Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие

31

T : 2

TRES : 2 RES

Решение дифференциального уравнения методом Адамса:

f 1(t) : R1 Im0K sin( t) ;

L1

K : 0... ROWS(Z1) 1.

Вывод графиков аналогичен описанному в примере 2.3.1.

32

Вольт-кулонная характеристика и ее таблица (рис. 2.7 и таблица)

Вольт-кулонная характеристика

uс, В

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 q, Кл·10–4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

Рис. 2.7

Выбранные значения uс и q в дальнейшем используются для рас-

четаемкостиконденсатора, которая, всвоюочередь, служитдлярасчета коэффициентов аппроксимирующего полинома.

33

Контрольные вопросы и задания

1.Перечислить основные численные методы анализа нелинейных цепей.

2.Перечислить основные функции, предназначенные для численного решения нелинейных уравнений в программе Mathcad.

3.Перечислить основные типы нелинейных дифференциальных уравнений.

3.Вариационный метод анализа линейных

инелинейных электрических цепей

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление [1] ставит перед собой задачу отыскания функций x, y, z, … от s, t, …, при которых интеграл

имеет минимальное или максимальное значение (экстремум). Пределы интегрирования при этом могут предполагаться фиксированными или жепеременнымиприопределенныхограничивающихусловиях. Случай переменных пределов интегрирования, однако, приводится к постоянным пределам. Функции из рассматриваемого класса, дающие решение задачи, называются экстремалями.

Вариационные задачи могут решаться прямыми методами (например, с помощью аппроксимации) или косвенным путем – с помощью приведения к дифференциальным уравнениям. В то же время часто может оказаться полезным обратный путь – приведение дифференциального уравнения к вариационной задаче с последующим ее решением прямыми методами вариационного исчисления.

34

Приведение к дифференциальным уравнениям

Уравнения Эйлера – Лагранжа

Далее приводятся наиболее употребимые случаи.

а) V (x, x, t) содержит одну функцию x(t) одной независимой пере-

менной  t и ее производную x(t) dxdt . Если будем варьировать функ-

цию x(t), заменяя ее выражением

x(t) (t) x(t) x,

то соответствующая вариация S определится формулой

откуда, интегрируя по частям член, содержащий , будем иметь:

Если функция x(t) задана для значений t1 и t2 , то в этих точках 0

и, следовательно, первоеслагаемоевыпадает. Изнеобходимогоусловия экстремума S, согласно которому для всех допустимых функций

должнобыть S 0, следуетдифференциальноеуравнениеЭйлера – Ла- гранжа:

Оно определяет x(t) с точностью до двух произвольных постоянных, значения которых находятся с помощью краевых условий.

35

Это n дифференциальных уравнений второго порядка. Они определяют x(t), y(t), … с точностью до 2n постоянных интегрирования, которые находятся с помощью краевых условий.

в) V (x, x, x, x , t) содержит одну функцию и ее производные до третьего порядка включительно. В этом случае получим:

зависимых переменных s, t, …, несколько зависимых переменных x, y, … и их производные xs , ys , Вариация S будет равна нулю, если

x(s, t, …) и другие переменные определяются из уравнений Лагранжа:

36

и т. д.*

3.1. Линейные уравнения

Рассмотрим последовательную линейную цепь, состоящую из резистора сопротивлением R, катушки индуктивности с индуктивностью L и конденсатора емкостью C.

Найдем свободную составляющую тока i: uL uR uC U 0 ,

где U0 – напряжение, до которого предварительно заряжен конденсатор; uR , uL и uC – напряжения на элементах R, L и C.

iR L dtdi C1 ∫idt U0 .

Продифференцируем это уравнение один раз по времени:

L d 2i R di 1 i 0. dt2 dt C

Приведем это уравнение к следующему виду:

Рассмотрим характеристическое уравнение p2 RL p LC1 0.

* В предположении, что на границе области изменения независимых переменных s, t, … функции x, y, … принимают заданные значения.

37

Рассмотрим такую же цепь

uR uL uC U0 ,

Составим функцию энергий для рассматриваемой выше цепи:

Эта цепь последовательная, а значит

iL iC C dudtC ,

откуда получим функцию F:

38

Сформируем уравнение Эйлера – Лагранжа:

и получим характеристическое уравнение

p2 2 RL p LC1 0.

Рассмотрим параллельную цепь с элементами ветвей R, L и C без источника питания. Конденсатор предварительно заряжен до напряжения U0 :

iL iR iC 0,

где iL , iR , iC – точки ветвей с элементами R, L и С.

39

Подробно опишем каждое слагаемое этого выражения:

uС L didtL ;

didtL L1 uС;

diL L1 uСdt;

iL L1 ∫uСdt;

uRС L1 ∫uСdt C dudtС 0.

Продифференцируем приведенное выше уравнение:

Составим функцию энергий для параллельной R–L–C-цепи с предварительно заряженной емкостью до напряжения U0 :

40