Прикладные задачи теоретической электротехники. Учебное пособие

Пример 4.5

Вычислитьзначениятоковинапряжений резисторов электрической цепи (рис. 4.7), определенных своими вольт-амперными характеристиками Ii (Ui ) , (i  =  1,  2,  3)

Рис. 4.7

Таблица 4.2

* В этих таблицах приведены значения координат нескольких точек графиков ВАХ лишь для первых квадрантов плоскостей Ii , Ui 0, где i = 1, 2, 3.

61

Решение

Запишем в рабочий документ Mathcad числовые значения параметров источников напряжения:

U01 : 10 В; U 02 : 10 В; U 03 : 40 В.

Далее получим аналитические выражения вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов I1(U1) , I2 (U 2 ) и I3 (U3 ) . Для этого ап-

проксимируем наборы точек графиков ВАХ кубическими сплайнами с помощью встроенной в Mathcad функции interp(S, X, Y, t).

Внимание! Поскольку знаки значений напряжений и токов резисторов заранее неизвестны, то определим выражения их ВАХ Ii (Ui ) впер-

вом и третьем квадранте плоскостей Ii , U i , (i = 1, 2, 3). Переопределим

значение встроенной переменной ORIGIN, положив его равным 1. Начнем с аппроксимации (интерполяции) ВАХ первого резистора

(табл. 4.2).

1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 6 × 2), столбцами которой являются соответствующие строки табл. 4.2:

62

2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:

Аппроксимируем (интерполируем) теперь ВАХ второго резистора

(табл. 4.3).

1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 4   2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:

И, наконец, аппроксимируем (интерполируем) ВАХ третьего резистора (табл. 4.4).

1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 9   2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:

63

2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:

На этом подготовка исходных данных закончена.

Полученные выражения ВАХ резисторов цепи в виде Ii (Ui ) опре-

деляютвыборнезависимыхпеременныхсистемыуравненийстационарногосостоянияцепи. Решимпоставленнуюзадачуметодомнапряжений резисторов цепи. По законам Кирхгофа составим систему уравнений стационарного состояния цепи схемы, показанной на рис. 4.7. В качестве независимых переменных состояния цепи выберем напряжения ее резисторов U1 , U2 и U3 . Запишем уравнения баланса напряжений эле-

ментов цепи, например, для верхнего и нижнего внутренних контуров еесхемыприихобходепочасовойстрелке. Запишемуравнениебаланса токов элементов цепи для одного из двух узлов ее схемы, например для правогоузла. Такимобразом, стационарныезначениянапряженийрезисторов исследуемой цепи (см. рис. 4.7) определяются нелинейной системойалгебраическихуравнений:

U01 U1 U2 U02 0,

Решим данную систему уравнений. Ниже приведен соответствующий фрагмент численного решения этой системы уравнений в Mathcad.

Пусть U1 : 10 В; U 2 : 10 В; U3 : 10 В.

64

Given

U01 U1 U2 U02 0

U02 U2 U3 U03 0

I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0

U : Find U1,U2 ,U3 U т 1,761 21,761 28,239 В*.

Результаты этих и последующих вычислений отображены в протоколе с точностью до 10–3.

Вычислим значения зависимых переменных состояния цепи. Найдем значения токов резисторов из выражений их вольт-амперных характеристик:

Проверить полученные результаты можно одним из двух альтернативных способов.

1-й способ Проверим соблюдение законов Кирхгофа для схемы исследуемой

цепи:

U01 U1 U2 U02 0,

U02 U2 U3 U03 0,

I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0.

2-й способ

Проверим соблюдение баланса мощностей активных и пассивных элементов цепи, отдаваемой источниками напряжения цепи P01 и по-

требляемой ее резисторами Р02 .

* Элементы последней матрицы являются значениями индексной переменной U: U1, U2, U3, индексы которых вводятся не с помощью точки < >, а с помощью открывающейся прямой скобки <[>. Внимание! Аргументами всех последующих выражений ВАХ в рабочем документе Mathcad являются компоненты индексной переменной (вектора) U.

65

Вычислим значение мощности Р01 , отдаваемой всеми источниками напряжения цепи:

P01 : U01I1(U1) U02I2 (U2 ) U03I3(U3),

P01 8,630 Вт.

Вычислимзатемзначениемощности Р02 , потребляемойвсемирезисторами цепи:

P02 : U1I1(U1) U2I2 (U2 ) U3I3(U3),

P02 8,630 Вт.

Как видимо, значения мощности Р01 , отдаваемой источниками напряжения цепи, и мощности Р02 , потребляемой ее резисторами, сов-

падают с точностью до трех значащих цифр после запятой. Задача решена верно.

Пример 4.6

Определитьпоказаниеамперметравцепи(рис. 4.8), если Iк 700 мА, R1 250  Ом, R4 200  Ом, нелинейные резисторы 2 и 3 определены своими одинаковыми ВАХ I2 (U 2 ) I3 (U3 ) I (U ) (рис. 4.9), где Iк – ток всего контура..

Решение

66

A I5 .

Всвою очередь, значение тока I5 провода вычисляется после ана-

лиза стационарного состояния эквивалентной цепи по одному из двух следующих выражений баланса токов элементов цепи в узлах, ограничивающих провод:

I1 I2 I5 0

либо

I3 I4 I5 0.

Запишем в рабочий документ Mathcad числовые значения исходных величин:

Здесь по умолчанию значения напряжений и токов всех элементов цепи выражены в вольтах (В) и амперах (А), сопротивления и проводимости линейных резисторов – в Омах (Ом) и сименсах (См).

Прежде чем анализировать стационарное состояние заданной цепи, получим аналитические выражения вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов: I2 (U 2 ) I3 (U3 ) I (U ) .

ОбращаяськграфикуВАХ I(U ) , приведенномунарис. 4.9 вусловии задачи, выберемнанемдесятьточекизапишемихкоординатывтабл. 4.5.

67

Затем аппроксимируем этот набор точек графика ВАХ (рис. 4.9) кубическими сплайнами с помощью встроенной в Mathcad функции

interp s, X ,Y ,t .

С этой целью:

1)  создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 10   2), строками которой являются соответствующие столбцы предыдущей таблицы:

набор точек исходнойВАХнелинейного резисторакубическимисплайнами:

I2 (U 2 ) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U 2 ,

I3 (U3 ) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U3 .

Втакой же форме запишем выражения вольт-амперных характеристик I1(U1) и I4 (U 4 ) линейных резисторов:

68

I1(U1) : G1U1,

I4 (U4 ) : G4U4.

На этом подготовка исходных данных задачи закончена. Решим поставленную задачу методом напряжений резисторов цепи. По за- конам Кирхгофа составим систему уравнений стационарного состоянияцепидлясхемы, показанной нарис. 4.10. Вкачественезависимых переменных состояния цепи выберем напряжения ее резисторов U1 ,

U2 , U3 и U4 .

Запишемуравнениябалансанапряженийэлементовверхнегоинижнего контура схемы и уравнения баланса токов элементов в верхнем инижнемузлесхемы. Такимобразом, стационарныезначениянапряжений резисторов исследуемой цепи (рис. 4.10) определяются следующей нелинейной системой алгебраических уравнений:

U1 U3 0,

U2 U4 0,

I1(U1) I3 (U3 ) Iк 0,

I2 (U2 ) I4 (U4 ) Iк 0.

Решим эту систему. Ниже приведен соответствующий фрагмент численного решения этой системы уравнений в Mathcad.

Пусть U1 : 50 В; U 2 : 50 В; U3 : 50 В; U 4 : 50 В. Given

69

Вычислим значения зависимых переменных состояния цепи для схемы, изображенной на рис. 4.10.

Сначала найдем значения токов резисторов, используя выражения их вольт-амперных характеристик:

I1(U1) 0, 28 А; I2 (U 2 ) 0,39 А; I3 (U3 ) 0, 42 А; I4 (U 4 ) 0,31 А .

Далее вычислим значение тока провода I5 :

I5 I1(U1) I2 (U 2 ), I5 0,11 А.

Проверка:

I4 (U 4 ) I3 (U3 ) 0,11 А.

Показаниеамперметра A исходнойцепи(рис. 4.8) равнозначению модулятока I5 проводаэквивалентнойцепи, изображеннойнарис. 4.10:

A 0,11 А.

4.3.Примеры с использованием кубических сплайнов для интерполяции графически заданной зависимости U(I) либо I(U) нелинейного элемента

Вслучае задания ВАХ нелинейного элемента графическим способом следует, пользуясь графиком, получить таблицу дискретных значенийВАХ, азатеминтерполироватьееспомощьюкубическихсплайнов.

Пример 4.7

Пусть задана графически вольт-амперная характеристика нелинейного элемента, рис. 4.11. На основании этой зависимости получим таблицу (табл. 4.6) дискретных значений ВАХ нелинейного элемента схемы, изображенной на рис. 4.12. Требуется найти токи ветвей.

С использованием этой зависимости для определения напряжения резисторов цепи произведем следующие преобразования.

Решение

1. Сформируем матрицу Z:

70