Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных элементовL иСбезисточникапитания. Конденсаторпредварительнозаряжен до напряжения UC U 0 .

После коммутации рассмотрим энергию элементов цепи. Энергия

и продифференцируем левую часть функции один раз.

Вынесем dqdt за скобку, в результате получим

Сократим dqdt в этом выражении и получим

q L d 2q 0. C dt2

Перейдем к следующему характеристическому уравнению:

Cq Lp2q 0.

11

Преобразуем его к виду

Проверим предыдущие формулы. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Составим дифференциальное уравнение для цепи L–C:

L di2 uC 0. dt

Зная, что i dqdt и uC Cq , получим

L d 2q q 0. dt2 C

Далее перейдем к следующему характеристическому уравнению:

p2q LCq 0.

Преобразуем его к виду

p2 LC1 ,

откуда

12

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое электрическая цепь?

2.Чему равна энергия индуктивного элемента?

3.Чему равна энергия емкостного элемента?

4.Чему равны потери на резисторе?

5.Сформулируйте закон сохранения энергии для последовательной электрической R–L–C-цепи без источника питания.

6.Выведите характеристические уравнения для R–L–C-, R–L-, R–C-

иL–C- цепи на основе энергетического критерия.

7.Опишите состояние R–L-, R–C- и L–C-цепи систочником питания или без него, используя заряд.

2.Основные понятия. Нелинейные системы

иих характеристики

Электрическая цепь считается нелинейной, если хотя бы один из ее элементовявляетсянелинейным. Нелинейнымиэлементамимогутбыть сопротивления, индуктивности и емкости. При исследовании нелинейной электрической цепи приходится считаться с характеристиками нелинейных элементов, т. е. с нелинейной зависимостью:

– напряжения от тока

U f1(I ) ;

– потокосцепления от тока

f2 (I ) ;

– заряда от напряжения

Q f3 (I ) .

Эти зависимости представляют собой характеристики соответствующих элементов. Так принято говорить о вольт-амперной характеристике сопротивления, о потокоамперной характеристике катушки

13

и о кулонвольтной характеристике конденсатора. Если эти зависимости линейны, то и соответствующие им элементы линейны.

Характеристики нелинейных элементов, полученные экспериментально, в большинстве случаев могут быть заданы в форме таблиц или кривых, а также в виде приближенных аналитических выражений. В зависимости от их физического представления они могут иметь ту или иную форму.

Классифицироватьхарактеристикинелинейныхэлементов y f (x)

можно по различным признакам в зависимости от условий исследования. Нелинейные характеристики часто подразделяются:

– на симметричные, если

f (x) f ( x) ,

– несимметричные, если

f (x) f ( x) .

Рис. 2.1

Кроме того, возможно их подразделение на однозначные и многозначные. Характеристики, показанные на рис. 2.1, а и б, являются однозначными. Примеры многозначных характеристик показаны на рис. 2.2 (а – петля гистерезиса у ферромагнитных материалов; б – характеристика феррорезонансной цепи; в – характеристика динатронного эффекта). Многозначность характеристик играет существенную роль при стабилизации в релейных и других схемах.

14

y

В некоторых случаях характеристики можно подразделить на монотонноизменяющиесяинемонотонноизменяющиеся. Нарис. 2.3, а–впо- казаны:

а – монотонно возрастающая вольт-амперная характеристика, у которой на всем протяжении

dUdI 0;

б – монотонно падающаявольт-амперная характеристика, у которой на всем протяжении

dUdI 0;

в– немонотонно изменяющаяся вольт-амперная характеристика,

укоторой

dUdI 0.

I I I

15

Такое их подразделение имеет большое значение при исследовании вопросов колебаний.

2.1.Расчет дросселя. Основная кривая намагничивания

иее таблица

Расчет дросселя предназначен для нахождения индуктивности, которая используется далее в примерах.

Параметры сердечника дросселя представлены ниже на схеме.

Зададим следующие размеры дросселя:

S 10 10 мм2;

lср 2 4,5 2 2,5 9 5 14 см; c = 1,5 см;

d = 3,5 см.

Зададим параметры дросселя:

Imax 10 A;

J2 А/мм2;

W – число витков обмотки дросселя;

K – коэффициент заполнения окна = 0,9;

W 10(cd )KJ / Imax ;

16

L – индуктивность дросселя;

L 4 10 7 W 2S ;

lср

B = 1,5;

H = 1600;

0 4 3,14159 10 7 ;

На основании данных, представленных в таблице, выбираем значения В и Н.

Основная кривая намагничивания. Сталь 2211 и 2312

17

Окончание таблицы

Выбранные значения В и Н в дальнейшем используются для расчета индуктивности дросселя, которая, в свою очередь, служит для расчета коэффициентов аппроксимирующего полинома.

2.2. Численное решение уравнения Дуффинга

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Прежде чем анализировать состояние электрической цепи, необходимо ее сформировать. Сформированная цепь должна адекватно отражать интересующие нас процессы и явления.

Уравнения могут быть первого и второго порядка – это наиболее употребляемыеуравнения, атакжемогутбытьлинейные инелинейные.

При использовании классического метода для решения дифференциальных уравнений применяется интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих поведение сформированных электрических цепей.

При использовании операторного метода происходит переход от дифференциальных уравнений к алгебраическим.

18

В последнее время большое развитие получили численные методы. Они используются как для решения линейных уравнений и систем линейных уравнений, так и для решения нелинейных уравнений.

Поскольку нелинейные дифференциальные уравнения представляют большой интерес, то следует отметить, что численные методы, предназначенные для решения нелинейных дифференциальных уравнений, базируются на определенных методах и алгоритмах.

Численные методы анализа нелинейных цепей

Эти методы основаны на приближенном интегрировании систем нелинейных дифференциальных уравнений. Промежуток времени, в пределах которого происходит решение, разбивают на малые интервалы времени h t, которые называют шагом интегрирования.

Решение дается в равномерно распределенных точках, начиная от начальной точки t0 до конечной tm . Для i-й точки ti t0 ih .

Вычисления решения в момент ti дают приближенное решение. Обозначают его через xi .

Ошибка или погрешность расчета численным методом в момент ti

равна разности между точным и приближенным вычисленным значением. Эта ошибка имеет вид

i x(ti ) xi i i ,

где i – есть неточность самого алгоритма, которая называется мето-

дической ошибкой (или ошибкой ограничения). Эта ошибка возникает из-за работы с ограниченным числом членов бесконечного ряда. Отсеченные члены и дают методическую погрешность; i – ошибка

округления, вызванная ограничением количества разрядов в машинном слове.

Обе ошибки в процессе вычисления имеют тенденцию нарастания. Еслиошибкаокруглениясростомчислашаговуменьшается, тоиспользуемый алгоритм является численно устойчивым. В противном случае алгоритм будет численно неустойчивым и непригодным для использования.

19

Численные алгоритмы

Существует большое количество численных алгоритмов, применяемых для решения дифференциальных уравнений при заданных начальных уровнях.

Перечислим наиболее простые методы их решения.

1.Одношаговые. Вычисления в момент ti 1 (i 1)h основаны на знании результата в момент ti ih .

2.Многошаговые методы, в которых результат очередного шага зависит от результатов нескольких предыдущих шагов.

Среди них существуют как одноранговые, так и многоранговые методы.

К одноранговым методам относятся методы Рунге–Кутта (простейшим из них является алгоритм Эйлера).

Для реализации таких методов необходимо разложить искомое решение в окрестности точки ti в ряд Тейлора:

Сучетомисходногоуравнения x(1) f (x, t) рядбудетиметьследующий вид:

x(ti 1) x(ti ) f (x(ti ), ti ) f (1) (x(ti ), ti )h2 / 2 ... .

Алгоритм Тейлора получается при ограничении количества членов ряда p-м членом и замене x(ti 1) xi 1; x(ti ) xi :

Ошибка отсечения быстро убывает с ростом степени алгоритма (как h p ). При увеличении p может увеличиваться шаг, а это уменьшает

объем вычислений и экономит время. Алгоритм Тейлора, записанный вформе(2.1), применяетсяредковсвязиснеобходимостьювычисления производных, возрастающих с повышением порядка.

20