Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
Подставив начальные условия
0 00
t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = =
00
10 2
q nq
C q ; C
k
∗
+
= =
nt
00
0
q nq
q e ( q cosk t sin k t )
k
− ∗∗
∗
+
= +
nt
q Ae sin( k t )
α
−
∗
= +
00
00
2
22 2
0
1
12 0
2
k
q nq
q
q
C
A C C q ; arctg arctg
nqC
k
α
∗
∗
= += + = =
+
+
nt
1
f ( t ) Ae
−
=
nt
2
f (t ) Ae
−
= −
получим значения постоянных интегрирования:
С учетом найденных значений постоянных (2.45) общее решение (2.43)
примет вид:
Общее решение (2.43) можно представить в амплитудной форме:
в (2.43) и (2.44),
. (2.45)
. (2.46)
, (2.47)
где амплитуда A и начальная фаза α могут быть определены через постоянные
интегрирования (2.45):
.
График движения, соответствующего общему решению (2.47), приведен на
рисунке 13. Он представляет собой синусоидальную кривую, ограниченную двумя
кривыми
и
. Движение такого вида называется
затухающими колебаниями.
Не являясь периодическим движением, затухающие колебания вместе с тем
сохраняют некоторые свойства периодичности. Общее решение (2.47) представляет
41
собой произведение двух функций – экспоненты и синусоиды с периодом
2
T
k
π
∗
∗
=
T
∗
q( t )
22
22
T
k
kn
ππ
∗
∗
= =
−
22
k kn
∗
= −
nt
1
f ( t ) Ae
−
=
TT
∗
>
nk
O
q
q(t)
t
f1(t)= Аe
-nt
Т
f2(t)= -Аe
-nt
,
что приводит к чередованию через равный промежуток времени
максимумов
(рисунок 13). Поэтому можно считать затухающие колебания
нулей и
условно-периодическими.
Величина
колебаний, величина
функция
– условной амплитудой затухающих колебаний.
называется условным периодом затухающих
– условной частотой затухающих колебаний, а
Очевидно, что условный период затухающих колебаний больше периода
свободных колебаний, определяемого формулой (2.38), т.е.
При малых значениях коэффициента затухания
.
условная частота
затухающих колебаний и условный период затухающих колебаний приближенно
равны соответствующим характеристикам свободных колебаний при отсутствии
сопротивления.
0
1
Рисунок 13
42
Решение (2.47) показывает, что в рассматриваемой системе с линейно-вязким
t →∞
0
1
n
τ
=
0
1
n
τ
=
1
0
)
10
nt
n
n( t
1
10
A( t ) Ae
ee
A( t )
Ae
τ
τ
τ
+
−
−
= = =
+
0
τ
e 2,72≈
0
3
τ
3
e 20≈
T
∗
i
i
nT
nt
i
n( t T )
i
A( t )
Ae
A( t T )
Ae
e
η
∗
∗
−
∗
−+
+
= = =
η
сопротивлением колебания затухают только при
, что не соответствует
действительному движению реальных механических систем, которое всегда
заканчивается за конечный промежуток времени. Это противоречие является
результатом того, что в принятой расчетной схеме не были учтены другие виды
действующих сопротивлений, например силы сухого трения, которые и приводят к
прекращению колебаний через конечный промежуток времени.
Введем в рассмотрение величину
, называемую постоянной времени
затухающих колебаний [3, 4], и найдем отношение двух условных амплитуд
затухающих колебаний, отличающихся друг от друга на постоянную времени
.
Из полученного отношения видно, что за каждый промежуток времени,
равный
Через промежуток времени
, условная амплитуда затухающих колебаний уменьшается в
условная амплитуда уменьшится в
затухающие колебания можно условно считать прекратившимися.
Отношение двух последовательных амплитудных значений обобщенной
координаты, взятых через условный период
, называется декрементом
колебаний:
. (2.48)
раз.
раз, а
Логарифмическим декрементом колебаний называют натуральный
логарифм от декремента колебаний
:
43
( )
ln nT
δη
∗
= =
. (2.49)
nk
i i i1 i
AAA A
∆
+
= − <<
i i ii
i1 i i i i
A A AA
ln ln ln 1
A AA A A
∆∆
δ
∆
+
= = =−− ≈
−
i
q( t ) 0=
22
i ii
i i i1 i1
cA c(A A )
Е П ; Е П
22
∆
−
++
= = = =
2
i ii
i1 i1
c(A 2A A )
Е
2
∆
Π
++
−⋅
= =
Логарифмический декремент колебаний используется для характеристики
медленно затухающих колебаний (
), когда изменение амплитудных значений
обобщенной координаты за условный период мало:
. (2.50)
Тогда
. (2.51)
Как видно из (2.51), логарифмический декремент колебаний при медленно
затухающих колебаниях характеризует относительное изменение максимальных
отклонений обобщенной координаты за условный период.
Выясним энергетический смысл логарифмического декремента. Найдем
изменение полной механической энергии системы за условный период колебаний. В
положениях максимальных отклонений обобщенная скорость
, а полная
механическая энергия системы равна ее потенциальной энергии, вычисляемой по
формуле (2.15):
.
С учетом (2.50) для медленно затухающих колебаний имеем:
.
44
Тогда относительное изменение полной механической энергии системы за
i i1 i i i
2
ii
i
Е Е 2A A A
22
ЕA
A
∆∆
δψ
+
−⋅
= = = =
nk=
1,2
n
λ
= −
nt
12
q e (C C t)
−
= +
( )
( )
nt
12
q e nC C t 1 n
−
= −+ −
0 00
t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = =
12
0 00
C q ; C q nq= = +
условный период колебаний составит
,
где
– коэффициент поглощения энергии за один период (цикл) колебаний.
Следовательно, удвоенное значение логарифмического декремента колебаний
равно коэффициенту поглощения энергии за один условный период колебаний.
2. Случай критического сопротивления
:
В случае критического сопротивления характеристическое уравнение (2.41)
имеет два кратных действительных корня:
.
Общее решение дифференциального уравнения (2.40) имеет вид:
, (2.52)
а выражение для обобщенной скорости представляется в виде:
. (2.53)
Подставив начальные условия
получим значения постоянных интегрирования
,
а закон движения в виде
в (2.52) и (2.53),
45
[ ]
nt
000
)
q e q ( q nq t
−
= ++
t
q( t )
nk>
22
1,2
n n k.
λ
=−± −
q(t)
t
q
0
. (2.54)
Общий характер движения в этом случае определяется тем, что при
бесконечном возрастании времени
обобщенная координата
стремится к нулю.
На рисунке 14 представлено решение (2.54) при различных начальных
условиях.
Очевидно, что движение не имеет колебательного характера. Такое движение
называют в общем случае апериодическим, а в рассматриваемом случае
критического сопротивления – предельно апериодическим.
0
Рисунок 14
3. Cлучай большого сопротивления
В случае большого сопротивления характеристическое уравнение (2.41) имеет
два отрицательных действительных корня:
:
46
Общее решение дифференциального уравнения (2.40) в этом случае имеет
22 22
tn nk nktt
12
q e Ce Ce
−−−−
= +
( ) ( )
22 22
12
22 22
nt
tn k tn k
nq e Ce n Ck ennk
−−
−−
= −+ − −+
−
0 00
t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = =
1
C
2
C
00 00
10 20
22
q nq q nq
11
C q ; C q
2k 2k
++
=+=−
вид:
Взяв производную по времени t, определим выражение для обобщенной
скорости:
.
.
Подставив начальные условия
уравнения, найдем значения постоянных интегрирования
и
в полученные
:
.
Таким образом, в случае большого сопротивления движение также имеет
апериодический характер, аналогичный представленному на рисунке 14, причем с
увеличением коэффициента n графики растягиваются вдоль оси абсцисс, т.к. с
повышением вязкого сопротивления при прочих равных условиях скорость
движения убывает.
2.5 Вынужденные колебания системы при гармоническом возбуждении
В случае действия возмущающих сил дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы имеет вид
(2.27).
47
Предположим, что имеет место гармоническое возбуждение колебаний, т.е.
В
q
Q
B
q0
Q (t ) Q sin( pt )
β
= +
0
Q
p,
β
B
q
Q (t)
F(t )
0
F( t ) F sin( pt ).
β
= +
ϕ
qϕ=
0δϕ>
F(t )
B
q
Q (t)
F(t )
0
B
q
F( t )l cos( )
Q ( t ) F l sin( pt )cos
ϕ δϕ
βϕ
δϕ
⋅
= = +
обобщенная сила
изменяется по гармоническому закону:
где
– амплитуда обобщенной силы;
– частота и начальная фаза обобщенной силы соответственно.
2.5.1 Способы возмущения колебаний. Определение обобщенной силы
Выделяют три характерных способа возбуждения колебаний [3, 4]: силовой,
кинематический и инерционный.
, (2.55)
Рассмотрим особенности определения обобщенной силы в каждом из трех
случаев.
1. Силовое возмущение. Пусть математический маятник, связанный с
пружиной (рисунок 15), находится под воздействием внешней силы
изменяющейся по гармоническому закону
Положение
системы будем характеризовать обобщенной координатой q, в качестве которой
выберем угол отклонения маятника
от вертикального равновесного положения.
Дадим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата
получит положительное приращение
возмущающей силы
работы силы
на приращение обобщенной координаты δϕ:
. Обобщенную силу
, и найдем возможную работу
найдем, разделив возможную
,
.
48
cos 1ϕ=
0
B
q
Q ( t ) F l sin( pt )
β
= +
0
S( t ) S sin( pt )
β
= +
( ) ( ) ( )
22 2
11
П c l S(t ) l c 2l S( t ) S( t )
22
ϕϕ ϕ
′
= −−=− −
0
B
q
П
Q ( t ) clS( t ) clS sin( pt )
β
ϕ
′
∂
=−= = +
∂
А
l
φ
c
O
δφ
Полагая с учетом малости угла
обобщенной силы в виде:
Рисунок 15
, получаем выражение для
2. Кинематическое возмущение. Пусть вынужденные колебания возникают в
результате задаваемого извне перемещения точки крепления пружины
(рисунок 16).
Изменение потенциальной энергии пружины при перемещении ее
закрепленного конца с учетом малости угла ϕ будет равно:
.
Тогда
.
49
0
S( t ) S sin( pt )
β
= +
u
ee
F ma= −
e
a S(t)=
B
q
Q (t)
и
B2
e
q0
F l cos( )
mS( t )l cos( )
Q ( t ) mp S l sin( pt )cos
ϕ δϕ
ϕ δϕ
βϕ
δϕ δϕ
⋅
−⋅
= = =−+
ϕ
B2
q0
Q ( t ) mp S l sin( pt )
β
=−+
S(t)
А
l
φ
c O
Рисунок 16
3. Инерционное возмущение. Рассмотрим два возможных случая.
Вынужденные относительные колебания (рисунок 17). Пусть маятник
находится на подвижном основании, которое перемещается поступательно и
прямолинейно по закону
. При составлении дифференциального
уравнения относительных вынужденных колебаний необходимо добавить к реально
действующим силам переносную силу инерции
противоположно переносному ускорению
. Обобщенную силу
, направленную
найдем по аналогии со случаем силового возмущения как отношение возможной
работы переносной силы инерции к приращению обобщенной координаты:
,
или с учетом малости угла
50