Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие
.pdf
|
|
1 2 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
E |
|
|
|
|
C |
|
|
∫ULdt. |
|
|
|||||||
|
|
R |
|
|
Ld |
|
||
Полученное выражение подставим в правую часть уравнения (**).
Контрольные вопросы и задания
1.Являются ли экстремали уравнения Эйлера – Лагранжа асимптотическими оценками рассматриваемого параметра снизу и сверху?
2.Сделатьвыводотрудоемкостирешениядифференциальныхуравнений с ростом количества членов аппроксимирующего полинома.
4. Использование кубических сплайнов для решения задач нелинейной электротехники
4.1. Примеры с аналитически заданной зависимостью U(I)
либо I(U)
Пример 4.1
Пусть дана электрическая схема с нелинейными элементами (рис. 4.1) ианалитическизаданазависимость U I нелинейныхэлементовданнойсхемы. Вкачественезависимыхпеременныхсостоянияцепи выберем токи ее резисторов. Требуется найти ток, протекающий через амперметр.
Определимнапряженияналинейных резистивных элементах цепи в соответствии с законом Ома, а для определения напряжения на нелинейных элементах цепи воспользуемся аналитически заданной зависи-
мостью U I . В результате получим систему уравнений
51
U1(I1) : R1I1,
U2 (I2 ) : R2I2,
U3(I3) : 30I3 10I33, (4.1)
U4 (I4 ) : 30I4 10I43,
U5 (I5 ) : R5I5.
Наосновании схемы(рис. 4.2), вкоторойучтено, что внутреннеесопротивлениеамперметраравнонулю, запишемуравнениябалансатоков элементов цепи, инцидентных узлам 1 и 2 схемы:
I |
|
I |
2 |
I |
4 |
0, |
|
|
1 |
|
|
(4.2) |
|||
|
|
|
I |
|
I |
|
|
I |
3 |
5 |
|
0. |
|||
|
|
|
1 |
|
|||
Уравнения баланса напряжений элементов для трех независимых контуров схемы запишутся следующим образом:
U (I ) U |
2 |
(I |
2 |
) U |
3 |
(I |
) U |
0 |
0, |
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
2 (I2 ) U4 (I4 ) 0, |
|
|
(4.3) |
|||||||||||
U |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(I |
) U |
|
(I |
|
) 0. |
|
|
|
|||||
U |
3 |
5 |
5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 4.1 |
Рис. 4.2 |
52
Таким образом, для однозначного определения значений токов резисторов I1 I5 располагаем системой пяти линейно независимых ал-
гебраических линейных уравнений (4.2) и (4.3).
В программе Mathcad эту систему можно решить с помощью кон-
струкции Given … Find.
Исходные данные:
U 0 : 160 В; R1 : 40 Ом; R2 : 40 Ом; R5 : 40 Ом.
Зададим произвольно начальные значения токов I1 I5 :
I1 : 10 А; I2 : 10 А; I3 : 10 А; I4 : 10 А; I5 : 10 А.
Решение
Given
I1 I2 I4 0
I3 I5 I1 0
U1(I1) U2 (I2 ) U3(I3) U0 0 |
|
|
||||||||||
U2 (I2 ) U4 (I4 ) 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
U3(I3) U5 (I5 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
I : Find I |
, I |
2 |
, I |
3 |
, I |
4 |
, I |
5 |
I т 2 |
1 1 1 1 . |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из решения системы получаем: |
|
|
|
|||||||||
I1 : 2 А; I2 : 1 А; |
I3 : 1 А; |
I4 : 1 А; |
I5 : 1 А. |
|||||||||
С использованием найденных токов определяем напряжения ветвей на основе соотношений (4.1):
U1(I1) : 80 В; |
U 2 (I2 ) : 40 В; |
U3 (I3 ) : 40 В; |
U 4 (I4 ) : 40 В; |
U5 (I5 ) : 40 В. |
|
|
|
Найдемтокамперметранаосновеуравненийбалансатоков(первого закона Кирхгофа):
IA I4 I5, |
IA 0, |
IA I3 I2, |
IA 0. |
53
Для проверки правильности решения подставим значения токов I1 I5 и напряжений U1(I1) U5 (I5 ) в исходные системы уравне-
ний (4.2) и(4.3) иполучимзначениявправойчасти, практическиравные нулю:
I1 I2 I4 0,
I3 I5 I1 0,
U1(I1) U2 (I2 ) U3(I3) U0 0,U2 (I2 ) U4 (I4 ) 0,
U3(I3) U5 (I5 ) 0.
Для этих же целей (проверки правильности решения) можно также воспользоваться условием баланса мощностей активных и пассивных элементов цепи.
Мощность генерируемая:
P01 : U 0 I1 , P01 : 320 Вт.
Мощность потребляемая:
P02 : U1(I1)I1 U 2 (I2 )I2 U3 (I3 )I3 U 4 (I4 )I4 U5 (I5 )I5 ,
P02 : 320 Вт.
Пример 4.2
Рассмотрим пример, где аналитически задана зависимость I U не-
линейных элементов. Требуется определить токи и напряжения всех пассивных элементов. Задачу будем решать методом напряжений резисторов, т. е. выберем в качестве независимых переменных состояния напряжения ее резисторов (рис. 4.3).
Рис. 4.3
54
Решение
Определим ток на обычном резистивном элементе цепи методом напряженийрезисторов (закона Ома), а для определения токов нелинейных элементов цепи воспользуемся аналитически заданной зависимостью I U :
I1(U1) : G1U1,
I2 (U2 ) : a1U2 a2U22, (4.4)
I3(U3) : b1U3 b2U32.
Напомним, что здесь G1 1 / R1 .
На основании рис. 4.3 запишем уравнения баланса напряжений элементов первого и второго контура схемы, а для узла (4.4) – уравнение баланса токов. В результате получим систему из трех линейно независимых уравнений:
|
U U |
2 |
U |
0 |
0, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
U3 0, |
(4.5) |
||||
|
U2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0. |
||||||
Решим систему (4.5) при следующих заданных условиях: |
|||||||
U 0 30 В; R1 20 Ом; a1 |
0, 001 1/Ом; a2 |
0, 003 1/Ом2; |
|||||
b 0, 004 |
1/Ом; b 0, 002 1/Ом2; G R 1 |
См. |
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
Зададимпроизвольноначальныезначениядлянапряжений U1 U 3 : |
|||||||
U1 : 1 В; |
U 2 : 1 В; |
U3 : 1 В. |
|
||||
Решим данную систему уравнений (4.5) в программе Mathcad с помощью той же конструкции Given … Find:
Given
U1 U2 U0 0
55
U2 U3 0
I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0
X: Find U1,U2,U3 X т 17,327 12,673 12,673 .
Врезультате получим:
U1 : 17,327 В; |
U 2 : 12,673 В; U3 : 12,673 В, |
|
а следовательно, токи на основании (4.4): |
|
|
I1(U1) : 0,866 |
А; I2 (U 2 ) : 0, 494 А; |
I3 (U3 ) : 0,372 А. |
Для проверки правильности решения подставим значения U1 U3 и I1(U1) I3 (U3 ) в исходную систему (4.5):
U1 U2 U0 0
U2 U3 0
I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 3,964 10 5.
Проверим правильность решения еще одним способом, рассчитав баланс генерируемой и потребляемой мощности.
Мощность генерируемая:
P01 : U 0 I1(U1) , P01 : 25,991 Вт.
Мощность потребляемая:
P02 : U1I1(U1) U 2 I2 (U 2 ) U3I3 (U3 ) , P02 : 25,991 Вт.
Равенство мощностей потребляемой и генерируемой подтверждает правильность решения.
Пример 4.3
Рассмотрим третий пример, где аналитически задана зависимость U (I) нелинейного элемента. Требуется найти напряжение UV .
Задачубудемрешатьметодомтоковрезисторов, т. е. выберемвкачестве независимых переменных состояния токи ее резисторов (рис. 4.4).
56
Рис. 4.4
Решение
Определим напряжения на обычных резистивных элементах цепи методом токов резисторов, а для определения напряжения на нелинейном элементецепивоспользуемсяаналитическизаданнойзависимостью U (I) :
U1(I1) : R1I1,
U2 (I2 ) : R2I2 ,
U3(I3) : R3I3, (4.6)U4 (I4 ) : 2I42 ,
U5 (I5 ) : R5I5.
Запишем уравнения баланса токов элементов цепи для первого, второгоитретьегоузлаибалансанапряженийэлементовцепидляпервого, второго и третьего контура схемы, изображенной на рис. 4.4. Получим исходную систему уравнений:
I |
|
|
I |
2 |
I |
3 |
0, |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I |
2 I4 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 I5 0, |
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
U1(I1) U2 (I2 ) U4 (I4 ) 0, |
|||||||||||||||||
U |
2 |
(I |
2 |
) U |
3 |
(I |
3 |
) |
U |
0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|||||||
U |
4 |
(I |
4 |
) U U |
5 |
(I |
5 |
) 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
||
Запишем в рабочий документ Mathcad числовые значения исходных величин:
U0 : 9 В; R1 : 3 Ом; R2 : 2 Ом; R3 : 4 Ом; R5 : 2 Ом.
Зададимначальныезначенияирешимисходнуюсистему(4.6) впро-
грамме Mathcad:
I1 : 1 А; |
I2 : 1 А; |
I3 : 1 А; |
I4 : 1 А; |
I5 : 1 А; |
UV : 1 В. |
Given |
|
|
|
|
|
I1 I2 I3 0
I2 I4 0
I3 I5 0
U0 U1(I1) U2 (I2 ) U4 (I4 ) 0 |
|
|
|||||||||||
U2 (I2 ) U3(I3) UV 0 |
|
|
|
|
|||||||||
U4 (I4 ) UV U5 (I5 ) 0 |
|
|
|
|
|||||||||
I : Find I , I |
2 |
, I |
3 |
, I |
4 |
, I |
5 |
,U |
V |
, I т |
1,667 1 0,667 1 |
0,667 0,667 . |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 : 1, 667 А; |
I2 : 1 А; |
|
I3 : 0, 667 А; |
I4 : 1 А; |
I5 : 0, 667 А; |
||||||||
UV : 0, 667 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании (4.6) определим напряжения: |
|
||||||||||||
U1(I1) : 5,001 В; |
|
U 2 (I2 ) : 2 В; |
U3 (I3 ) : 2,668 В; |
U 4 (I4 ) : 2 В; |
|||||||||
U5 (I5 ) : 1,334 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем проверку правильности решения, подставив полученные значения в исходную систему (4.7):
I1 I2 I3 0,
I2 I4 0,
I3 I5 0,
58
U0 U1(I1) U2 (I2 ) U4 (I4 ) 1 10 3,U2 (I2 ) U3(I3) UV 1 10 3,
U4 (I4 ) UV U5 (I5 ) 1 10 3.
Погрешность расчетов близка к нулю.
Произведем проверку правильности решения, сравнив потребляемую и генерируемую мощность:
Генерируемая мощность:
P01 : U 0 I1 , P01 : 15, 003 Вт.
Потребляемая мощность:
P02 : U1(I1)I1 U 2 (I2 )I2 U3 (I3 )I3 U 4 (I4 )I4 U5 (I5 )I5 ,
P02 : 15,006 Вт.
Генерируемая и потребляемая мощности практически равны.
4.2. Примеры с использованием кубических сплайнов для интерполяции таблично заданной зависимости U(I)
либо I(U) нелинейного элемента
Характеристики нелинейных элементов не всегда заданы аналитически. Кроме того, использование аналитических выражений зависимости U (I) либо I (U ) несет в себе систематическую погрешность, за-
ключающуюся в том, что аналитическое выражение неточно описывает зависимость U (I) либо I(U ) . Поэтомуприходитсяприбегатькметодам
аппроксимации нелинейных характеристик, заданных графически либо таблично.
Избежать систематической ошибки, обусловленной неточным описанием зависимости U (I) либо I(U ) , можно путем построенияграфика
на основе экспериментальных результатов. В этом случае зависимость описывается очень точно. На основе графической зависимости можно получить таблицу дискретных значений зависимости U (I) либо I (U )
нелинейного элемента.
59
При малом шаге дискретизации аргумента высокую точность воспроизведения кривой зависимости U (I) либо I(U ) можно получить
сиспользованиемдляинтерполяциикубическихсплайнов. Этивопросы и рассматриваются в данном разделе пособия.
Пример 4.4
|
|
|
Аппроксимировать |
кубическими |
сплайнами |
||||
|
|
вольт-амперную характеристику I (U ) (табл. 4.1) |
|||||||
Рис. 4.5 |
нелинейного резистора, изображенного на рис. 4.5. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U, В |
0 |
2 |
|
4 |
6 |
8 |
10 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, мА |
0 |
0,65 |
|
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
|
1,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
1. Запустим Mathcad.
2. Переопределим значение встроенной переменной ORIGIN (Tools/ Worksheet Options …), в открывшемся окне перейдем на вкладку BuiltIn Variables (встроенные переменные) и в поле Array Origin (ORIGIN) (начало массивов) введем 1.
3. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 7 2), столбцами которой являются соответствующие строки предыдущей таблицы:
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
т |
|
Z : |
0 |
0,65 |
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,04 |
. |
|
|
|
|
|||||||
4. Определим далее векторы значений аргумента и функции
X : Z 1 |
Y : Z 2 . |
60