Прикладные задачи математики в экономике и управлении. Учебное пособие

УДК 330.4 (075.8)

ББК 65в631я7

К 17

Рецензент доктор экономических наук, профессор кафедры математических методов

анализа экономики Московского Государственного Открытого Университета Б.А.Лагоша.

Калиева,О.М.

К 17 Прикладные задачи математики в экономике и управлении: учебное пособие /Калиева О.М., Буреш А.И.; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2012. – 109 с.

ISBN

В данном учебном пособии достаточно подробно рассматриваются математические методы и модели основанные на теории дифференциального исчисления и их приложения в экономике и управлении. В качестве успешно реализованных математических методов на базе линейной алгебры предлагаются к рассмотрению линейные балансовые модели, модели межотраслевого баланса, равновесных цен, международной торговли. Приводятся примеры, которые помогают понять теорию изучаемую по курсу «Математика» для студентов обучающихся по экономическим направлениям бакалавриата. По каждой теме предложены задания для самостоятельного выполнения. Тематика предлагаемого материала соответствует государственному образовательному стандарту по направлению подготовки ВПО 080100.62 Экономика, 230700.62 Прикладная информатика, 100800.62 Товароведение дисциплины «Математика», «Математические методы и модели в экономике». Рассмотренные решения типовых задач, отражают специфику экономических расчѐтов. Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения по направлению подготовки ВПО 080100.62 Экономика, 230700.62 Прикладная информатика, 100800.62 Товароведение при изучении дисциплины «Математика» и «Математические методы и модели в экономике».

Введение

Учебное пособие «Прикладные задачи математики в экономике и управлении» включает такие основные разделы математики, изучение которых даѐт математический аппарат, наиболее активно применяемый для решения прикладных экономических и управленческих задач.

В системе экономического образования математические методы и модели занимают особое место, способствуя профессиональному формированию современных экономистов.

Цель данного учебного пособия – дать студентам научное представление о математических методах и моделях в экономике и об их практическом применении.

1 Однофакторные производственные функции

Возможности любого производства отражаются характером зависимости между объемом выпускаемой продукции и соответствующими ему затратами сырья,

полуфабрикатов, энергии, капиталовложений, труда.

Определение: Всевозможные виды затрат называются факторами производства или ресурсами. Факторы производства имеют различные измерения

(тонны, метры, киловатт-часы и др.). Общей единицей измерения всех ресурсов может служить рубль или другая денежная единица. Поэтому удобно иметь дело со стоимостным выражением как факторов производства, так и выпускаемой в результате их использования продукции.[1,4]

Определение: Функцию, выражающую зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на ее производство,

называют однофакторной производственной функцией.

Определение: Функция, в которой роль независимой переменной играют затраты, а зависимая переменна определяет уровень выпуска, называется функцией выпуска. В функции затрат, наоборот, независимая переменная - выпуск, а

зависимая - затраты.

Пример 1. Если затраты y прямо пропорциональны объему выпуска x , то функция затрат имеет вид

y a0 a1x, (a0 0,a1 0, x 0) .

С помощью однофакторных производственных функций описывается также зависимость объема выпускаемой продукции от затрат некоторого специфического вида ресурса (трудовые ресурсы, основные производственные фонды, объем капиталовложений, различные виды сырья и др.). При этом затраты всех других участвующих в производстве ресурсов считаются постоянными.

Пример 2. С помощью функции вида

y a0 a1x a2 x2 , (a0 0, a1 0, a2 0, x 0)

можно охарактеризовать зависимость урожайности y некоторой сельскохозяйственной культуры от количества x внесенных удобрений.

Иначе, при отсутствии удобрений урожайность составляет a0 единиц. С

увеличением объема используемых удобрений урожай сначала возрастает и достигает наибольшего значения при x x0 .

Дальнейшее наращивание затрат удобрений, приводит к снижению урожая и даже полной его потере при x x1 (рисунок 1).

y

y0

x

Рисунок 1 - График функции y a0 a1x a2x2

Пример 3. Гиперболическая зависимость

y a0 ax1 , (a0 0, a1 0, x 0)

При помощи еѐ можно моделировать зависимость затрат y на единицу выпускаемой

увеличением x . Это означает, что с увеличением объема производства доля затрат неограниченно убывает. При большом объеме производства ( x ) удельные

затраты лишь незначительно отличаются от a0 ( y a0 ). y

а0

Рисунок 2 - График функции y a0 ax1

Пример 4. Экспоненциальная производственная функция

y a0 a1ea1 x , (a0 0, a1 0, x 0)

возможно использовать, для исследования динамики изменения объема производств

yс течением времени x (рисунок 3).

Вначальный момент времени x 0 объем производства y a0 . Крутизна

кривой на рисунке 3 зависит от коэффициентов a0 , a1 .

у

Рисунок 3 - График функции y a0 a1ea1 x

Зависимость y a0 a1ea1x , (a0 0,a1 0, x 0) имеет место и в следующей ситуации. Если на банковский счет кладется сумма a0 , то через x лет на счете будет сумма y , если банк выплачивает a1 % годовых.

Пример 5. Показательная функция

y a0 ka1x , (a0 0,1 a1 0, k 0, x 0)

может моделировать влияние затрат переменного ресурса R на выпуск y

продукции, если уровень выпуска не может быть больше некоторой предельной величины а0 . Так как a1 1 , то с ростом x a1x неограниченно убывает, а y

возрастает. Если x , то y a0 . При x 0 выпуск равен а0 k (рисунок 4).

у

а0

a0 - k

Рисунок 4 - График функции y a0 ka1x

Пример 6. Степенная производственная функция

y a0 xa1 , (a0 0, a1 0, x 0)

обычно описывает ситуации, в которых рост затрат x некоторого ресурса R ведет к неограниченному увеличению выпуска y . Насколько быстро растет y зависит от величины параметров a0 , a1 (рисунок 5).

Рисунок 5 - Графики функции у а0 ха1

2 Экономический смысл производной и некоторых теорем

дифференциального исчисления

Пусть функция u u(t) выражает количество произведенной продукции

u за время t . Необходимо найти производительность труда в момент времени t0 .

За период времени от t0 до t0 t количество произведенной продукции

производительность труда в момент времени t0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до t0 t

при t 0 , т.е.

u lim u .

t 0 t

Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Определение: Производная логарифмической функции (ln y) y называется y

логарифмической производной, а так же относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.[1,6]

Пример 7. Объем продукции u , произведенной бригадой рабочих,

может быть описан уравнением u 56 t 3 152 t 2 100t 50 , 1 t 8, где t - рабочее время

в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной

u (t) 52 t 2 15t 100 z(t) ,

а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной z t и логарифмической производной Tz ln z t :

z t 5t 15 ед./ч2 ,

z 7 20 ед.ч2 , Tz 7 0,24 ед.ч .

Вывод. К концу работы производительность труда существенно снижается;

при этом изменение знака z t и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется еѐ снижением в последние часы.