Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________________

Е. И. АЛГАЗИН

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2023

УДК 621.3.01(075.8) А456

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор В. А. Хрусталев д-р техн. наук, профессор В. П. Разинкин д-р техн. наук, доцент СибГУТИ С. С. Абрамов

Работа выполнена на кафедре ЭЭ для студентов II курса РЭФ специальности 28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника»

имагистрантов специальности 11.04.04 «Электроника

инаноэлектроника», профиль «Промышленная электроника

имикропроцессорная техника»

Алгазин Е. И.

А456 Прикладные задачи теоретической электротехники: учебное пособие / Е. И. Алгазин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2023. – 104 с.

ISBN 978-5-7782-5061-1

В пособии рассмотрены примеры расчета электрических цепей (как линейных, так и нелинейных) с помощью энергетического подхода методами классического вариационного исчисления, а также приведены примерырешениязадачнелинейнойэлектротехникиметодамичисленногоинтегрированиядифференциальныхуравненийДуффинга, описывающих исходные электрические схемы с нелинейными реактивными элементами. Кроме того, рассмотрены нелинейные задачи, которыерешаются с помощью кубических сплайнов. Во всех примерах использованы конкретные значения элементов, из которых составлены электрические схемы.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника» и магистрантов по специальности 11.04.04 «Электроника и наноэлектроника», профиль «Промышленная электроника и микропроцессорная техника», а также будет полезно всем желающим изучать электротехнику.

	УДК 621.3.01(075.8)
ISBN 978-5-7782-5061-1	© Алгазин Е. И., 2023
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2023

Предисловие

В профессиональной деятельности как бакалавров, так и магистрантов возникает потребность в расчете как линейных, так и нелинейных электрических цепей. В настоящей работе приведены примеры таких расчетов, которые основаны на энергетическом подходе и использовании вариационного исчисления, численного решения нелинейных дифференциальныхуравненийиприменениикубическихсплайнов. Результаты численного решения нелинейных дифференциальных уравнений можно представить в виде фазового портрета на фазовой плоскости.

Настоящая работа может быть полезна как бакалаврам и магистрантам, изучающим электротехнику, так и тем, кто изучает ее самостоятельно.

1. Вывод постоянной времени через энергетическую функцию

Рассмотрим последовательную R–L–C-цепь без источника питания. Конденсатор предварительно заряжен до напряжения UС U 0 .

Запишем уравнение баланса энергий для данной цепи после ком-

мутации: энергия конденсатора равна q2 , энергия индуктивности

равна L2 i2, и энергия, рассеиваемая на резисторе сопротивлением R,

равна R∫i2dt. Кдостоинствамтакогоподходаследуетотнестипростоту

и очевидность перехода к характеристическому уравнению, который используется в механике и электромагнетизме длительное время.

Составим функцию энергий:

q2	L	i2 R∫i2dt	q2
			0	.	(1.1)
2C	2
			2C

Зная, что i dqdt , преобразуем эту функцию, продифференцируем ее члены один раз по времени, получим

2q dq	L	d	dq 2		dq 2
		dt
dt					R		0.
2C	2
				dt		dt

В нашем случае можно записать, что

d dq 2

d dq dq

d 2q dq

dq d 2q

d 2q dq

(1.2)

dt2 dt

dt dt

dt2

Подставимконечныйрезультат(1.2) вслагаемое

за скобку	dq	.
за скобку		.
	dt
После этих преобразований получим выражение
		dq	q	L	d 2q		R	dq	0.
						2

					dt
		dt C			dt			dt

dq 2

L ивынесем

(1.3)

Сокращая обе части равенства на						dq	, получим следующее выра-
						dt
жение:

	q	L	d 2q	R	dq		0.	(1.4)
	C		dt2			dt

Преобразуем левую часть уравнения (1.4), поделив все слагаемые на L, получим

d 2q	R dq	q	0.	(1.5)

dt2	L dt	LC

Характеристическое уравнение будет иметь вид

p2	R	p	1	0.	(1.6)
			LC
	L

Корнихарактеристическогоуравнения(1.6) примутследующийвид:

p	R	R 2	1	,

1,2	2L		LC
		2L

откуда

	1				1		.
							.
1,2	p1,2	1	R		R 2	4
	p1,2	1	R		R 2	4


		2	L	L		LC
		2	L	L		LC

Преобразовав выражения для 1,2 , получим

1 4

R 2

1,2

или, зная, что p

и подставив вместо

в (1.6)

, будем иметь

аналогичные выражения.

Дляпроверкипредыдущихрезультатоввоспользуемсявторымзаконом Кирхгофа.

Составим дифференциальное уравнение, описывающее последовательную R–L–C-цепь без источника питания:

L	di	Ri UC 0.	(1.7)
	dt

Так как i dqdt и UC Cq , то уравнение (1.7) можно преобразовать к виду

L	d 2q	R	dq	q	0.	(1.8)
	dt2		dt	C

Разделим обе части выражения (1.8) на L, получим

d 2q	R dq	q	0.	(1.9)

dt2	L dt	CL

Из выражения (1.9) следует характеристическое уравнение p2 RL p LC1 0.

Рассмотрим последовательную R–C-цепь без источника питания. Конденсатор предварительно заряжен до напряжения UC U 0 .

Запишем уравнение баланса энергий для данной цепи после коммутации.

Энергия конденсатора равна q2 , энергия, рассеиваемая на рези- 2C

сторе сопротивлением R, равна R∫i2dt. Составим функцию энергий:

q2	R∫i2dt	q2
		0	.	(1.10)
2C
		2C

При том что i dqdt , преобразуем уравнение (1.10) и продифферен-

цируем его по времени:

2q dq	dq 2
dt	R		0.
2C
		dt

Вынесем dqdt

за скобку, в результате получим

dq	1	q R	dq	0.


dt C			dt

Сократив левую часть полученного уравнения на

Cq R dqdt 0.

dqdt , получим

(1.11)

Из уравнения (1.11) получим характеристическое уравнение

C1 Rp,

сократив на q промежуточное уравнение

Cq Rpq 0.

В результате будем иметь p RC1 .

Зная, что p 1 , получим RC.

Дляпроверкипредыдущихрезультатоввоспользуемсявторымзаконом Кирхгофа и составим дифференциальное уравнение, описывающее цепь из последовательно соединенных R- и C-элементов:

Ri uC 0.

(1.12)

Если i dqdt и uC Cq , то преобразуем уравнение (1.12) к виду

R dqdt Cq 0.

Преобразуем это уравнение, поделив оба слагаемых на R, в результате получим

dqdt RCq 0.

Характеристическое уравнение будет иметь вид pq RC1 q 0,

откуда

p	1	0,	p	1	,	RC.
	RC			RC

Рассмотрим цепь R–L без источника питания. Пусть в момент ком-

мутации индуктивность обладает энергией, равной L2 i02. На резисторе

рассеивается энергия, равная R∫i2dt. Составим функцию энергий вида

L2 i2 R∫i2dt L2 i02 .

С учетом того что i dqdt , вынесем dqdt за скобки и получим

dq		d 2q				R		dq		0.
L			2			R				0.
		dt	2
dt		dt						dt
Сократим уравнение (1.14) на					dq		, будем иметь
Сократим уравнение (1.14) на						dt	, будем иметь
						dt
L	d	2q		R			dq		0.
L	dt2			R			dt		0.
	dt2						dt

Далее перейдем к характеристическому уравнению

Lp2q Rpq 0.

Преобразуем его к виду

Lp R 0

(1.13)

(1.14)

(1.15)

и найдем, что

p RL ,

откуда 1p RL .

Покажем, что данный результат также вытекает из второго закона Кирхгофа. Составим дифференциальное уравнение для последовательной R–L-цепи, которое будет иметь следующий вид:

L dtdi Ri 0.

Так как i dqdt , получим

L d 2q R dq 0. dt2 dt

В результате этого перейдем к тому же характеристическому уравнению и получим

Lp2q Rpq 0.

Окончательно будем иметь:

Lp R 0,

p RL ,

откуда

1p RL .

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]