Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие
.pdfСоставим уравнения баланса напряжений элементов цепи для первого и второго контура схемы и баланса токов элементов цепи для первого узла схемы. Таким образом, стационарные значения напряжений и токов резисторов исследуемой цепи (рис. 4.17) определяются нелинейной системой алгебраических уравнений:
I |
|
I |
2 |
I |
3 |
0, |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U |
1 |
(I |
) |
U |
2 |
(I |
2 |
) U |
0 |
0, |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I2 ) U3(I3) 0. |
|
|
|||||||||
U2 |
|
|
|||||||||||
Зададимначальныезначениядля I1 , I2 и I3 :
I1 : 0,1 А; I2 : 0,1 А; I3 : 0,1 А.
Given
I1 I2 I3 0
U1(I1) U2 (I2 ) U0 0
U2 (I2 ) U3(I3) 0
U : Find I1, I2 , I3 , U т 0,061 0,031 0,031 .
Найдем значения U1 , U2 и U3 с помощью выражений их вольт-ам- перных характеристик:
U1(I1) 6, 792 В; |
U 2 (I2 ) 3, 202 В; |
U3 (I3 ) 3, 202 В. |
Проверим соблюдение законов Кирхгофа для схемы исследуемой цепи:
U1(I1) U2 (I2 ) U0 6,255 10 3, U2 (I2 ) U3(I3) 0,
I1 I2 I3 1 0 3.
81
И, наконец, проверим соблюдение баланса мощностей активных и пассивных элементов цепи.
Мощность генерируемая:
P01 : I1U0 , P01 0,61 Вт .
Мощность потребляемая:
P02 : I1U1(I1) I2U2 (I2 ) I3U3(I3),
P02 0,613 Вт.
Задача решена верно.
Пример 4.11
Вычислить значения тока и напряжения нелинейного резистора R2
(рис. 4.18), |
определенного |
своей |
вольт-амперной характеристикой |
|||||||||||||
(табл. 4.10), |
если |
U |
0 |
10 |
В, R |
5 Ом, |
R 4 Ом, |
G R 1 |
См, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
1 |
|
|
G |
2 |
R 1 См, I |
к |
R 1U |
0 |
А. |
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 4.18 |
Рис. 4.19 |
Таблица 4.10
U, В |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I, А |
0 |
0,65 |
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
82
Решение
На основании либо ВАХ, либо зависимости I(U ) произведем за-
менунелинейногорезистораисточником тока (по теореме компенса-
ции) (рис. 4.19).
Преобразуем источник напряжения U0 ирезистор R1 висточник
тока I |
к |
, |
проводимость |
G R 1 |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
Рис. 4.20 |
|
а |
|
также |
|
положим |
G |
|
R 1 |
, |
|||
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
R 1U |
|
|
|
3 |
|
|
|||
I |
к |
0 |
(рис. 4.20). |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интерполируем ВАХ нелинейного резистора (см. табл. 4.10). 1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 7 2), столбцами
которой являются соответствующие строки таблицы:
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
т |
|
Z : |
0 |
0,65 |
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,04 |
. |
|
|
|
|
|||||||
2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:
X : Z 1 |
Y : Z 2 . |
3. Определим выражение ВАХ нелинейного резистора I2 (U ) :
I2 (U ) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U .
Схема, изображенная на рис. 4.20, пригодна для решения задачи методом узловых напряжений.
Пусть U0 0
G1 G2 U1 Iк I2 (U2 ) ,
где U 2 U1 U0 U1.
В нашем случае
(G1 G2 )U1 I2 (U1) Iк .
83
Решимданноеуравнение спомощью средствMathcad, задавначальное значение U1 : 1 .
Given
(G1 G2 )U1 I2 (U1) Iк 0
U : Find (U1), U 2,703.
Найдем значение тока через нелинейный элемент:
I2 (U1) 0, 784 А.
Произведем проверку, подставив U1 и I2 (U1) в исходное уравнение:
(G1 G2 )U1 I2 (U1) Iк 2,614 10 4 .
Произведем проверку баланса мощностей данной схемы. Генерируемая мощность:
P01 : (Iк I2 (U1))U1, P01 3, 288 Вт.
Потребляемая мощность:
P |
: (U |
)2 (G |
G |
2 |
), |
P 3, 288 Вт. |
02 |
1 |
1 |
|
|
02 |
Генерируемая и потребляемая мощности равны.
Пример 4.12
Рассмотрим пример на применение метода контурных токов схемы, представленной на рис. 4.21, в которой требуется определить токи ветвей.
По теореме компенсации заменим нелинейный резистор R6 источником напряжения U 6 (I6 ) , вольт-амперная характеристика которого
задана таблично (табл. 4.11).
Получим схему, рис. 4.22. С использованием этой схемы применим метод контурных токов.
84
Рис. 4.21 |
|
|
|
Рис. 4.22 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, А |
0 |
0,5 |
1,5 |
2,6 |
|
4,3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U, В |
0 |
10 |
20 |
30 |
|
40 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
ЗапишемврабочийдокументMathcad численныезначенияпарамет-
ров источников напряжений и |
резисторов: |
|
|
U 01 : 50 В; U 04 : 40 В; |
U 05 : 40 В; |
R1 : 4 Ом; |
R2 : 5 Ом; |
R3 : 4 Ом; R4 : 10 Ом; R5 : 10 Ом; R6 : 6 Ом. |
|
||
Далее получим аналитическое выражение вольт-амперной характеристики нелинейного резистора U6 (I6 ) .
1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 6 2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:
0 |
0,5 |
1,5 |
2,6 |
4,3 |
6 |
т |
|
Z : |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
. |
|
|
||||||
2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:
X : Z 1 |
Y : Z 2 . |
85
3. Определим выражение ВАХ нелинейного резистора:
U6 (I ) : interp cspline X ,Y , X ,Y , I .
Зададим начальные значения контурных токов I1 , I2 и I3 :
I1 : 5 А; |
I2 : 5 А; |
I3 : 5 А. |
На основании метода контурных токов запишем следующую систему уравнений:
R |
R |
0 |
|
|
2 |
4 |
R3 R5 |
|
|
0 |
|
|
R |
R |
|
|
|
2 |
3 |
где I6 I2к I1к .
R2
R3
R1 R2 R3
|
I |
к |
|
|
1 |
|
|
||
|
I |
к |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
I |
к |
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
U04 U6 |
(I6 ) |
|
||
|
(I6 ) |
|
|
, |
U6 |
U05 |
|||
|
U |
01 |
|
|
|
|
|
|
|
Решим полученную систему уравнений средствами Mathcad:
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R |
R |
)I к |
R I к |
U |
6 |
I к I к U |
04 |
|
0 |
|
||||||||
2 |
4 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
(R |
R |
)I к R I к |
U |
6 |
I к I к U |
05 |
|
0 |
|
|||||||||
3 |
5 |
2 |
|
3 |
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
R I к R I |
к (R |
R |
|
R |
)I к |
U |
01 |
0 |
|
|
||||||||
2 1 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
II : Find I к, I к, I к . |
|
II т 1,961 |
2,026 |
2,468 . |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим токи ветвей:
I1 : I3к, I2 : I1к I3к, I3 : I2к I3к,
I4 : I1к, I5 : I2к, I6 : I2к I1к.
I1 2,468 A, I2 4,429 A, I3 4,494 A, I4 1,961 A,
I5 2,026 A, I6 0,065 A, U6 (I6 ) 1,742 B.
86
Произведем проверку на основе системы уравнений контурных токов:
(R |
R |
)I к R I к |
U |
6 |
I к I к U |
04 |
0,013, |
||||||||||
2 |
4 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
(R |
R |
)I к R I к |
U |
6 |
I к |
I к U |
05 |
0,022, |
|||||||||
3 |
5 |
2 |
|
3 |
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||
R I к R I к (R |
R |
|
R |
)I к |
U |
01 |
7 10 3. |
||||||||||
2 1 |
3 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|||||
Проверим баланс мощности на основе баланса генерируемой и потребляемой мощности:
генерируемая мощность:
P01 : I1U 01 I4U 04 I5U 05 , P01 282,88 Вт;
потребляемая мощность:
P02 : I12R1 I22R2 I32R3 I42R4 I52R5 U6 (I6 )I6,
P02 282,844 Вт.
Генерируемая и потребляемая мощности приблизительно равны.
Контрольные вопросы и задания
1.Перечислить основные виды сплайнов.
2.Какие функции реализуют аппроксимацию нелинейной характеристики нелинейного элемента в программе Mathcad?
Заключение
Внастоящейработепредставленызадачиипримерырасчетакаклинейных, так и нелинейных цепей с помощью энергетического подхода методами классического вариационного исчисления, численного решения дифференциальных уравнений и с помощью кубических сплайнов.
Такие задачи могут встретиться также в профессиональной деятельностибакалавровимагистрантов. Наборметодоврешенияприведенных внастоящейработезадачипримероврасширяетнаборинструменовбудущего специалиста и позволяет детально анализировать задачу, возникшую в профессиональной деятельности.
Библиографический список
1. Маделунг Э. Математический аппарат физики / Э. Маделунг. – Москва : Наука, гл. редакция физ.-мат. литературы, 1968. – 620 с. с ил.
2. Зернов Н. В. Теория радиотехнических цепей / Н. В. Зернов, В. Г. Карпов. – Изд-е 2-е, перераб. и доп. – Ленинград : Энергия, 1972. – 816 с.
3. Данилов Л. В. Теория нелинейных электрических цепей / Л. В. Данилов, П. Н. Матханов, Е. С. Филиппов. – Ленинград : Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1990.
4. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи / П. Н. Матханов. – Москва : Высшая школа, 1977.
5. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. – Изд. второе, перераб. идоп. / П. Н. Матханов. – Москва: Высшаяшкола, 1986.
6. Бессонов Л. А. Нелинейные электрические цепи / Л. А. Бессонов. – Москва : Высшая школа. 1964.
7. Филиппов Е. Нелинейная электротехника / Е. Филиппов ; пер. и доп. А. З. Кулебякина. – Москва : Энергия, 1968.
Приложения
Приложение 1 Расчет постоянных интегрирования
A1 A2 A3 U 0 ;
p1 A1 p2 A2 p3 A3 0 ;
p12 A1 p22 A2 p32 A3 0 ;
A1 U 0 – A2 – A3 ;
p1 A1 p1U 0 – p1 A2 – p1 A3 .
Подставим (П5) в (П2):
p1U 0 – p1 A2 – p1 A3 p2 A2 p3 A3
p1U0 A2 p2 p1 A3 p3 p1
A2 A3 p3 p1 p1U0 p2 p1
Подставим (П8) в (П4):
|
(П1) |
|
(П2) |
|
(П3) |
|
(П4) |
|
(П5) |
0 |
(П6) |
0 |
(П7) |
|
(П8) |
A U |
0 |
|
A3( p3 p1) p1U0 |
A U |
0 |
|
|
A3 |
( p3 p1) p1U0 |
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
p2 p1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 p1 |
|||||
|
|
|
U |
0 |
A |
p3 p1 |
|
|
p1U0 |
|
A |
||||||
|
|
|
|
p p |
|||||||||||||
|
|
|
|
3 p |
p |
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
||
U |
|
A |
|
p3 p1 |
1 |
|
p1U0 |
|
. |
(П9) |
|
0 |
|
|
p p |
||||||||
|
3 |
p |
p |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
90