Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Так как iL C

duС

uС

, то получим

CU 2

du u

CU 2

R∫

Преобразуем его к виду

CU 2

LC2 du

LC du

L u2

CU 2

∫

R dt

Сформируемуравнение Эйлера – Лагранжа на основе уравнения (а):

LC du

d 2u

LC du

CuC

2∫

dt LC2

dt2

R dt

Продифференцируем сформированное уравнение по времени один раз и, упростив его, получим:

d3u

CR2

2 1

R LC

Рассмотрим треугольник сопротивлений для последовательной R–L–C-цепи с источником питания (рис. 3.1).

X = XL– XC

Рис. 3.1. Треугольник сопротивлений

Полное сопротивление из треугольника сопротивлений:

		2			1	2
Z	R		L			,
					c

где – круговая частота, а	X L L,			XC			1	.

							C

Полная мощность S с учетом i C dudtC вычисляется по формуле

S ui.

Окончательно получим:

S i2Z C

Энергия источника питания:

∫ Sdt

∫ C

dt.

Рассмотрим треугольник проводимостей для параллельной

R–L–C-цепи с источником питания (рис. 3.2):

YR g

;

Y j

jb ;

YC j C jbC ,

Рис. 3.2. Треугольник

проводимостей

где YR , YL и YC

– проводимости ветвей с R, L, C.

Полная проводимость Y равна:

		2		2	1 2		1 2
Y	g		b			C		,

					R		L

uCY u uC2 Y.

СоставимфункциюэнергийдляпоследовательнойR–L–C-цеписис- точником питания:

CU 2

R∫ C

∫ C

dt;

CUC ;

duC

LC2

d 2u

2RC

2 R2

Сформируемуравнение Эйлера – Лагранжа на основе уравнения (а):

d 2u

1 2

CUC LC2

2RC2

dt2

Упростим его:

d 2uC 2 R 2 dt2 L

	2		1 2
R		L				1
R		L
			C	du
					C		u	0.
							u	0.
		L			dt	LC	C
		L			dt	LC

Составим функцию энергий для параллельной R–L–C-цепи с источником питания:

CU 2

1 2

iL2

R∫

dt ∫uC2

dt.

Зная, что iL C

duC

, получим:

LC2

LC du

R dt

∫

∫uC2 dt 0.

Сформируем уравнение Эйлера – Лагранжа также на основе уравнения (а):

CUC

duC

LuC

2∫

1 2

d 2u

LC du

∫uC dt LC2

dt2

R dt

Продифференцируем полученное уравнение один раз по времени и упростим его:

d3u

1 2

uc 0.

dt3

R2C2

LC2

3.2. Нелинейные уравнения

Вебер-амперная характеристика катушки с ферромагнитным сердечником не может быть выражена точно аналитически. Уравнение этой характеристики обычно аппроксимируют с той или иной степенью точности. Так, если использовать аппроксимацию степенным полиномом, то при условии пренебрежения явлением гистерезиса характеристика удовлетворительно описывается укороченным полиномом

a i a i3		,	a 0.	(3.1)
1	3		3

Отсюда статическая индуктивность будет равна

L	a		a i2	;	(3.2)
	i	1	3
	i

дифференциальная индуктивность –

L	d	a	3a i2.	(3.3)

d	di	1	3

Надоиметьввиду, чтоуравнение(3.1) неучитываетнижнегоизгиба характеристики. Согласно этому уравнению характеристика имеет монотонно убывающую крутизну, в то время как в действительности кривая намагничивания в своей нижней части имеет нарастающую, а затем убывающую крутизну.

Большой интерес представляют энергетические соотношения в нелинейной индуктивности.

Напряжение, приложенное к индуктивности,

uL	d	d	di	,
	dt	di dt

учитывая Ld ddi , можем записать, что

u	L	L	di	.	(3.4)

		d dt

Элементарнаяэнергия, накапливаемаязавремя dt вмагнитномполе катушки, равна

d L uLidt.

Приняв во внимание уравнение (3.4), получим

d L Ld idi,	(3.5)
или, иначе,
d L id .	(3.6)

Если ток возрастает от нуля до i = I, в магнитном поле запасается энергия

I	m
WL ∫ Ld idi	∫	id .	(3.7)
0	0

Для конденсатора воздействие x uC , а отклик y q . Значит, статическая емкость

C	q	(3.8)
C	u	(3.8)
	u
	C

пропорциональна статической диэлектрической проницаемости . Дифференциальная емкость

Cd	dq	(3.9)
	duC

пропорциональна дифференциальной диэлектрической проницаемости d .

Нелинейные конденсаторы с сегнетоэлектриком называют обычно сегнетоконденсаторами, или варикондами.

Кулонвольтная характеристика сегнетоконденсатора не может быть точно выражена аналитически. Основную (первоначальную) кулонвольтную кривую можно аппроксимировать укороченным полиномом, аналогичным (3.1),

q b u	C	– b u3	,	b 0,	(3.10)
1	C	3 C		3

который, однако, не учитывает нижнего изгиба характеристики. Из (3.10) следует, что

C b – b u2				;	(3.11)
		1	3 C
C	d	b – 3b u2 .			(3.12)
	d	1	3	C

Рассмотрим теперь энергетические соотношения в нелинейной емкости. Ток через емкость

i dq dq duC ; dt duC dt

учитывая (3.9), получим, что

i Cd	duC	.	(3.13)

	dt

Энергия, накапливаемая за время dt в электрическом поле конденсатора,

d C uC idt.

Подставляя в это уравнение (3.13), найдем
d C Cd uC duC ,	(3.14)
или, иначе,
d C uC dq.	(3.15)

Если за время заряда конденсатора напряжение uC нарастает от нуля до UC , то в его электрическом поле запасается энергия

	U	q
WC	∫C Cd uC duC ∫m uC dq.		(3.16)
	0	0

Сформируем функцию энергий для схемы с нелинейной емкостью:

b1 3b3uС2 uСduС

C ∫С Cd uC duC ∫С

b1 3b3uС3 duС

∫С

b1uС2

3b3

uС4 ;

Cd2

b1 3b3uС2

2 du

;

R R∫i2dt R∫ b1 3b1uС2

dt;

L C R WC ,

(*)

где L , C и R – энергии элементов параллельных ветвей с R, L и C.

1	b1uС2	3	b3uС4	L	b1 3b3uС2	2	du		2
								С
2		4		2				dt

R∫ b1 3b3uС2	2	du		2		CUС2
			С		dt	0	.
			dt			2

Сформируем уравнение Эйлера – Лагранжа и упростим его:

uС L( 6b3uС)

2R∫( 6b3uС)

2R b1 3b3uС2

duС

Для схемы с источником питания найдем генерируемую энергию

	du	2	R2		1	2
E ∫ Sdt ∫u idt ∫ Cd	С			L			dt.
	dt
					Cd

и подставим полученное выражение в правую часть уравнения (*). Составим функцию энергий для параллельной R–L–C-цепи с нели-

нейной индуктивностью без источника питания с предварительно заряженным конденсатором:

∫uLdt iC iR

duL

;

i C

duL

;

a i2

a i4

duL

;

CuL2

;

R R∫iR2 dt R∫

dt;

CUC2

(**)

где L , C

и R – энергии элементов ветвей рассматриваемой цепи.

Сформируем уравнение Эйлера – Лагранжа и упростим его:

CuL 2∫

duL

C 9a

C 0.

R dt

Для такой схемы с источником питания найдем генерируемуюэнергию:

1 2

;

diL

;

duL

;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]