Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Подставим (П9) и (П8) в (П3):
							p2		U					A						p3 p1							1									p1U0
							p2		U					A													1								p p
						1						0					3			p p															p p
																						2			1										2
																						2			1										2				1
						p2						A3 p3 p1 p1U0																						p2 A 0;
						p2																												p2 A 0;
								2										p2 p1																			3 3
																		p2 p1
						2										2				p3 p1																2 p1U0
						p1 U0 A3 p1																					1					p1
						p1 U0 A3 p1													p p								1					p1						p p
																				2					1														2			1
					p2				A					p3 p1										p2				p1U0									p2 A 0;
					p2				A															p2													p2 A 0;
						2						3		p			p									2 p						p							3 3
															2					1						2									1
						A		p2					p3 p1											1	p2						p3 p1								p2
						A		p2																1	p2						p p								p2
						3			1				p p													2					p p									3
													2					1														2					1
													2					1														2					1
							p2U								0		p2						p1U0						p2							p1U0					;
							p2U										p2												p2												;
												1								1			p		p								2			p			p
																								2		1											2		1
	p3 p1							2					2							2					2							p1U0							2				2		2
A3							p1				p2				p1								p3																p1	p2 p1 U0						;
A3		p	2	p			p1				p2				p1								p3								p			p					p1	p2 p1 U0						;
			2			1																										2					1
	A				p3 p1					p p										p p p p p p
	A									p p										p p p p p p
	3				p p								1					2						1		2									3				1			3		1
						2		1
														p1U0										2		2									2
																					p1				p2					p1 U0 ;
													p p								p1				p2					p1 U0 ;
													2					1
				A		p p									p p										p p												p p
				3					3				1					1						2					3						1				3			1
														p1U0										2		2									2
																					p1				p2						p1 U0;
													p p								p1				p2						p1 U0;
													2					1

A			p p								p p p p														p1U0 p12 p22																	p2U						0	;
A			p p								p p p p																															p2U							;
3						3			1				1			2		3		1									p2 p1														1
																													p2 p1
							A3						p1U0 p12 p22 p12 p2 p1 U0																											;
							A3				p p p p									p p p p																				;
													2			1		1	3				1			2						3					1
													A				A3 p3 p1 p1U0
													A
													2					p2 p1
																		p2 p1
									2				2			2													p				p										p U
			p1U0 p1								p2					p1		p2 p1 U0											p				p										p U			0
																														3				1									1			0
		p				p			p				p			p		p	p				p			p							p									p p
		p				p			p				p			p		p	p				p			p							p									p p
				2		1				1				3		1		2			3			1						2				1									2				1
			p1U0 p12 p22 p12 p2 p1 U0																									p p															p U
																														3				1									p U			0
																																											1			0
	p			p					p		p			p p p p														p2 p1														p2 p1
	p			p					p		p			p p p p														p2 p1														p2 p1
			2			1			3				1			1		2			3			1
								p1U0 p12 p22 p12 p2 p1 U0																												p1U0								;
							p		p				p p p p p														p																	;
							p		p				p p p p p														p								p p
						2				1				1		2		3			1			2						1							2						1
																A1 U0 A2 A3
									p1U0 p12 p22 p12 p2 p1 U0																														p1U0
	U																																						p1U0
	U			0																	p			p						p
				0			p p p p p														p			p						p								p				p
									2				1			1		2	3				1			2						1							2				1

						p1U0 p12 p22 p12 p2 p1 U0																																		p1U0
																															U									p1U0
							p			p p p p										p				p							U			0
			p				p			p p p p										p				p										0					p		2		p
					2				1				1			2		3	1			1				3															2				1

									2				2			2		p2 p1 U0												1											1
			p1U0 p1								p2 p1							p2 p1 U0												1											1
																																													.
						p			p			p			p			p	p							p				p							p p								.
						2				1			1			2		3			1					2							1						1				3

Проверка

p1U0

A :

p1U0 p1

p1 p2 p1 U0

p2 p1

p2 p1 p2 p3

A :

p1U0 p12 p22 p12 p2 p1 U0

p1U0

p2 p1

p3 p2 p1

p2 p1

A :

p1U0 p12 p22

p12 p2 p1 U0

p2 p1

p3 p2 p3

A2 A3 : =

p1U0 p12 p22 p12 p2 p1 U0

p p

A1 A2 A3 U 0 .

Приложение 2

Приложения вариационного подхода к теории поля

Краткая теория

Поле можно описать с помощью параметров, характерных для него. С помощью классического вариационного исчисления возможно получить экстремали рассматриваемых параметров, использованных для описанияполя. Экстремали указываютнамаксимальноеилиминимальное значение функционала, составленного на основе параметров поля.

Поле может быть образовано с помощью материи или энергии. К полям, образованным с помощью материи, следует отнести гравитационные полязвезд, планет, пылевидныхтуманностей. Кполям, образованнымспомощью энергии, следует отнести магнитные поля звезд, планет. Кроме того, поля, образованныеспомощьюэнергии, могутсостоятьизплазмы.

Как материя, так и энергия уменьшаются до минимального значения, принятого за нуль. Такой процесс длится в течение времени диссипации.

Оценивдлительностьэтого времени, можно ввестиследующие понятия: поля с длительным временем диссипации и поля с коротким временем. Поля, образованные с помощью материи, следует отнести к полям с длительнымвременемдиссипации. Поля, образованныеспомощьюэнергии, следует отнести к полям с коротким временем диссипации.

Приучетегравитационных, атакжеэлектрическихимагнитныхвзаимодействий следует учитывать потери материи и энергии, а также время этих потерь до заданного уровня.

Иллюстративные примеры

Рассмотрим пример поля материи, занимающей объем V0 и обладающеймассой M (t), котораяпостоянноуменьшается. Диссипацияопи-

сывается с помощью приведенных ниже коэффициентов:M (t) – масса материи [кг];

K – коэффициент сжатия. Величина, равная максимальному объему

	с2		м3
материи за		,		;
материи за		,		;
		с2

V – объем материи [м3];
		м3
– коэффициент трудоемкости диссипации материи			;
– коэффициент трудоемкости диссипации материи		с	;
		с

M (t) M (t) K	(t) M (t) K [с];
M (t) [кг];

K с ;кг

K (t) – коэффициент, учитывающий время диссипации конкретного вида материи;

K – тот же коэффициент, но без временной зависимости. Функционал материи выглядит следующим образом:

t1				d
J ∫	F	M	(t),		M	(t), t dt,
J ∫	F	M	(t),		M	(t), t dt,
t0				dt

где F – функция материи всех трех аргументов;

t0 и t1 – нижний и верхний предел интегрирования. Функция материи выглядит следующим образом:

2 (t)

V d

(t)

∫

(t)

dt V0 ,

где V0 – исходный объем материи. Составим уравнение Эйлера:

dF	2 M (t)		;
d M	2	1


		K

d V

M (t) ∫ 2

M (t)dt

d M

(t) .

Получим следующее дифференциальное уравнение:

M (t)

d 2

(t) 2

M (t) 0

dt2

и преобразуем его к виду

d 2

(t) 2V

(t)

M (t) 0.

dt2

Этоуравнениерешениемимеетэкстремаль, обеспечивающуюминимум функционалу материи.

Предыдущее уравнение преобразуем к следующему виду:

d 2		d				K
	M	(t) 2V		M	(t)		M (t) 0.
dt2			dt			V

Это уравнение решением имеет экстремаль, обеспечивающую максимум функционалу материи.

В качестве допущения следует принять, что масса материи не превышает ее изначального значения, т.е. со временем масса материи убывает до значения, принятого нами за нуль. Поэтому экстремаль, доставляющую максимум функционалу материи, следует исключить из рассмотрения.

Рассмотрим пример поля энергии, занимающего объем V0 , обладающего энергией E(t) и диссипирующего.

Диссипация описывается с помощью приведенных ниже коэффициентов:

E(t) – энергия [Дж];

K – коэффициент сжатия. Величина, равная максимальному объему

	с2		м3
энергии за		,		;
энергии за		,		;
		с2

V – объем энергии [м3];
				м3
– коэффициент трудоемкости диссипации энергии					;
– коэффициент трудоемкости диссипации энергии				с	;
				с

E(t) E(t) K			(t) E(t) K [с];
E(t) [Дж];
	с
	с
K		.
K		.
	Дж

K (t) – коэффициент, учитывающий время диссипации конкретного вида энергии;

K – тот же коэффициент, но без временной зависимости. Функционал энергии выглядит следующим образом:

t1				d
J ∫	F	Е	(t),		Е	(t), t dt,
J ∫	F	Е	(t),		Е	(t), t dt,
t0				dt

где F – функция энергии всех трех аргументов;

t0 и t1 – нижний и верхний предел интегрирования. Функция энергии выглядит следующим образом:

2 (t)

V d

(t)

∫

(t)

dt V0 ,

где V0 – исходный объем энергии.

Составим уравнение Эйлера:

2 E(t) ;

d E

d V

E(t) ∫ 2

E(t)dt

d E

(t)

E(t) 2

(t) .

Получим следующее дифференциальное уравнение:

E(t)

d 2

(t) 2

E(t) 0.

dt2

Преобразуем его к виду

d 2

E(t) 2V

E(t)

E(t) 0.

dt2

Решением этого уравнения является экстремаль, доставляющая минимум функционалу энергии.

Преобразуем предыдущее уравнение к виду

d 2		d				K
	E	(t) 2V		E	(t)		E(t) 0.
dt2			dt			V

Решением этого уравнения является экстремаль, доставляющая максимум функционалу энергии.

В качестве допущения следует принять, что значение энергии не превышает значения энергии изначального, т.е. со временем энергия убывает дозначения, принятогонамизануль. Поэтомуэкстремаль, доставляющую максимумфункционалуэнергии, следуетисключитьизрассмотрения.

Геометрическая интерпретация процессов диссипации
		материи и энергии
		zE	Потенциальное время Тдисс. Е
		zE	Независимое время t
		КонусЕ		Мнимое время jt(zЕ)
		КонусЕ				)
						)
					y
				–
			(
			t
		А	j
		А				–y
		Е				–y
		jt(–x)				jt(x)
		O				x
–x						x
		)
	y
(
t
j			АM
		y	АM
		y
		КонусМ
			Потенциальное время Тдисс. М
		zM	jt(zM )
Рис. П2.1. Геометрическая интерпретация процессов
		диссипации материи и энергии

На рис. П2.1 приняты следующие обозначения:

конус М – конус материи;

конус Е – конус энергии;

ось zE – ось энергии;

ось zМ – ось материи;

Тдисс. Е – ожидаемое время уменьшения энергии в конусе энер-

гии до уровня, принятого за нуль;Тдисс. М – ожидаемоевремяуменьшениямассывконусематерии

до уровня, принятого за нуль;

t – независимое время (время наблюдателя с хронометром). Позволяет измерять время диссипации энергии Тдисс. Е и время диссипа-

ции материи Тдисс. М ;

jt – мнимое время. Это время мнимого пространства, не содержащего энергию и массу материи. Абсолютный вакуум;

jtzE – мнимое время вдоль оси zE ;

jtzМ – мнимое время вдоль оси zМ ;

jt(–x) и jt(x) – мнимое время вдоль осей –x и x;

jt(–y) и jt(y) – мнимое время вдоль осей –y и y;

точка O – начало координат x, y, z;

точка AM – точка A, обладающая массой M в конусе материи;

точка AE – точка A , обладающая энергией E в конусе энергии,

является проекцией точки AM из конуса материи. Энергия точки AE вычисляется по формуле

	E mc2 ,
где m – масса M в точке AM ;	c – скорость света.
Назовем прямым ходом движение из точки			AM конуса материи
в точку AE конуса энергии. Материя действительно превращается
в энергию. Назовем обратным ходом движение из точки AE конуса
энергиивточку AM конусаматерии. Вобластивремениt этотобратный
ход запрещен.
Невозможно в окружающем нас мире, пусть даже с любыми энерге-
тическими затратами, из энергии получить материю.
Рассмотрим рис. П2.2.
	t	zE
		zE
jt(–x)		O	jt(x)
	–t	zM
	–t
Рис. П2.2. Сечение конусов материи и энергии
	по оси ZOX

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]