Прикладные задачи математики в экономике и управлении. Учебное пособие

Равенство (9) означает, что эластичность предложения равна отношению предельного предложения к среднему.

Предложение также может быть эластичным и неэластичным.

Определение: Предложение называется эластичным, если E p (s) 1,

неэластичным, если 0 Ep (s) 1, и нейтральным, если E p (s) 1.

Пример 25а. Фирма решила пригласить на работу дополнительное количество разнорабочих и квалифицированных наладчиков для скорейшего ввода в

строй новой автоматической линии. Чтобы увеличить предложение услуг,

руководство фирмы объявило об увеличении заработной платы на 1000 рублей в месяц. Если в городе много безработных, студентов, малооплачиваемых трудящихся,

то такая надбавка к семейному бюджету может оказаться для них существенной, и

предложение услуг в качестве разнорабочего будет эластичным по цене. Однако едва ли много квалифицированных, а следовательно и высокооплачиваемых наладчиков согласиться сменить место работы из-за такой прибавки к зарплате.

Транспортные расходы, моральный ущерб, необходимость хотя бы частичной переквалификации для работы с новым для них оборудованием не окупятся дополнительной суммой в 1000 рублей. Здесь предложение услуг едва ли окажется эластичным по цене.[2,6,7,8,9]

Пример 26. Пусть зависимость предложения s от цены p описывается

формулой

Решение. Зависимость между спросом на товар и его ценой (а значит, и

вид соответствующей кривой) в значительной степени определятся полезностью товара. На вид функции предложения в первую очередь оказывают влияние издержки производства.

Определение: Цена, при которой величина спроса равна величине предложения, называется равновесной (или ценой равновесия).[2,6,7]

предложения.

Решение. Из уравнения d( p) s( p) найдем цену равновесия e p 2 e p 2 8 ,

отсюда

p2 p2 8

или

2 p2 8 и p2 4 .

Вывод. Цена равновесия p 2 .

Задания для самостоятельной работы

1. Спрос d и предложение s изменяются по следующим законам:

2.Найдите цену, при которой спрос совпадает с предложением (цену равновесия). Рассчитайте эластичность спроса при этой цене. Постройте графики спроса и предложения.

3.Формула

d ( p) e p 2

выражает зависимость спроса от цены. Определите, при каких значениях p спрос эластичен, нейтрален, неэластичен. Как зависит выручка от изменения цены?

Сопоставьте с критериями эластичности.

Определите при каких значениях p спрос эластичен, нейтрален, неэластичен.

5.Определите, на сколько процентов приблизительно изменится выручка от реализации товара. Если эластичность спроса равна , а цена на товар увеличена на %:

а) 0.2, 20 %;

б) 4, 5 %;

в) 1, 10%.

6 Многофакторные производственные функции, эластичности

Определение: Функция n независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами n производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется n -факторной производственной функцией –

предприятием продукции от затрат ресурсов r1, r2 , , rn , запасы которых

ограничены, то, очевидно, допустимыми можно считать значения x1, x2 , , xn ,

удовлетворяющие следующей системе неравенств:

другого ресурса объем выпуска растет.

неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности),

при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.

Если выполнены условия 3, то график ПФ есть поверхность, расположенная в

неотрицательном ортанте x1 0, x2 0, y 0 трехмерного пространства Ох1х2у и

выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка (х1, х2)

уходит в плоскости Ох1х2 на «северо-восток».

4. f (tx1 ,tx2 ) t p f (x1 , x2 ) .

Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени

p>0. При p>1 с ростом масштаба производства в t раз (число t>1), т.е. с переходом от вектора х к вектору tx, объем выпуска возрастает в tp (>t) раз, т.е. имеет рост эффективности производства от роста масштаба производства. При p<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства. При p=1

имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства – в английской терминологии constant returns to scale).[1,2,6,7]

не выполняются.

Определение: Множество (линия) lq уровня q f (x1 , x2 ) (0<q – действительное число) ПФ y f (x1, x2 ) называется изоквантой ПФ. Иными словами, линия уровня q –

это множество точек, в котором ПФ постоянна и равна q.

Различные наборы (v1, v2 ) и (w1, w2 ) затрачиваемых (используемых) ресурсов,

принадлежащие одной и той же изокванте lq (т.е. q f (v1, v2 ) f (w1, w2 ) ), дают один и тот же объем выпуска q.

Замечание. Изокванта есть линия, расположенная в неотрицательном ортанте

x1 , x2 x1 0, x2 0 двумерной плоскости Ох1х2.[3,4,5,6,7]

Функция Кобба-Дугласа, функция с постоянными пропорциями

Функция Кобба-Дугласа имеет вид:

При К 0 результат функционирования экономического объекта

YY0 0 L1 0 .

Ктакому же выводу приходим и при L 0 , т.е. оба ресурса абсолютно необходимы.

Если K и L увеличить в λ раз, то в такое же количество раз возрастает и Y.

[3,4,5]

Действительно,

F( K, L) Y0 ( K) ( L)1 Y0 K 1 L1

выбирают тогда, когда один из ресурсов производства резко дефицитен, а второй

избыточен.

В этой функции реализуются предположения о свойствах производственных функций, убедимся в этом.

1. Если К 0 или L 0 ,

min K , L 0

K0 L0

и

Вывод. В процессе производства, описываемом функцией вида (10), следует использовать ресурсы в постоянной пропорции. Уровень выпуска возрастает в λ раз лишь при одновременном увеличении затрат обоих ресурсов в такое же число раз.

Отношение K 0 задает рациональную пропорцию между K и L.[1,2,3,6,7,8]

L0

Предельные (маржинальные) и средние значения производственной

функции

Пусть y f (x) f (x1 , x2 ) – производственная функция.