Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
где
12
П( q ,q )
( ) ( )
ПП
1 11 1 12 2 2 12 1 22 2
Q cq cq , Q cq cq .=−+ =−+
12
TT
0;
qq
∂∂
= =
∂∂
11 1 12 2 12 1 22 2
12
TT
a q a q; a q a q;
qq
∂∂
=+=+
∂∂
11 1 12 2 12 1 22 2
12
dT dT
aq aq; aq aq.
dt q dt q
∂∂
=+=+
∂∂
11 1 12 2
1112 1 22 2
1 12 2
12 1 22 2
aq aq
aq
c q c q 0;
c q c q 0.aq
++
+
+
++
=
=
12
a
12
c
12
a0=
12
c0=
t
11
q Ce ,
λ
=
t
22
q Ce
λ
=
λ
– потенциальная энергия системы, определяемая выражением (3.8).
Тогда,
(3.11)
С учетом выражения (3.7) для кинетической энергии системы, получим
(3.12)
Подставляя выражения (3.11) и (3.12) в уравнения (3.9), получим уравнения
движения системы в случае свободных колебаний без учета сил сопротивления:
(3.13)
Коэффициенты
и
называют коэффициентами инерционной и упругой
связи соответственно. Если в колебательной системе коэффициент
называют системой с упругой связью, а если
– системой с инерционной связью.
3.2.2 Общее решение дифференциальных уравнений свободных колебаний
, ее
системы с двумя степенями свободы
Решение системы уравнений (3.13) будем искать в виде
В случае малых колебаний в окрестности устойчивого равновесия все значения
.
81
мнимые и, следовательно, частные решения можно представить в следующем виде:
11 22
q A sin(kt ); q A sin( kt )
αα
= += +
12
A , A ,k,
α
22
11 2 2
q k A sin(kt ); q k A sin( kt )
αα
=− +=− +
1
A
2
A
( ) ( )
( ) ( )
22
11 11 1 12 12 2
22
12 12 1 22 22 2
c akA c akA 0;
c akA c akA 0.
− +− =
− +− =
22
11 11 12 12
22
12 12 22 22
c ak c ak
0.
c ak c ak
−−
=
−−
( )( ) ( )
2
22 2
11 11 22 22 12 12
c ak c ak c ak 0− − −− =
2
1
k
2
2
k
, (3.14)
где
– неизвестные постоянные, подлежащие определению.
Продифференцируем (3.14) дважды по времени:
(3.15)
и подставим полученные выражения в систему уравнений (3.13). После
преобразований получим систему двух алгебраических однородных линейных
уравнений относительно
и
:
(3.16)
Система алгебраических однородных линейных уравнений (3.16) имеет
отличное от нуля решение, если определитель системы равен нулю:
(3.17)
Раскрывая определитель (3.17), получаем уравнение частот:
. (3.18)
Уравнение частот (3.18) в общем случае имеет два корня
и
. Если
82
квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергии удовлетворяют
2
1
k
2
2
k
1
q
2
q
2
1
k
2
2
k
1
k
2
k
1
k
2
k
1
k
2
k
12
kkk= =
1
A
2
A
1
q
2
q
11 1 22 2
q A sin ( kt ); q A sin ( kt )
αα
= += +
121 2
,
A A, ,
αα
(0) (0) (0) (0)
01212
1 212
t 0, q q , q q , q q , q q= = = = =
1
q
2
q
условиям определенной положительности, то оба корня
и
действительными и положительными. В этом случае обобщенные координаты
являются
и
выражаются синусоидальной зависимостью от времени. В противном случае
движение системы не является колебательным.
Извлекая из
и
квадратные корни и отбрасывая отрицательные значения
частот, как не имеющие физического смысла, получаем две собственные частоты
колебаний системы
низшей, большую
и
. Меньшую из частот обозначают
называют высшей. Частоты
и
и называют
не зависят от начальных
условий и полностью определяются инерционными и упругими свойствами самой
системы.
В случае равенства частот
тождеством, справедливым при любых значениях
каждое из уравнений системы является
и
. Система
дифференциальных уравнений (3.13) распадается на два независимых уравнения –
одно для
, другое для
. Их решения имеют вид:
(3.19)
Амплитуды и фазы колебаний
определяются независимо для
каждой координаты из начальных условий:
. (3.20)
Система совершает гармонические колебания, при которых обобщенные
координаты
и
изменяются по синусоидальному закону независимо друг от
друга с одинаковыми частотами.
83
В случае разных частот
1
k
2
k
12
,
A A,
α
1
k
(1) (2)
1
12
A ,A ,
α
(2) (2)
2
12
A,A,
α
2
k
1
k
2
k
(1) (1)
11
11
(1) (1)
11
22
(2) (2)
22
11
(2) (2)
22
22
q A sin ( k t );
q A sin ( k t );
q A sin (k t );
q A sin (k t );
α
α
α
α
= +
= +
= +
= +
(1)
1
q
(1)
2
q
1
k
(2)
1
q
(2)
2
q
2
k
2
A
1
A
(1)
22
11 11 1 12 12 1
2
1
(1) 2 2
12 12 1 22 22 1
1
(2)
22
11 11 2 12 12 2
2
2
(2) 2 2
12 12 2 22 22 2
1
A
c ak c ak
,
A c ak c ak
A
c ak c ak
.
A c ak c ak
β
β
−−
==−=−
−−
==−=−
−−
1
β
2
β
и
каждой частоте соответствуют определенные
значения
и
. Обозначим амплитуды и фазу для частоты
– для частоты
В соответствии с этим получим два независимых частных решения,
соответствующих частотам
где
и
составляют главные колебания для частоты
и
через
.
:
(3.21)
, а
и
– для
частоты
.
Каждое из главных колебаний является гармоническим для обеих обобщенных
координат.
Система однородных линейных уравнений (3.16) дает возможность
определить только отношение амплитуд
колебаний соответственно получаем:
и
. Для первого и второго главных
(3.22)
Отношения амплитуд в главных колебаниях
коэффициентами формы:
и
, называют
84
(1) (1) (2) (2)
22 22
12
(1) (1) (2) (2)
11 11
Aq Aq
;
Aq Aq
ββ
= = = =
(1) (2) (1) (2)
1 11 22
11 1 1
(1) (2) (1) (2)
2 1 11 2 22
22 1 1
q q q A sin(k t ) A sin(k t ),
q q q A sin(k t ) A sin(k t ).
αα
β αβ α
= + = ++ +
= + = ++ +
(1) (1)
,
12
11
A A,,
αα
(0) (0) (0) (0)
01212
1 212
t 0, q q , q q , q q , q q= = = = =
1
k
2
k
1
q
2
q
(1)
1
q
( )
2
1
1
k
(1)
1
q
2
k
(2)
1
q
Общее решение системы уравнений (3.13) получается путем суммирования
частных решений:
(3.23)
(3.24)
Четыре постоянных
определяются из начальных условий:
. (3.25)
Полученные результаты показывают, что собственные колебания системы с
двумя степенями свободы не являются простым гармоническим движением и
представляют собой сумму двух главных гармонических колебаний с частотами
, которые содержатся в каждой обобщенной координате
и
.
и
3.2.3 Главные координаты
Выберем в качестве новых обобщенных координат системы
главное колебание с частотой
координата
, а главное колебание с частотой
будет характеризовать только обобщенная
Обобщенные координаты, которые совершают только по одному главному
колебанию, называются главными координатами системы. Произвольные
обобщенные координаты можно представить линейными комбинациями главных:
и
q
, тогда
, – обобщенная координата
.
85
(1) (2) (1) (2)
.
1 21 2
11 1 1
q q q ;q q q
ββ
=+=+
(3.26)
12
kk=
12 12
a 0, c 0= =
1
q
2
q
1
q
∗
2
q
∗
1 1 1 2 11 21
q q q; q q q,
ββ
∗∗ ∗ ∗
=+=+
12
,
ββ
( ) ( )
( ) ( )
**
22 2 2
** * ** *
11 1 22 2 11 1 22 2
11
П сqсq;T aqaq
22
=+=+
Очевидно, что в случае равенства частот
, любые обобщенные
координаты будут главными.
Как и в случае равных частот, система уравнений (3.13) для главных
координат должна распадаться на два отдельных, независимых уравнения. Это
означает, что выражения потенциальной (3.7) и кинетической (3.8) энергий не
должны содержать членов с произведениями переменных, т.е.
Найдем из этого условия главные координаты. Обозначим
обобщенные координаты,
и
– главные координаты.
и
– произвольные
Из (3.26) получим
(3.27)
.
где
– коэффициенты формы, определяемые соотношениями (3.22).
Выражения для кинетической и потенциальной энергий в главных
обобщенных координатах имеют вид:
Подставляя (3.27) в выражения потенциальной (3.7) и кинетической (3.8)
энергий, получим:
. (3.28)
86
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
(
)( )
2
2
11 12 1 22 1 1 11 1 2 22 1 2 1 2
12
2
2
11 12 2 22 2 2
2
2
11 12 1 22 1 1 11 1 2 22 1 2 1 2
12
2
2
11 12 2 22 2 2
1
П с 2с с q 2 с с с q q
2
с 2с с q ;
1
T a 2a a q 2 a a a q q
2
a 2a a q .
β β β β ββ
ββ
β β β β ββ
ββ
∗ ∗∗
∗
∗ ∗∗
∗
= + + + + ++ +
++ +
= + + + + ++ +
++ +
(3.29)
( )
( )
11 1 2 22 1 2
12
11 1 2 22 1 2
12
с с с 0,
a a a 0,
β β ββ
β β ββ
+ ++ =
+ ++ =
* 2* 2
11 11 12 1 22 1 22 11 12 2 22 2
* 2* 2
11 11 12 1 22 1 22 11 12 2 22 2
a a 2a a ; a a 2a a ;
c c 2c c ; c c 2c c .
ββ ββ
ββ ββ
= =
= =
++ ++
++ ++
1
β
2
β
11 12 12 11 22 11 11 22
12 1 2
12 22 22 12 12 22 22 12
ac ac ac ac
;.
ac ac ac ac
ββ β β
+
−−
= =
−−
( ) ( ) ( )
2
11 22 22 12 22 11 11 22 11 12 12 11
ac ac ac ac ac ac 0
ββ
− −− +−=
Сопоставляя выражения (3.28) и (3.29), получим следующие уравнения:
(3.30)
и соотношения между старыми и новыми коэффициентами инерции и жесткости:
Решая систему (3.30) относительно коэффициентов формы
Заметим, что соотношения (3.32) являются корнями квадратного уравнения:
(3.31)
и
, найдем:
(3.32)
. (3.33)
87
Таким образом, коэффициенты формы
1
β
2
β
1
q
∗
2
q
∗
**
12 12
ac0= =
11 1 1
22
11
2222
aq q
aq q
c 0;
c 0.
∗∗
∗∗
+ =
=
+
(1)
1 11
1
(2)
2 22
2
q A sin ( k t ),
q A sin ( k t ),
α
α
∗∗
∗∗
= +
= +
1
k
∗
2
k
∗
**
**
11 22
12
**
11 22
cc
k ;k .
aa
= =
**
1122
и
можно определять двумя
способами: как по формулам (3.22), так и как корни квадратного уравнения (3.33).
Система уравнений малых колебаний (3.13) для главных координат
учетом
Общее решение системы дифференциальных уравнений (3.34) будет иметь
вид:
распадется на два независимых уравнения:
(3.34)
(3.35)
и
с
где
и
– частоты главных колебаний, вычисляемые по формулам:
(3.36)
Отметим особо, что т.к. частоты главных колебаний являются физическими
характеристиками системы, то они не могут зависеть от выбора обобщенных
координат, следовательно,
Каждая из главных координат системы изменяется по гармоническому закону
определенной частоты, амплитуды и фазы, как это наблюдается в случае системы с
одной степенью свободы. Полученные результаты будут справедливы и для систем
88
с любым конечным числом степеней свободы. Использование главных координат,
k
R
k
v
R
k
k kk
F( )µ= −vv
k
µ
R
j
Q
j
q
j
nn n
kk
k kk kk
k1 k1 k1
nn
kk
k1 k1
k
j
k
RR
q
jj
2
kk
j jj
d
dq
d ddФ
,
dq 2 dq 2 d
rr
QF
qq
q
µµ
µµ
= = =
= =
∂∂
==−=−
∂∂
= −
=
= =
−−
∑∑ ∑
∑∑
vv
v
vv v
Ф
не упрощает вычислений, однако главные координаты имеют большое
теоретическое значение, например, при исследовании вынужденных колебаний
системы.
3.3 Влияние линейного сопротивлении на собственные колебания
Пусть на точки системы действуют линейные силы сопротивления
пропорциональные скорости точек
где
– постоянные коэффициенты, характеризующие сопротивление.
Повторяя рассуждения, приведенные в параграфе 2.2, получим выражение для
обобщенной силы сопротивления
:
,
, т. е.
, (3.37)
, соответствующей обобщенной координате
где
– диссипативная функция (2.18).
Следовательно, обобщенная сила сопротивления равна взятой с
противоположным знаком частной производной от диссипативной функции по
соответствующей обобщенной координате.
Учитывая, что выражение для диссипативной функции аналогично
выражению для кинетической энергии, из (3.7) получим:
. (3.38)
89
22
11 1 12 1 2 22 2
1
(b q 2b q q b q ).
2
Φ
=++
11 12 22
b ,b ,b
11 12
11 22
12 22
bb
0, 0, 0,
bb
bb
>> >
1
q
2
q
22
11 1 22 2
22
11 1 22 2
1
T ( a q a q ),
2
1
П ( с q с q ).
2
= +
= +
( )
22
11 1 12 1 2 22 2
1
b q 2b q q b q .
2
Φ
=++
(3.39)
Постоянные величины
называются обобщенными
коэффициентами сопротивления.
Так же как и кинетическая энергия, диссипативная функция является
однородной квадратичной формой обобщенных скоростей.
В общем случае диссипативная функция является неотрицательной
квадратичной формой [3, 4]. Если диссипативная функция является положительно
определенной квадратичной формой, и ее коэффициенты удовлетворяют условию (1.24):
(3.40)
то диссипация называется полной.
Пусть
и
– главные координаты системы. Тогда выражения для
кинетической и потенциальной энергий примут вид:
Диссипативная функция содержит слагаемое с произведением переменным и в
случае главных координат:
(3.41)
(3.42)
90