы искусственного
интеллекта.
Модификации модели Хестона
На базе модели Хестона появилась целая серия моделей, все они
учитывали волатильность как произвольную, а не постоянную, что делает
модели стохастической волатильности уникальными. Другие типы моделей
стохастической волатильности включают модель SABR, модель Чена (Chen) и
модели ARCH (1982 г.) и GARCH (1986 г.) [91], а также целую серию более
поздних разработок, включая модель Хентшеля, 1995 г., позволяющую учесть
большее множество. Все эти модели входили в общий ряд авторегрессионных
условных гетероскедастичных моделей [92]. Модели исходят из того, что
текущие значения цен зависят от прошлых значений, то есть волатильность
детерминирована. Поэтому применяется анализ длинных временных рядов.
Построение ведется следующим образом: (1) сначала анализируется временной
ряд; (2) затем выбираются наиболее подходящие модели авторегрессии для его
анализа; (3) переходят к процессу вычислений автокорреляций ошибок; (4)
после этого проводится проверка на значимость [93].
Альтернативы модели Хестона
Двумя другими широко используемыми подходами к оценке и
прогнозированию финансовой волатильности и цен в условиях повышенной
волатильности являются метод классической исторической волатильности
(VolSD) [94] и подразумеваемой волатильности [95], а также метод
экспоненциально взвешенной волатильности скользящего среднего
(VolEWMA). В основе данных методов также детерминированная
волатильность.
Общее развитие модельного построения ценообразования финансовых
активов шло в направлении более полного учета динамики волатильности,
рисков, неопределенности и связанной с ней случайности в условиях неполной
информации и асимметричного поведения.
Итак, теорема неарбитражного ценообразования выступает как одна из
основных теорем финансовой математики, а модель Блэка − Шоулза с
дополнениями и последующими развитиями – основным математическим
результатом, который широко используется в финансовой практике.
Нестандартные модели
Классические модели финансовых временных рядов обычно
предполагают, что их структура не позволяет объяснить стилизованные явления,
84
такие как асимметрия, тяжелые хвосты и кластеризация волатильности
доходностей активов. Для объяснения таких явлений разработаны
специфические модели GARCH и ARCH.
GARCH служит для кластеризации волатильности. В модели GARCH
инновационные (или остаточные) распределения предполагаются как
стандартные нормальные распределения, несмотря даже на то, что эти
предположения часто отвергается эмпирически. По этой причине были
разработаны модели GARCH с ненормальным распределением инноваций.
Многие финансовые модели со стабильным и умеренно стабильным
распределением вместе с кластеризацией волатильности были разработаны и
применены к управлению рисками, ценообразованию опционов и выбору
портфеля.
В финансовой эконометрике модель авторегрессионной условной гетеро-
скедастичности (ARCH) представляет собой статистическую модель для данных
временных рядов, которая описывает дисперсию текущего члена ошибки или
инновации как функцию фактических размеров членов ошибки предыдущих
периодов времени; часто дисперсия связана с возведенными в квадрат
предыдущими нововведениями. Модель ARCH подходит, когда дисперсия
ошибок во временном ряду следует модели авторегрессии (AR). Если для
дисперсии ошибок предполагается модель авто-регрессионного скользящего
среднего (ARMA), то эта модель является обобщенной авто-регрессионной
условной моделью гетероскедастичности (GARCH).
Модели ARCH обычно используются при моделировании финансовых
временных рядов, которые демонстрируют изменяющуюся во времени
волатильность. При этом производят кластеризацию волатильности, то есть
пакетируют однотипные периоды колебаний – периоды повышенной
волатильности, чередующиеся с периодами относительного спокойствия.
Модели типа ARCH нередко относят к семейству моделей стохастической
волатильности. Однако если подходить к ним достаточно строго, то такой
подход неверен, поскольку в момент времени t любая волатильность полностью
предопределена (детерминирована) предыдущими значениями. Данные
проблемы моделирования являются, как правило, стохастическими. Процессы
непрерывны по своей природе. Поэтому такие модели требуют сложных
алгоритмов, которые влекут за собой достаточно усложненное компьютерное
моделирование. При этом необходимо прибегать к продвинутым численным
методам (например, дифференциальные уравнения, динамическое
программирование, векторные поля, числовая линейная алгебра и пр.). Часто
85
необходимо перейти к разработке особых моделей – алгоритмов оптимизации
выводов (включая мини-мах).
В ходе моделирования широко используются электронные таблицы (почти
всегда требующие обширного VBA). При этом прибегают к следующим языкам
программирования: C ++, Fortran или Python (или программы для численного
анализа, такие как MATLAB).
Так, модели MATLAB часто используется на предварительных стадиях
исследования, а также при создании прототипов на базе интуитивного
программирования, используемого в модели (особенно в случаях, когда
первостепенное значение имеют стабильность или скорость), а также
графических и целого ряда отладочных инструментов. В свою очередь языки C
++ / Fortran предпочтительнее для концептуально более простых, но
дорогостоящих и быстродействующих приложений – в тех случаях, когда
MATLAB слишком медленный. Дело в том, что последний оперативно действует
только с ограниченным числом показателей. Язык программирования Python
используется достаточно часто, поскольку он относительно прост и имеет
большую стандартную библиотеку в основном в свободном доступе. Кроме того,
для многих производных ценных бумаг, в основном стандартного типа, и
портфельных приложений доступно достаточно большое программное
обеспечение, в котором язык программирования зависит от способа разработки
моделей и программ – собственными силами или на базе существующего
модельного ряда.
Критики (еще до финансового кризиса 2008 г.) подчеркивали различия
между математическими и физическими науками и финансами. При этом
обращали внимание на вытекающую из этого осторожность, которую должны
применять разработчики моделей, а также трейдеры и риск-менеджеры,
использующие модели. Авторы Манифеста финансового моделирования
(Эммануил Дерман и Пол Уилмотт) обратили внимание на возможность и
уместность применения математического и статистического моделирования к
финансам вообще, по крайней мере, с обычными допущениями (для опционов,
портфелей, событий финансового рынка).
Модели для оценки инвестиционных портфелей
Оптимизация портфеля представляет собой процесс выбора лучшего
портфеля (распределение активов) из набора всех рассматриваемых портфелей в
соответствии с какой-либо целью. Целью является, с одной стороны,
максимизация таких факторов, как, например, ожидаемый доход, а с другой
стороны, минимизация затрат, таких как, например, финансовый риск.
86
Рассматриваемые факторы могут варьироваться от материальных (таких как
активы, обязательства, прибыль или другие основные факторы) до
нематериальных (таких как выборочная продажа).
Теория портфеля была введена в 1952 и в 1959 гг. в работах Гарри
Марковица (модель Марковица) [96] и доведена до современного уровня в 1970х гг.
Современная теория портфеля является финансовой теорией, которая
пытается максимизировать ожидаемую доходность портфеля для данной суммы
и величины риска портфеля. Возможен вариант минимизации риска для
предполагаемого уровня ожидаемой доходности. Для этого тщательно выбирают
различные активы и определяют их соотношения. В портфеле с данными
критериями, который известен как эффективный портфель, обеспечивается
более высокая ожидаемая доходность, но с большим уровнем риска. В таких
случаях инвесторы стоят перед компромиссом между предполагаемым риском и
ожидаемой доходностью. При этом ожидаемая доходность таких эффективных
портфелей графически может быть представлена кривой, которая известна как
эффективная граница. В таких случаях представленные эффективные портфели,
каждый из которых выражен точкой на эффективной границе, хорошо
диверсифицированы [97]. Хотя игнорирование более высоких моментов может
привести к значительному чрезмерному инвестированию в рискованные ценные
бумаги, особенно при высокой волатильности, оптимизация портфелей, когда
распределение доходов не является гауссовским, является математически
сложной задачей.
С технической точки зрения, модель портфеля симулирует доходность
актива как нормально распределенную функцию (или, более широко, как
эллиптически распределенную случайную переменную). Для этого
определяются два обстоятельства:
- риск как стандартное отклонение доходности;
- моделируется портфель как взвешенная комбинация активов, так
что доходность портфеля представляет собой взвешенную комбинацию
доходности активов.
Объединяя различные активы, доходы которых не имеют абсолютно
положительной корреляции, модель стремится уменьшить общую дисперсию
доходности портфеля. Модель исходит из двух предположений:
- инвесторы рациональны;
- рынки эффективны.
87
Методы оптимизации в моделировании
Задача оптимизации портфеля определяется как проблема максимизации
ограниченного использования. Обычные формулировки функций полезности
портфеля исходят из его ожидаемой доходности (при этом вычитают затраты,
связанные с транзакциями и финансированием) с учетом риска (минус стоимость
риска). Стоимость риска рассчитывается как риск портфеля с учетом параметров
неприятия риска. На практике нередко включают дополнительные ограничения,
которые необходимы для повышения диверсификации, что служит для
дальнейшего ограничения риска. В качестве примеров таких ограничений можно
выделить ограничения веса портфеля активов, секторов и регионов.
Оптимизацию портфеля часто проводят в два этапа. Сначала проводят
оптимизацию весовых классов активов, а затем весов активов в каждом классе
активов. В качестве примера первого вида оптимизации выступают пропорции,
в которых акции соотносятся с облигациями, в то время как примером второго
вида оптимизации является соотношение различных акций. Дело в том, что такие
классы активов, как акции и облигации, имеют принципиально различные
финансовые обоснования и, соответственно, показатели эффективности, то есть
назначение и характеристики, а также различный систематический риск.
Поэтому их можно рассматривать как отдельные и вполне самостоятельные
классы активов. В каждом классе каждая часть портфеля нуждается в
диверсификации, а различные конкретные активы в каждом классе как раз и
обеспечивают такую диверсификацию. При такой двухуровневой процедуре
устраняются несистематические риски. Причем они устраняются как на уровне
каждого конкретного актива, так и на уровне соответствующего класса актива.
Важным подходом к оптимизации портфеля служит определение функции
полезности по фон Нейману − Моргенштерну. Данная функция рассчитывается
по конечному значению портфеля. При этом ожидаемое значение его полезности
максимизируют. Для отражения предпочтения как более высокого (в отличие от
более низкого) по доходности целевая функция возрастает. В результате ценовое
значение портфеля растет. Тем самым повышается эффективность инвестиций.
При этом всегда учитываются риски. Для повышения уровня реалистичности
функции полезности могут потребоваться значительные вычислительные
ресурсы.
Оптимизация финансовых решений
Моделирование оптимизации решений сводится к применению строгих
аналитических методов к четко определенному сценарию, чтобы прийти к
лучшему решению из множества возможных альтернатив строгим, повторяемым
88
и доказуемым образом. При оптимизации портфелей, как и других решений на
финансовых рынках, аналитическая техника применяется для анализа каждого
возможного решения – сценария – и служит для точного выполнения анализа
(обоснования решения – сценария).
Оптимизация портфелей и торговых стратегий является важной частью
технологического инструментария, поскольку она может значительно сократить
время цикла, обеспечить эффективность портфеля при заданных рисках,
предоставить возможность экономить затраты и время при выборе оптимального
решения.
Существует ряд требований, которые необходимо выполнить, прежде чем
решение может быть идентифицировано как реальное решение для оптимизации
портфеля, торговой стратегии или другого финансового решения. В дополнение
к солидным математическим основам (таким как смешанное целочисленное
линейное программирование или MILP) он должен поддерживать
моделирование реальных финансовых процессов, цен финансовых активов,
определять ограничения в нескольких основных категориях и проводить анализ
типа «что если».
Оптимизационные модели призваны моделировать сложные расчеты цены
финансовых активов, портфели, которые являются обычными в сегодняшней
глобальной логистической среде. Они учитывают широкий спектр постоянных и
переменных вопросов, связанных с каждым уровнем портфеля или финансового
рынка.
В настоящее время для оптимизации портфелей, торговых решений,
инвестиционных и кредитных рисков и т.п. применяются различные методы,
среди них ведущими являются следующие:
- линейного программирования (линейной оптимизации). Метод
достижения наилучшего результата (например, максимальной прибыли или
минимальной стоимости) в математической модели, требования которой
представлены линейными отношениями. Линейное программирование является
частным случаем математического программирования (также известного как
математическая оптимизация);
- квадратичного программирования. Процесс решения особого типа
задачи математической оптимизации, в частности, задачи квадратичной
оптимизации (с линейным ограничением), то есть задачи оптимизации
(минимизации или максимизации) квадратичной функции нескольких
переменных, подверженных линейному ограничению на эти переменные.
89
Квадратичное программирование представляет собой особый тип нелинейного
программирования;
- нелинейного программирования. В математике нелинейное
программирование представляет собой процесс решения задачи по оптимизации,
когда некоторые ограничения или целевая функция являются нелинейными.
Задача оптимизации является задачей расчета экстремумов (максимумов,
минимумов или стационарных точек) целевой функции по набору неизвестных
вещественных переменных и условий для удовлетворения системы равенств и
неравенств, совместно именуемых ограничениями;
- смешанного целочисленного программирования. В отличие от
линейного программирования, которое может быть эффективно решено даже в
худшем случае, задачи целочисленного программирования во многих
практических ситуациях (с ограниченными переменными) являются NPсложными, то есть обладают определяющим свойством класса задач, которые
неформально по крайней мере так же сложны, как и самые сложные проблемы,
например, сумма подмножеств;
- метаэвристические методы. Процедура более высокого уровня. или
эвристика, предназначенная для поиска, генерации или выбора алгоритма
частичного поиска, который может обеспечить достаточно хорошее решение
проблемы оптимизации, особенно с неполной или несовершенной информацией
или ограниченными вычислительными возможностями. Метаэвристика может
сделать несколько предположений относительно решаемой проблемы
оптимизации, и поэтому они могут быть использованы для решения различных
задач, связанных с неопределенностью портфеля или финансового рынка в
целом;
- стохастическое программирование для оптимизации
многоступенчатого портфеля. В области математической оптимизации
финансовых проблем стохастическое программирование является основой для
моделирования задач оптимизации, которые связаны с неопределенностью. В то
время как задачи детерминированной оптимизации формулируются с
известными параметрами, проблемы финансового рынка, в частности, портфеля,
почти всегда включают некоторые неизвестные параметры. Когда параметры
известны только в определенных пределах, один подход к решению таких
проблем называется надежной оптимизацией. Здесь цель заключается в
нахождении решения, которое выполнимо для всех таких данных и оптимально
в некотором смысле. Модели стохастического программирования похожи по
стилю, но используют тот факт, что вероятностные распределения, управляющие
90
данными портфеля, известны или могут быть оценены. Целью является поиск
некоторой закономерности, которая выполнима для всех (или почти всех)
возможных данных и максимизирует ожидание некоторой функции решений и
случайных величин. В более общем смысле такие модели формулируются,
решаются аналитически или численно и анализируются для предоставления
полезной информации портфельным управляющим;
- методы копулы. В количественных финансах совокупности
применяются для управления рисками, управления портфелем и его
оптимизации, а также для ценообразования производных финансовых
инструментов. В первом случае копулы используются для проведения стресстестов и проверок на устойчивость, которые особенно важны в таких режимах,
как спад / кризис / паника, в которых могут произойти экстремальные явления
спада (например, глобальный финансовый кризис 2008 г.). Формула
адаптирована для финансовых рынков и использовалась для оценки вероятности
распределения убытков по пулам ссуд или облигаций, а также портфелей;
- методы, основанные на основных компонентах. Анализ основных
компонентов может быть непосредственно применен к управлению рисками
портфелей производных процентных ставок. Торговля множественными
инструментами свопа, которые обычно являются функцией множества (нередко
нескольких сотен) других рыночных своп-инструментов, обычно сводится к 3
или 4 основным компонентам, представляющим общую тенденцию процентных
ставок на макроуровне. Преобразование рисков, которые должны быть
представлены как риски, с учетом факторных нагрузок (или мультипликаторов)
обеспечивает оценки и понимание общих тенденций – своеобразную
кластеризацию тенденций;
- детерминированная глобальная оптимизация. Ветвь численной
оптимизации, которая фокусируется на поиске глобальных решений задачи
оптимизации, в то же время обеспечивая теоретические гарантии того, что
заявленное решение действительно является глобальным в пределах некоторого
предопределенного допуска для портфеля или рынка в целом.
Детерминированная глобальная оптимизация обычно относится к полным или
строгим методам оптимизации портфелей. Строгие методы сходятся к
глобальному оптимуму за конечное время. Детерминированные методы
глобальной оптимизации обычно используются, когда необходимо найти
глобальное решение (глобальный минимум задачи оптимизации), когда
чрезвычайно трудно найти выполнимое решение или просто когда пользователь
хочет найти наилучшее решение проблемы;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]