Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие

При p = 1 имеем прямой, иначе, явный, алгоритм Эйлера, учитывающий только линейные члены разложения:

xi 1 xi hf (xi , ti ) , (2.3)

где ошибка отсечения имеет верхнюю границу, равную Kh2.

В алгоритмах Рунге–Кутта различного порядка производные в алгоритмах Тейлора заменяются вычислениями значений функции в нескольких промежуточных точках шага. Это требует трудоемких преобразований.

Наиболее широко применяется алгоритм Рунге–Кутта четвертого порядка.

Он имеет следующий вид (i = n):

Здесь ki , где i = 1…n, представляют угловые коэффициенты касательных в различных точках: k1 – в начальной точке xn , tn ; k2 , k3 – в середине шага и ординатах, определяемых по k1 и k2; k4 – в конце интервалаиординате, найденнойпозначению k3. Угловыекоэффициенты

касательных есть наклоны, усредненные с весовыми коэффициентами, значение которых определяет приращение решения.

Этот алгоритм согласуется с алгоритмом Тейлора при p = 4. При

этом методическая погрешность, зависящая от шага, равного Kh5, не-

великаипозволяетреализовыватьвычислениясравнительносбольшим шагом.

21

Заустранениенеобходимостивычисленияпроизводныхприходится платить ценой вычисления самой функции в четырех точках, что требует большого количества времени.

Алгоритмы Рунге–Кутта являются явными. Искомое решение не входит в правую часть выражения, а это значит, что вычисления начинаются сразу с точек x0 , t0 .

К наиболее употребимым многошаговым методам относятся алгоритмы Адамса–Бэшфорта и Адамса–Мултона. Алгоритмы Адамса– Бэшфорта могут быть различного порядка. Они принадлежат к явным алгоритмам. Решение появляется в левой части. Аналитическое выражение имеет следующий вид для k-го порядка:

Коэффициенты ak определяются следующим образом.

Еслиk = 1, тоследуетрассматриватьалгоритмпервогопорядка, совпадающий с явным алгоритмом Эйлера (2.4).

При k = 3 имеет место трехшаговый алгоритм Адамса–Бэшфорта третьего порядка:

xn 1 xn 12h [23 f (xn , tn ) 16(xn 1, tn 1) 5 f (xn 2 , tn 2 )] . (2.6)

Для осуществления процесса вычислений необходимо знать значения функции k = 3 в предыдущих точках.

Алгоритм Адамса–Мултона представляет собой неявный алгоритм. Этозначит, чторешенияприсутствуюткаквправой, такивлевойчасти аналитического выражения алгоритма.

Для k-го порядка имеем следующее аналитическое выражение:

Коэффициенты в этом выражении находятся из решения соответствующей системы линейных уравнений.

22

При k = 1 получим алгоритм первого порядка, который называется обратным, или неявным, алгоритмом Эйлера:

При k = 3 получим двухшаговый алгоритм Адамса–Мултона третьего порядка:

xn 1 xn 12h [5 f (xn 1, tn 1) 8 f (xn , tn ) f (xn 1, tn 1)] . (2.10)

Для реализации этого алгоритма требуется вычислить два значения функции в двух предыдущих точках.

Поскольку искомое значение xn 1 в неявных алгоритмах входит в

правую часть в виде нелинейной функции, то его можно определить из решения следующего функционального уравнения:

xn 1 g (xn 1) ,

где g (xn 1) – правая часть выражения (2.7), или в виде

F (xn 1) g (xn 1) – xn 1 0.

Эти уравнения решаются численно методом простой итерации или методом Ньютона–Рафсона.

При малом шаге имеется сходимость итерации.

При применении многошаговых методов нужно найти решения втребуемыхначальныхточках. Дляэтогоиспользуютодношаговыйметод, основанный на алгоритме Рунге–Кутта, и только затем применяют многошаговый метод.

Одношаговый метод нужен для предсказания значений точек, многошаговый – для их коррекции.

23

Многошаговые методы позволяют контролировать ошибку проще, чем одношаговые. Они более эффективны, так как в алгоритмах (2.6) и (2.10) функция вычисляется в двух точках, а не в четырех, как в формуле (2.4) Рунге–Кутта.

Аналитические выражения, рассмотренные для одномерного уравнения, непосредственно позволяют работать с системой из n уравнений состояния.

Обобщим формулу Эйлера (2.3) в систему двух уравнений:

имеющих начальными условиями при t t0

x1(t0 ) x10 ; x2 (t0 ) x20 .

Разложив x1(t) и x2 (t) в ряд Тейлора и ограничившись линейными

членами с учетом (2.11), заменим производные переменных правыми частями, в результате получим

к значениям переменных в начале интервала и получать при этом значения в конце интервала.

Алгоритм вычислений имеет следующий вид:

1) t t0 ; найдем x10 x1(t0 ); x20 x2 (t0 );

2)t t1 t0 h; найдем

f10 hf10 hf1(x10 , x20 , t0 );

f20 hf20 hf2 (x10 , x20 , t0 ),

24

а также значения переменных в конце первого интервала:

x10 hf10;

x20 hf20;

3) t t2 t1 h; найдем

f1(1) hf1(1) = hf1(x1(1) , x2(1) , t1);

f2(1) hf2(1) hf2 (x1(1) , x2(1), t1).

Значение искомых величин в конце второго интервала будет:

x1(1) hf1(1);

x2(1) hf2(1)

ит. д.

2.3.Использование методов численного интегрирования для решения уравнений Дуффинга

Пример 2.3.1

Рассмотрим цепь, представленную на рис. 2.4: e(t) KU0 sin( t ).

R1

L

25

Исходное уравнение Дуффинга:

где – потокосцепление;

R – сопротивление; С – емкость;

a – первый коэффициент разложения; b – второй коэффициент разложения;

Um – амплитуда напряжения источника питания;

– круговая частота напряжения источника питания.

Зададим следующие значения параметров и элементов цепи: R1 : 100 – сопротивление, Ом;

C1 : 833 10 6 – емкость, Ф; Em0 : 300 – напряжение, В;: 2 50– частота, Гц;

Sg : 10 4 – площадь сечения магнитопровода, м2; IsRg : 0,14 – длина средней линии магнитопровода, м; dg : 3,5 – ширина окна магнитопровода, см;

Cg : 1,5 – высота окна магнитопровода, см;

Imax : 10 – максимальный ток, А;: 2 – плотность тока, А/мм2;

tmax : 0,5 – верхний предел по времени; tmin : 0,1 – нижний предел по времени;

H1 : 69 – напряженность магнитного поля в первой точке, А/м; H 2 : 940 – напряженность магнитного поля во второй точке, А/м; B1 : 0, 41 – индукция магнитного поля в первой точке, Тл;

B2 : 1,39 – индукция магнитного поля во второй точке, Тл;B Sg – формула расчета магнитного потока, Тл м2;

26

a1 : 0,01, b1 : 0,01 – начальные условия коэффициентов аппрокси-

мирующего полинома. Given

a1 18,795 10 6

b1 5,055 1021

– рассчитанные коэффициенты аппроксимирующего полинома.

Проверка правильности решения системы уравнений:: 746 – магнитная проницаемость.

Вычислим L1 на основании приведенного ранее расчета дросселя.

27

Вычислим:

T : 2 ;

K : 0.9.

Решение дифференциального уравнения методом Адамса:

f 1(t) : KEm0 cos( t) KEm0 sin( t);

R1C1

График производной выводится в координатах tk , yL2k

tк

28

график исходной функции выводится в координатах tk , yL1k

tк

фазовый портрет выводится в координатах yL1k , yL2k

yL2к

yL1к

Пример 2.3.2

Рассмотрим цепь, представленную на рис. 2.5: e(t) KEm0 sin( t).

R1

29

гдепараметрыиэлементыцепи, атакжерасчетдросселяописанывпри-

мере 2.3.1.

K : 0.9 .

Решение дифференциального уравнения методом Адамса:

f 1(t) : KEm0 sin( t);

R1C1

K : 0...ROWS(Z1) 1.

Вывод графиков аналогичен описанному в примере 2.3.1.

Пример 2.3.3

Рис. 2.6

30