Проблемы устойчивости начального этапа формирования пучка отрицательных ионов. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”

Е.Е. Барминова

ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ НАЧАЛЬНОГО ЭТАПА ФОРМИРОВАНИЯ ПУЧКА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ИОНОВ

Учебное пособие

Москва 2018

3

ВВЕДЕНИЕ

На всех этапах формирования интенсивного пучка возникает проблема стабильности его распространения. Развитие сильных электростатических неустойчивостей в важнейшем узле ускорителя плоском диоде, особенно в начальной стадии формирования, приводит к ограничению величины тока пучка. Для транспортировки интенсивного однородного пучка, нейтрализованного по заряду, наиболее опасными являются неустойчивости Пирса и Бунемана. Условия развития этих неустойчивостей для электронного пучка в общем случае определяются величиной тока пучка, соотношением масс частиц пучка и частиц нейтрализующего фона, геометрией диода (главным образом, аспектным соотношением), пролетным временем, относительной скоростью потоков, функцией распределения частиц.

Электростатическая неустойчивость холодного пучка отрицательных ионов в плоском диоде носит смешанный характер, когда в пучке нет чисто апериодических или чисто колебательных мод. Похожие решения для электронных пучков были получены с помощью численного моделирования в [1]. Экспериментальное подтверждение существования неустойчивости смешанного типа есть, например, в [2].

В реальной физической ситуации пучок ионов движется в фоне, масса частицы которого не может считаться бесконечно большой, например когда заряд пучка протонов скомпенсирован электронами [3] или пучок отрицательных ионов после выхода из источника движется в плазме, которая образуется в результате ионизации собственного газа, натекающего из источника [4, 5]. В этом случае отношение масс частиц пучка и фона нельзя рассматривать как малый параметр (как это делается для пучка электронов в [1, 6-11, 12, 13].

Настоящее пособие посвящено исследованию условий стабильности формирования пучка отрицательных ионов в диодах с остаточным газом, частицы которого обладают конечной подвижностью. Рассмотрены как квазинейтральный, так и плазменный стационарные режимы распространения пучка. В

4

рамках теории возмущений определены пороговые токи и инкременты неустойчивостей.

В разд. 1 изучается двухкомпонентная ион-ионная система, для которой получены условия развития смешанной пирсовско-двухпотоковой неустойчивости. Предельный ток пучка в этом случае оказывается отличным от величины тока Пирса [15], что соответствует имеющимся экспериментальным данным [16]. Показано, что при докритических токах существует слабое нарастание плазменных колебаний.

При распространении пучка отрицательных ионов в квазинейтральном режиме в области пучка возможно присутствие небольшого числа вторичных электронов, что не нарушает условия квазинейтральности. В разд. 2 показана возможность развития на δ-электронах низкочастотной, чисто колебательной неустойчивости в случае, когда краевые условия не играют существенной роли. Найденные колебания имеют сносовый характер. Инкремент колебаний мал и уменьшается с понижением плазменной частоты пучка.

5

1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОГО ПУЧКА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ИОНОВ В ДИОДЕ С СИЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

После выхода из источника пучок отрицательных ионов попадает в пространство дрейфа, содержащее остаточный газ. В результате ионизации газа пучком образуется плазма, которая позволяет нейтрализовать собственный пространственный заряд пучка. Существуют два основных режима компенсации пространственного заряда пучка: квазинейтральный и плазменный. Для первого характерно распространение пучка в однокомпонентной плазме, при котором наблюдается примерное равенство плотностей заряда nb ~ ng. Плазменный режим осуществляется при движении пучка малой плотности nb в двухкомпонентной плазме с высокой плотностью фоновых ионов n+ и δ-электронов nδ: nb << n+, nδ. При формировании

интенсивных пучков отрицательных ионов, в частности на начальной стадии, вероятнее реализация квазинейтрального режима распространения [17]. При этом решающее значение имеет плотность остаточного газа. Из уравнения баланса рождения и ухода положительных ионов определим критическую плотность nk :

nk 2r0vσivb .

Здесь v+ средняя скорость вторичных положительных ионов; r0 радиус пучка; σi сечение ионизации; vb скорость частиц пучка. При ng < nk устанавливается стационарное состояние системы пучок-плазма с nb ~ n+, причем небольшое количество-электронов не нарушает условия квазинейтральности (пролетное

время вторичных электронов в пучке ~ r0/vδ, vδ ~ 108 см/с). Процесс компенсации заряда рассматривается, например, в [17, 18] и не является предметом исследования настоящей работы.

Рассмотрим квазинейтральный пучок отрицательных ионов, движущийся в плоском диоде с фиксированной (например, нулевой) разностью потенциалов. Согласно [15], порог устойчивости пучка радиусом r0 в одномерном приближении при

6

условии безынерционности внешней цепи определяется равенством:

пролетного промежутка. Отсутствие косых возмущений обусловлено в [15] приближением широкого пучка и наложением бесконечного аксиального магнитного поля.

В рассматриваемой задаче нельзя воспользоваться подобным условием, поскольку аксиальное магнитное поле затруднит уход вторичных электронов из области распространения пучка и, следовательно, изменит характер компенсации собственного заряда пучка. Приближение очень широкого пучка к тому же не описывает реальных физических условий в ускорителях [19]. Поэтому в задаче о колебаниях необходимо рассматривать косые возмущения с отличными от нуля поперечными волновыми числами.

Для холодного пучка в холодной однокомпонентной плазме из уравнений Максвелла следует:

dn

dtb div (nbvb ) 0;

nb0 и vb0 значения плотности и скорости пучка в состоянии равновесия; n', v' малые возмущения плотности и скорости:

nb+ = nb0 + n', vb = vb0 + v'; n', v' ~ exp(ikr i t).

В положении равновесия div vb0 = 0 и grad nb0 = 0, следовательно, для возмущений получим следующую систему уравнений:

7

i n' + ikxnb0vx' + ikynb0vy' + nb0dvz'/dz + vb0dn'/dz = 0;

i vx' + vb0dvx'/dz = (e/mb)ikx ;

i vz' + vb0dvz'/dz = (e/mb)(d /dz); d2 /dx2 + d2 /dy2 + d2 /dz2 = 4 en'.

Определим краевые условия для системы уравнений (1.3) следующим образом:

Здесь ось z направлена вдоль направления распространения пучка. Решение для потенциала можно представить в виде

где ωb частота собственных колебаний пучка; k модуль волнового числа; А, В, 1, 2 некие коэффициенты. Используя граничные условия (1.4), можно получить дисперсионное уравнение, аналогичное [20]:

8

Здесь введены обозначения:

= L/vb0 , 0 = bL/vb0 = b , = kL, k = ( kx 2 + ky 2 ) 1/2 ,

b2 = 4 е2nb0 /mb .

В предельном случае k = 0, → 0 из (1.6) следует равенство:

0 z=L = ,

т.е. результат, полученный Пирсом для широкого пучка.

В [15] для 0 z=L = + , где малая добавка, следует, что

= i vb0/4L.

При > 0 колебания нарастают. Это означает, что предельный ток для стационарного однородного потока частиц соответствует значению 0 z=L = (с периодом система переходит из

устойчивого состояния в неустойчивое и наоборот).

Для пучка с конечным поперечным размером r0 (r0/L ≤ 1) используемое приближение квазиклассики применимо лишь для тех косых волн, модуль волнового вектора которых

k k > 1/r0 .

Решение уравнения (1.6) с условием k 1/r0 позволяет

Очевидно, что наиболее опасны с точки зрения развития неустойчивости колебания с минимальным волновым числом k .

До сих пор предполагалось, что ионы фона лишь компенсируют заряд пучка и не участвуют в развитии колебаний. Если масса иона

9

фона сравнима с массой mb, то систему (1.3) необходимо решать совместно с уравнениями движения ионов фона, для которых начальные значения плотности и скорости n+0 = nb0 и v+0 = 0. Полагая возмущения n' и v' малыми, получим дисперсионное уравнение, аналогичное (1.6), если в (1.7) положить

02 = 2 b2( 2 +2) ,

где

+2 = 4 e2n+L2/mvb02

(вместо 0 = b при + = 0, т.е. когда ионы фона неподвижны). Здесь m+ масса положительного иона. Так же, как и в случае бесконечно тяжелых ионов фона, в этом случае дисперсионному уравнению (1.6) всегда удовлетворяют решения:

При подстановке этих решений в исходную систему уравнений (1.3) с учетом того, что в плоскости инжекции пучок не возмущен (n' z=0 = 0), получим для возмущения плотности n' 0, следовательно, решения (1.9) не описывают реальной неустойчивости. Поэтому необходимо искать другие решения уравнения (1.6), независимые от (1.9).

Пусть k = 0 ( = 0). Рассмотрим область низких частот:

10