Прикладные задачи математики в экономике и управлении. Учебное пособие

другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину f (x) целесообразноxi

интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин,

т.е. i f (x) и xi . Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания

экономического смысла ППФ f (x) . С другими предельными величинами следуетxi

поступать аналогичным образом.

M1 A1 (i 1, 2) ,

(т.е. предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.

Определение: Отношение предельной производительности M i i-го ресурса к его средней производительности Ai называется (частной) эластичностью выпуска по

i-му ресурсу (по фактору производства).

Определение: Сумма E1 E2 Ex называется эластичностью производства.

Поскольку при малом приращении xi имеем приближенное равенство

xi ), поскольку Ei (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится xi

выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных

объемах другого ресурса. Пояснение выражения Ei , содержащего предельную

этой предельной величины, является ключевым в понимании экономической сути частной эластичности выпуска по i-му ресурсу.[2,4,5,6,8]

Пример 29. 1). Выписать в явном виде для y a0 x1a1 x2a2 a1 a2 1

выражения для Е1, Е2 и Ех.

Решение. Имеем:

E1 a1 , E2 a2 ,

Ex E1 E2 a1 a2 .

Задача 3. Процесс производства описывается с помощью степенной функции выпуска

1 2

Y 0,5K 3 L3 :

а) как следует изменить затраты К, чтобы компенсировать уменьшение L на

50% (Уровень выпуска при этом сохраняется)

б) на сколько процентов уменьшатся затраты К при увеличении L на 25 %?

в) как изменится выпуск, если затраты обоих ресурсов увеличить в 2 раза

(уменьшить в 3 раза)?

г) во сколько раз надо увеличить затраты L, чтобы компенсировать уменьшение К в 4 раза?

7 Применение частных производных: задачи на экстремум

Для вычисления максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов

используют задачи на экстремум (примеры 30, 31).

Напомним основные моменты из базового курса математики для нахождения

экстремумов функций нескольких переменных.[5,8,9]

Определение: Частная производная функции z z(x; y) по аргументу,

например, х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении у.

Определение: Точка M 0 (x0 , y0 ) , в которой для дифференцируемой функции z(x; y) выполняется условие (необходимое условие существования локального

экстремума):

называется критической точкой возможного экстремума или стационарной точкой.

Теорема (достаточное условие локального экстремума). Пусть в точке

M 0 (x0 , y0 ) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные функции z(x; y) непрерывны. Тогда, если

их по цене 1000 и 800 соответственно. Функция затрат (издержек) имеет вид:

С 2Q12 2Q1Q2 Q22 ,

где Q1 и Q2 обозначают объѐмы выпуска соответственно товаров G1 и G2. [1,7]

Решение. Требуется найти такие значения Q1 и Q2, при которых прибыль,

получаемая фирмой, максимальна.

Поскольку фирма небольшая, она не может монопольно устанавливать цены и вынуждена ориентироваться на рыночные цены, которые не зависят от объѐмов производства Q1 и Q2 (эти объѐмы слишком малы). Поэтому суммарный доход от продажи товаров G1 и G2

R 1000Q1 800Q2 .

Прибыль представляет собой разницу между доходом R и затратами C,

поэтому

- это функция двух переменных, максимум которой следует найти, т.е.

решить задачу оптимизации.

Для того, чтобы найти стационарные точки, вычисляем частные производные первого порядка

и приравниваем их к нулю, что дает систему двух уравнений с двумя неизвестными

1000 4Q1 2Q2 0,

800 2Q1 2Q2 0.

При решении этой системы получим координаты стационарной точки.

Вычитая из первого уравнения почленно второе, получаем

200 2Q1 0,

или

Q1 100 .

Подставляя полученное значение в первое уравнение, находим

Q2 300 .

Таким образом, стационарная точка имеет координаты

Q1,Q2 100,300 .

Остается выяснить вопрос: имеем ли мы в стационарной точке максимум,

минимум или не имеем ни того, ни другого. Для решения вычисляем частные производные второго порядка

Поэтому в стационарной точке имеет место максимум. Подставляя координаты стационарной точки в функцию прибыли

100,300 1000 100 800 300 2 1002 2 100 300 3002 170000 .

Вывод. Максимальной прибыли, достигается при объѐмах производства

Q1=100; Q2=300.

Пример 31. Фирма реализует часть товара на внутреннем рынке, а другую часть поставляет на экспорт. Связь цены товара q1 и его количества р1, проданного на внутреннем рынке, описывается кривой спроса с уравнением:

p1 q1 500.

Аналогично для экспорта цена р2 и количество q2, также связаны соотношением (уравнением кривой спроса)

2 p2 3q2 720.

Суммарные затраты даются выражением

C 50000 20 q1 q2 .

Спрашивается какую ценовую политику должна проводить фирма, чтобы прибыль была максимальна.

Решение. Определим доход фирмы, который складывается из двух частей:

продаж на внутреннем рынке

R1 p1q1 500 q1 q1 500q1 q12

и экспортных поставок

R2 p2 q2 360 1,5q2 q2 360q2 1,5q22

(в обоих случаях цена берется из соответствующих кривых спроса).

Поэтому суммарный доход

R R1 R2 500q1 q13 360q2 1,5q22 .

Теперь можно легко найти получаемую фирмой прибыль

q1, q2 R C 500q1 q12 360q2 1,5q22

50000 20q1 20q2 480q1 q12 340q2 1,5q22 50000.

Эта функция двух переменных, нахождение максимума которой и решает задачу оптимизации.

Вычисляем частные производные первого порядка

Приравнивая их к нулю, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

480 2q1 0,340 3q2 0.

В данном случае система решается тривиально

q1 240; q2 340 / 3,

и мы получили координаты единственной стационарной точки.

Далее вычисляем частные производные второго порядка

и проверяем знак выражения

Отсюда заключаем, что в стационарной точке (240,340/3) имеет место максимум.

Для того чтобы ответить на вопрос об оптимальной ценовой политике фирмы, подставляем координаты точки максимума в кривые спроса:

p1 500 q1 500 240 260,

p2 360 1,5q2 360 1,5 340 / 3 190.

Это и есть оптимальные цены для продажи на внутреннем рынке и по экспорту.

Нам осталось подсчитать максимальную прибыль при оптимальных объѐмах продаж на внутреннем и внешнем рынках. Подставляя полученные значения q1 и q2

(координаты стационарной точки) в функцию прибыли, легко находим эту прибыль

240,340 / 3 480 240 2402 340 340 / 3 1,5 340 / 3 2 50000 26866,67 .

Пример 32. Фирма-монополист производит два вида товаров G1 и G2 в

количестве q1 и q2 соответственно. Функция затрат имеет вид:

C10q q1q2 10q2 ,

акривые для спроса для каждого товара:

p1 50 q1 q2 ,

p2 30 2q1 q2 ,

где р1 и р2 – цена единицы соответственно товаров G1 и G2. Кроме того, фирма связана ограничением на общий объѐм производства товаров G1 и G2, еѐ квота составляет 15 единиц, т.е.

q1+q2=15.

Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.[5]

Решение. Построим целевую функцию, в данном случае прибыли, которая определяется как разница между доходами и затратами:

R C.

Для дохода от продажи товара G1 имеем:

Переписав ограничение в виде

g q1,q2 15 q1 q2 0,

получаем задачу условной оптимизации (поиска условного экстремума). Для еѐ решения применим метод Лагранжа.

Строим вспомогательную функцию